አይሮፕላን በጠፈር ላይ። በጠፈር ውስጥ የአውሮፕላኖች አቀማመጥ

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-02 17:40

አይሮፕላን የጂኦሜትሪክ ነገር ሲሆን ንብረቶቹ የነጥቦች እና የመስመሮች ትንበያ ሲሰሩ እንዲሁም በሶስት አቅጣጫዊ አሃዞች አካላት መካከል ርቀቶችን እና ዳይሄድራልን ሲያሰላ ነው። በዚህ ጽሁፍ ውስጥ የአውሮፕላኖችን ቦታ በጠፈር ለማጥናት ምን አይነት እኩልታዎችን መጠቀም እንደሚቻል እንመልከት።

የአውሮፕላን ትርጉም

ሁሉም ሰው ምን አይነት ነገር እንደሚብራራ በማስተዋል ያስባል። ከጂኦሜትሪክ እይታ አንፃር፣ አውሮፕላን የነጥቦች ስብስብ ነው፣ በመካከላቸው ያለው ማንኛውም ቬክተር ወደ አንድ ቬክተር ቀጥ ያለ መሆን አለበት። ለምሳሌ, በጠፈር ውስጥ m የተለያዩ ነጥቦች ካሉ, ከዚያም m(m-1) / 2 የተለያዩ ቬክተሮች ከነሱ ሊሠሩ ይችላሉ, ነጥቦቹን በጥንድ በማገናኘት. ሁሉም ቬክተሮች ወደ አንድ አቅጣጫ ቀጥ ያሉ ከሆኑ ይህ በቂ ሁኔታ ነው ሁሉም ነጥቦች m የአንድ አውሮፕላን አባል ይሆናሉ።

አጠቃላይ እኩልታ

በስፔሻል ጂኦሜትሪ ውስጥ፣ አንድ አውሮፕላን በአጠቃላይ ከ x፣ y እና z መጥረቢያ ጋር የሚዛመዱ ሶስት የማይታወቁ መጋጠሚያዎችን የያዙ እኩልታዎችን በመጠቀም ይገለጻል። ለበህዋ ውስጥ በአውሮፕላን መጋጠሚያዎች ውስጥ ያለውን አጠቃላይ እኩልታ ያግኙ፣ አንድ ቬክተር አለ እንበል (A; B; C) እና ነጥብ M(x₀; y₀ ፤ z_{0)። እነዚህን ሁለት ነገሮች በመጠቀም አውሮፕላኑ በልዩ ሁኔታ ሊገለጽ ይችላል።}

በእርግጥ፣ መጋጠሚያዎቹ የማይታወቁ ሁለተኛ ነጥብ P(x; y; z) ካለ እንበል። ከላይ በተገለጸው ፍቺ መሰረት፣ የቬክተር ኤምፒኤን በ nng ቀጥ ያለ መሆን አለበት፣ ያም ማለት ለእነሱ ያለው ስኬር ምርት ከዜሮ ጋር እኩል ነው። ከዚያ የሚከተለውን አገላለጽ መጻፍ እንችላለን፡

(nኤንኤምፒኤን)=0 ወይም

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

ቅንፍ በመክፈት አዲስ Coefficient D በማስተዋወቅ አገላለጽ እናገኛለን፡

Ax + By + Cz + D=0 የት D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

ይህ አገላለጽ ለአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልታ ይባላል። በ x, y እና z ፊት ለፊት ያሉት ጥምርታዎች የቬክተር n ኤን(A; B; C) መጋጠሚያዎች በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ብለው እንደሚሠሩ ማስታወስ አስፈላጊ ነው. ከተለመደው ጋር ይጣጣማል እና ለአውሮፕላኑ መመሪያ ነው. አጠቃላይውን እኩልነት ለመወሰን, ይህ ቬክተር የት እንደሚመራ ምንም ለውጥ የለውም. ማለትም፣ በቬክተሮች ላይ የተገነቡት አውሮፕላኖች n ና -nn ተመሳሳይ ይሆናሉ።

ከላይ ያለው ምስል አውሮፕላንን፣ ለእሱ ቬክተር መደበኛ እና ከአውሮፕላኑ ጋር ቀጥ ያለ መስመር ያሳያል።

ክፍሎች በአውሮፕላኑ በመጥረቢያ እና በተዛማጅ እኩልታ የተቆራረጡ

የአጠቃላይ እኩልታ ቀላል የሂሳብ ስራዎችን በመጠቀም ለመወሰን ያስችላልአውሮፕላኑ የመጋጠሚያውን መጥረቢያዎች በየትኛው ነጥብ ያቋርጣል. በአውሮፕላኑ ውስጥ ስላለው ቦታ እና እንዲሁም በስዕሎቹ ላይ ሲገለጽ ሀሳብ እንዲኖርዎት ይህንን መረጃ ማወቅ አስፈላጊ ነው ።

የተሰየሙትን የመገናኛ ነጥቦችን ለመወሰን በክፍሎች ውስጥ ያለው እኩልታ ጥቅም ላይ ይውላል። ከነጥብ (0; 0; 0) ሲቆጠር, በአውሮፕላኑ የተቆራረጡ ክፍሎችን በመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ላይ ያለውን የርዝመቶች ዋጋዎች በግልፅ ስለሚይዝ ይባላል. ይህን እኩልታ አግኝ።

የአውሮፕላኑን አጠቃላይ መግለጫ እንደሚከተለው ይፃፉ፡

Ax + By +Cz=-D

የግራ እና የቀኝ ክፍሎች እኩልነትን ሳይጥሱ በ -D ሊከፋፈሉ ይችላሉ። አለን:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 ወይም

