በስብስቦች ምሳሌ ላይ ያሉ ሰፊ ግንኙነቶች ከብዙ ፅንሰ-ሀሳቦች ጋር የታጀቡ ናቸው፣ ከትርጉማቸው ጀምሮ እና በአያዎአዊ አባባሎች የትንታኔ ትንተና ይጠናቀቃል። በስብስቡ ላይ ባለው መጣጥፍ ውስጥ የተብራራው የፅንሰ-ሀሳብ ልዩነት ማለቂያ የለውም። ምንም እንኳን, ስለ ድርብ ዓይነቶች ሲናገሩ, ይህ ማለት በበርካታ እሴቶች መካከል ያሉ ሁለትዮሽ ግንኙነቶች ማለት ነው. እንዲሁም በነገሮች ወይም መግለጫዎች መካከል።
እንደ ደንቡ የሁለትዮሽ ግንኙነቶች በ R ምልክት ይገለፃሉ ማለትም xRx ለማንኛውም ዋጋ x ከመስክ R እንደዚህ ያለ ንብረት x እና x ተቀባይነት ያላቸው የሃሳቦች እቃዎች ናቸው. እና R በግለሰቦች መካከል ያለ ግንኙነት ወይም ሌላ ዓይነት ምልክት ሆኖ ያገለግላል። በተመሳሳይ ጊዜ፣ xRy® ወይም yRxን ከገለጹ፣ ይህ የሲሜትሪ ሁኔታን ያሳያል፣ ® ከህብረቱ ጋር ተመሳሳይ የሆነ አንድምታ ምልክት ነው “ከሆነ… ከዚያ…” እና በመጨረሻም ፣ የ የተቀረጸ ጽሑፍ (xRy Ùy Rz) ®xRz ስለ መሸጋገሪያ ግንኙነት ይናገራል፣ Ù ምልክቱም ተያያዥ ነው።
አንጸባራቂ፣ሲሜትሪክ እና ተሻጋሪ የሆነ የሁለትዮሽ ግንኙነት የእኩልነት ግንኙነት ይባላል። ግንኙነቱ ረ ተግባር ነው፣ እና እኩልነት y=z ከ Î f እና Î f ይከተላል። ቀላል የሁለትዮሽ ተግባር በቀላሉ ሊተገበር ይችላልበተወሰነ ቅደም ተከተል ውስጥ ወደ ሁለት ቀላል ክርክሮች, እና በዚህ ሁኔታ ውስጥ ብቻ በአንድ የተወሰነ ጉዳይ ላይ ለተወሰዱት ወደ እነዚህ ሁለት አባባሎች ቀጥተኛ ትርጉም ይሰጣል.
መባል ያለበት f ካርታ ከ x እስከ y፣
f ከሆነ ክልል x እና ክልል y ያለው ተግባር ነው። ሆኖም፣ f ከ x ወደ y፣ እና y Í z ሲወጣ፣ ይህ f x በ z እንዲያሳይ ያደርገዋል። ቀላል ምሳሌ፡ f(x)=2x ለማንኛውም ኢንቲጀር x እውነት ከሆነ፣ f የተፈረሙትን ሁሉንም የታወቁ ኢንቲጀሮች ስብስብ ለተመሳሳይ ኢንቲጀር ስብስብ ያዘጋጃል ተብሏል። ከላይ እንደተጠቀሰው፣ ሁለቱም አንጸባራቂ፣ ሲሜትሪክ እና ተሻጋሪ የሆኑ የሁለትዮሽ ግንኙነቶች የእኩልነት ግንኙነቶች ናቸው።
ከላይ ባለው መሠረት የሁለትዮሽ ግንኙነቶች አቻ ግንኙነቶች በንብረቶቹ ይወሰናሉ፡
- አንጸባራቂ - ምጥጥን (M ~ N)፤
- ሲምሜትሮች - እኩልነት M ~ N ከሆነ N ~ M; ይኖራል።
- መሸጋገሪያ - ሁለት እኩልነት M ~ N እና N ~ P ከሆነ፣ በውጤቱም M ~ P.
የታወቁትን የሁለትዮሽ ግንኙነት ባህሪያትን በበለጠ ዝርዝር እንመልከት። አንጸባራቂነት ከተወሰኑ ግንኙነቶች ባህሪያት አንዱ ነው, እያንዳንዱ በጥናት ላይ ያለው ስብስብ አካል ለእራሱ እኩልነት ያለው ነው. ለምሳሌ፣ በ a=c እና a³ c ቁጥሮች መካከል አንፀባራቂ ግንኙነቶች አሉ ምክንያቱም ሁል ጊዜ a=a ፣c=c ፣ a³ a ፣c³ c። በተመሳሳይ ጊዜ የ a>c አለመመጣጠን ግንኙነት ፀረ-ተለዋዋጭ ነው ምክንያቱም እኩልነት መኖር የማይቻልበት a>a። የዚህ ንብረት አክሲየም በምልክቶች የተመሰጠረ ነው፡ aRc®aRa Ù cRc፣ እዚህ ላይ ምልክቱ ® ማለት "ያካትታል" (ወይም "ተዛማጅ") የሚለው ቃል ማለት ነው፣ እና ምልክቱ Ù - ህብረት "እና" (ወይም ጥምረት) ነው። ከዚህ አባባል በመቀጠል ፍርዱ aRC እውነት ከሆነ፣ aRa እና cRc የሚሉት መግለጫዎችም እውነት ናቸው።
ሲምሜትሪ የግንኙነት መኖርን ያካትታል አእምሯዊ ነገሮች ቢለዋወጡም ማለትም በተመጣጣኝ ግንኙነት የነገሮችን ማስተካከል ወደ "ሁለትዮሽ ግንኙነቶች" አይነት ለውጥ አያመጣም። ለምሳሌ, የእኩልነት ግንኙነት a=c በግንኙነቱ እኩልነት ምክንያት የተመጣጠነ ነው c=a; የ a¹c ሀሳብ እንዲሁ ተመሳሳይ ነው፣ ምክንያቱም ከ¹a ጋር ካለው ግንኙነት ጋር ስለሚዛመድ።
የመሸጋገሪያ ስብስብ የሚከተሉትን መስፈርቶች የሚያረካ ንብረት ነው፡ y н x፣ z н y ® z н x፣ ® ቃላቶቹን የሚተካ ምልክት ሲሆን፡ "ከሆነ…፣ እንግዲያውስ…"። ቀመሩ በቃላት እንደሚከተለው ይነበባል፡- "y በ x ላይ የሚወሰን ከሆነ z የ y ከሆነ z ደግሞ በ x" ላይ ይመሰረታል::
