መስመር እና አውሮፕላን የተለያዩ ቅርጾችን በ2D እና 3D ቦታ ለመስራት የሚያገለግሉ ሁለቱ በጣም አስፈላጊ የጂኦሜትሪክ አካላት ናቸው። በትይዩ መስመሮች እና በትይዩ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን ርቀት እንዴት ማግኘት እንደሚቻል አስቡበት።
የሒሳብ ተግባር ቀጥታ መስመር
ከትምህርት ቤቱ የጂኦሜትሪ ኮርስ እንደሚታወቀው ባለ ሁለት አቅጣጫዊ ባለ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት መስመር በሚከተለው መልኩ ሊገለጽ ይችላል፡
y=kx + b.
k እና b ቁጥሮች (መለኪያዎች) የት ናቸው። በአውሮፕላኑ ውስጥ መስመርን የሚወክል የጽሑፍ ቅርጽ ከ z-ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ አውሮፕላን ነው ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ። ከዚህ አንጻር፣ በዚህ ጽሑፍ ውስጥ፣ ለቀጥታ መስመር ሒሳባዊ ምደባ፣ የበለጠ ምቹ እና ሁለንተናዊ ፎርም እንጠቀማለን - ቬክተር አንድ።
መስመራችን ከአንዳንድ ቬክተር u (a, b, c) ጋር ትይዩ እንደሆነ እና ነጥቡን P (x0,እንደሆነ አስብ.y0፣ z0)። በዚህ አጋጣሚ፣ በቬክተር መልክ፣ የእሱ እኩልታ በሚከተለው መልኩ ይወከላል፡
(x, y, z)=(x0, y 0፣ z0) +λ(a, b, c)።
እዚህ λ ማንኛውም ቁጥር ነው። የፅሁፍ አገላለፅን በማስፋት መጋጠሚያዎቹን በግልፅ ከወከልን፣ ቀጥ ያለ መስመር የመፃፍ ፓራሜትሪክ ቅርፅ እናገኛለን።
የተለያዩ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ከቬክተር እኩልዮሽ ጋር አብሮ ለመስራት አመቺ ሲሆን በዚህ ውስጥ በትይዩ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት መለየት ያስፈልጋል።
መስመሮች እና በመካከላቸው ያለው ርቀት
በመስመሮች መካከል ያለውን ርቀት መነጋገር ተገቢ የሚሆነው ትይዩ ሲሆኑ ብቻ ነው (በሶስት አቅጣጫዊ ሁኔታ ደግሞ በተንሸራታች መስመሮች መካከል ዜሮ ያልሆነ ርቀት አለ)። መስመሮቹ ከተጣመሩ፣እነሱ በዜሮ ርቀት ላይ እንዳሉ ግልጽ ነው።
በትይዩ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት በቋሚው የሚያገናኛቸው ርዝመት ነው። ይህንን አመልካች ለመወሰን በአንደኛው መስመር ላይ የዘፈቀደ ነጥብ መምረጥ እና ከሱ ወደ ሌላ ቀጥ ያለ ነጥብ መጣል በቂ ነው።
የሚፈለገውን ርቀት ለማግኘት ሂደቱን በአጭሩ እንግለጽ። በሚከተለው አጠቃላይ ቅፅ የቀረቡትን የሁለት መስመሮች የቬክተር እኩልታዎችን አውቀናል እንበል፡
(x, y, z)=P + λu;;
(x, y, z)=Q + βvnji.
በእነዚህ መስመሮች ላይ ትይዩአሎግራምን ይገንቡ ስለዚህም ከጎኑ አንዱ PQ ነው፣ ሌላኛው ደግሞ ለምሳሌ ዩ. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, የዚህ ስእል ቁመት, ከ P ነጥብ የተቀረጸው, የሚፈለገው ቋሚ ርዝመት ነው. እሱን ለማግኘት, የሚከተለውን ቀላል መተግበር ይችላሉቀመር፡
d=|[PQNuኟ]|/|ኡኒ|.
በቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት በመካከላቸው ያለው ቋሚ ክፍል ርዝመት ስለሆነ በፅሁፍ አገላለጽ መሰረት የ PQNG እና u ቬክተር ምርትን ሞጁል ማግኘት እና ውጤቱን በ መከፋፈል በቂ ነው. የቬክተሩ ርዝመት u.
በቀጥታ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት ለማወቅ የተግባር ምሳሌ
ሁለት ቀጥታ መስመሮች በሚከተሉት የቬክተር እኩልታዎች ይሰጣሉ፡
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3)።
ከጽሑፍ አገላለጾች መረዳት እንደሚቻለው ሁለት ትይዩ መስመሮች እንዳሉን ነው። በእርግጥም በ -1 ብናባዛ የመጀመርያው መስመር አቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎች የሁለተኛው መስመር አቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎች እናገኛለን ይህም ትይዩነታቸውን ያሳያል።
በቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት በአንቀጹ ቀደም ባለው አንቀጽ ላይ የተጻፈውን ቀመር በመጠቀም ይሰላል። አለን:
P(2, 3, -1)፣ Q(1, 1, 1)=>PQN=(-1, -2, 2)፤
unji=(-2, 1, 3)።
ከዚያን እናገኛለን፡
|ዩ|=√14 ሴሜ፤
d=|[PQNuኟ]|/| unji|=√(90/14)=2.535 ሴሜ።
በነጥብ P እና Q ፈንታ፣ የእነዚህ መስመሮች የሆኑ ማንኛቸውም ነጥቦች ችግሩን ለመፍታት ጥቅም ላይ ሊውሉ እንደሚችሉ ልብ ይበሉ። በዚህ አጋጣሚ፣ ተመሳሳይ ርቀት d. እናገኛለን።
አውሮፕላን በጂኦሜትሪ ማቀናበር
በመስመሮቹ መካከል ያለው የርቀት ጥያቄ ከላይ በዝርዝር ተብራርቷል። አሁን በትይዩ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን ርቀት እንዴት ማግኘት እንደምንችል እናሳይ።
ሁሉም ሰው አውሮፕላን ምን እንደሆነ ይወክላል። በሂሳብ ፍቺው መሰረት, የተገለፀው የጂኦሜትሪክ አካል የነጥቦች ስብስብ ነው. ከዚህም በላይ እነዚህን ነጥቦች በመጠቀም ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ቬክተሮችን ካዘጋጁ, ሁሉም በአንድ ነጠላ ቬክተር ላይ ቀጥ ያሉ ይሆናሉ. የኋለኛው በተለምዶ ለአውሮፕላኑ መደበኛ ይባላል።
የአውሮፕላኑን እኩልነት በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ለመለየት፣ የእኩልታው አጠቃላይ ቅርፅ በብዛት ጥቅም ላይ ይውላል። ይህን ይመስላል፡
Ax + By + Cz + D=0.
አቢይ የላቲን ፊደላት አንዳንድ ቁጥሮች ያሉበት። የተለመደው የቬክተር መጋጠሚያዎች በውስጡ በግልጽ ስለሚሰጡ የዚህ ዓይነቱን አውሮፕላን እኩልነት ለመጠቀም ምቹ ነው. A፣ B፣ C ናቸው። ናቸው።
ሁለት አውሮፕላኖች ትይዩ የሆኑትን መደበኛ ልማዶቻቸው ትይዩ ሲሆኑ ብቻ መሆኑን ለማየት ቀላል ነው።
በሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን ርቀት እንዴት ማግኘት ይቻላል?
የተጠቀሰውን ርቀት ለማወቅ፣ አደጋ ላይ ያለውን ነገር በግልፅ መረዳት አለቦት። እርስ በርስ በሚመሳሰሉ አውሮፕላኖች መካከል ያለው ርቀት በእነሱ ላይ እንደ የክፍሉ ርዝመት ይገነዘባል. የዚህ ክፍል ጫፎች የአውሮፕላኖች ናቸው።
እንደዚህ አይነት ችግሮችን ለመፍታት ስልተ ቀመር ቀላል ነው። ይህንን ለማድረግ ከሁለቱ አውሮፕላኖች ውስጥ የአንዱ የሆነውን የማንኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎችን ማግኘት ያስፈልግዎታል ። ከዚያ ይህን ቀመር መጠቀም አለቦት፡
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2)።
ርቀቱ አዎንታዊ እሴት ስለሆነ፣የሞጁል ምልክቱ በቁጥር ውስጥ አለ። ከአውሮፕላኑ እስከ ማንኛውም የጂኦሜትሪክ አካል ድረስ ያለውን ርቀት ለማስላት ስለሚያስችል የተፃፈው ቀመር ሁለንተናዊ ነው። የዚህን ንጥረ ነገር የአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች ማወቅ በቂ ነው።
ለሙሉነት ሲባል የሁለት አውሮፕላኖች መደበኛ ትይዩ ካልሆኑ እንዲህ አይነት አውሮፕላኖች እርስበርስ እንደሚገናኙ እናስተውላለን። ከዚያም በመካከላቸው ያለው ርቀት ዜሮ ይሆናል።
በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን ርቀት የመወሰን ችግር
ሁለት አውሮፕላኖች በሚከተሉት አባባሎች እንደሚሰጡ ይታወቃል፡
y/5 + x/(-3) + z/1=1፤
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
አውሮፕላኖቹ ትይዩ መሆናቸውን ማረጋገጥ እና እንዲሁም በመካከላቸው ያለውን ርቀት ለማወቅ ያስፈልጋል።
የችግሩን የመጀመሪያ ክፍል ለመመለስ የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ አጠቃላይ ቅፅ ማምጣት ያስፈልግዎታል። በክፍል ውስጥ እኩል በሚባለው ቅጽ መሰጠቱን ልብ ይበሉ። የግራ እና የቀኝ ክፍሎቹን በ15 አባዛ እና ሁሉንም ቃላቶች ወደ አንድ የእኩልታ ጎን ያንቀሳቅሱት፡-
-5x + 3y + 15z – 15=0.
የአውሮፕላኖቹን የሁለት መደበኛ ቬክተር መጋጠሚያዎች እንፃፍ፡
1ǹ=(-5, 3, 15);
2ǹ=(-1፣ 3/5፣ 3)።
ማየት የሚቻለው n2በ በ 5 ከተባዛ በትክክል መጋጠሚያዎቹን n1' እናገኛለን። ስለዚህ, የታሰቡ አውሮፕላኖች ናቸውትይዩ።
በትይዩ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን ርቀት ለማስላት ከመካከላቸው የመጀመርያ የዘፈቀደ ነጥብ ይምረጡ እና ከላይ ያለውን ቀመር ይጠቀሙ። ለምሳሌ የመጀመሪያው አውሮፕላን የሆነውን ነጥብ (0, 0, 1) እንውሰድ. ከዚያ የሚከተለውን እናገኛለን፡
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0.31 ሴሜ።
የሚፈለገው ርቀት 31 ሚሜ ነው።
በአውሮፕላን እና በመስመር መካከል ያለው ርቀት
የቀረበው የንድፈ ሃሳባዊ እውቀት እንዲሁ በቀጥታ መስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለውን ርቀት የመወሰን ችግር ለመፍታት ያስችለናል። ቀደም ሲል በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን ስሌት የሚሰራው ቀመር ሁለንተናዊ መሆኑን ቀደም ሲል ተጠቅሷል. ችግሩን ለመፍታትም ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል. ይህንን ለማድረግ በተሰጠው መስመር ውስጥ ያለውን ማንኛውንም ነጥብ ይምረጡ።
በሚታዩት የጂኦሜትሪክ አካላት መካከል ያለውን ርቀት ለመወሰን ዋናው ችግር ትይዩነታቸው ማረጋገጫ ነው (ካልሆነ ከዚያም d=0)። የመደበኛውን ስካላር ምርት እና የመስመሩን አቅጣጫ ቬክተር ካሰሉ ትይዩነት ለማረጋገጥ ቀላል ነው። ከግምት ውስጥ ያሉ ንጥረ ነገሮች ትይዩ ከሆኑ ይህ ምርት ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል።