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

የእያንዳንዱን ቃል መለያዎች በአዲስ ምልክት ንድፍ፡ እናገኛለን

p=-D/A; q=-D/B; r=-ዲ/ሲ ከዚያ

x/p + y/q + z/r=1

ይህ ከላይ በክፍል የተጠቀሰው እኩልታ ነው። ከእሱ ቀጥሎ የእያንዲንደ የቃሌ ዯረጃ ዋጋ የአውሮፕላኑ ተጓዳኝ ዘንግ ጋር የመገናኛውን ቅንጅት ያመሇክታሌ. ለምሳሌ፣ y-ዘንጉን ነጥቡ (0; q; 0) ያቋርጣል። የዜሮ x እና z መጋጠሚያዎችን ወደ እኩልታው ከቀየሩ ለመረዳት ቀላል ነው።

በክፍሎቹ ውስጥ በቀመር ውስጥ ምንም ተለዋዋጭ ከሌለ፣ይህ ማለት አውሮፕላኑ ተዛማጅ ዘንግ አይገናኝም ማለት ነው። ለምሳሌ፡- ለሚለው አገላለጽ ተሰጥቶ

x/p +y/q=1

ይህ ማለት አውሮፕላኑ በ x እና y መጥረቢያ ላይ ያሉትን p እና q ክፍሎች በቅደም ተከተል ይቆርጣል ነገርግን ከ z ዘንግ ጋር ትይዩ ይሆናል።

ስለ አውሮፕላኑ ባህሪ ማጠቃለያ መቼበእሷ እኩልታ ውስጥ አንዳንድ ተለዋዋጮች አለመኖራቸው ከታች ባለው ስእል እንደሚታየው ለአጠቃላይ አይነት አገላለጽ እውነት ነው።

የቬክተር ፓራሜትሪክ እኩልታ

አይሮፕላንን በጠፈር ውስጥ ለመግለጽ የሚያስችል ሶስተኛ አይነት እኩልታ አለ። ፓራሜትሪክ ቬክተር ይባላል ምክንያቱም በአውሮፕላኑ ውስጥ በተኙ ሁለት ቬክተሮች እና ሁለት ግቤቶች በዘፈቀደ ገለልተኛ እሴቶችን ሊወስዱ ስለሚችሉ ነው. ይህን እኩልታ እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እናሳይ።

ሁለት የሚታወቁ ቬክተሮች ካሉ እንበል(a₁፤ b₁፤ c₁) እና ቪን(a₂፤ b₂፤ c₂)። ትይዩ ካልሆኑ፣ ከእነዚህ የቬክተር መጀመሪያ ላይ በሚታወቅ ነጥብ M(x₀; y_{0 ላይ በማስተካከል የተወሰነ አውሮፕላን ለማዘጋጀት ይጠቅማሉ።} ፤ z_{0)። የዘፈቀደ ቬክተር ኤምፒኤን እንደ የመስመራዊ ቬክተር ዩ እና v ቪ ጥምር መወከል ከቻለ፣ ይህ ማለት ነጥቡ P(x; y; z) ከ u, vV ጋር ተመሳሳይ አውሮፕላን ነው ማለት ነው። ስለዚህ፣ እኩልነቱን፡መጻፍ እንችላለን።}

ኤምፒኤን=αuጒ + βvመን

ወይም ይህንን እኩልነት ከመጋጠሚያ አንፃር ስንጽፍ፡- እናገኛለን

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀;) + α(a₁፤ b₁፤ ሐ₁) + β(a ₂፤ b₂፤ c₂₎

የቀረበው እኩልነት ለአውሮፕላኑ የቬክተር እኩልነት ነው። አትበአውሮፕላኑ ላይ ያለው የቬክተር ቦታ ዩ እና v ቪ ጄኔሬተሮች ይባላሉ።

በቀጣይ፣ ችግሩን በሚፈታበት ጊዜ፣ይህን እኩልነት ወደ አጠቃላይ የአውሮፕላን ቅፅ እንዴት መቀነስ እንደሚቻል ያሳያል።

በአውሮፕላኖች መካከል አንግል በጠፈር

በማስተዋል፣ በ3-ል ቦታ ላይ ያሉ አውሮፕላኖች ሊገናኙምም ሆነ ሊገናኙ ይችላሉ። በመጀመሪያው ሁኔታ, በመካከላቸው ያለውን አንግል መፈለግ ጠቃሚ ነው. ስለ ዳይድራል ጂኦሜትሪክ ነገር እየተነጋገርን ስለሆነ የዚህ አንግል ስሌት በመስመሮች መካከል ካለው አንግል የበለጠ ከባድ ነው። ሆኖም፣ አስቀድሞ የተጠቀሰው የአውሮፕላኑ መመሪያ ቬክተር ለማዳን ይመጣል።

በጂኦሜትሪያዊ መልኩ የተረጋገጠው በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች መካከል ያለው የዲይድራል አንግል በትክክል በመመሪያ ቬክተሮች መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ነው። እነዚህን ቬክተሮች እንደ n₁ǹ(a₁; b₁፤ c_{1 እንጥቀስ።) እና n}2_n(a2_{፤ b}2_{፤ c}2_{)። በመካከላቸው ያለው አንግል ኮሳይን የሚወሰነው ከስካላር ምርት ነው. ማለትም በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለው አንግል ራሱ በቀመር ሊሰላ ይችላል፡}

φ=አርክኮስ(|(n₁መንn₂መን)|/(|n₁₎ መን||n_2ǹ|))

እዚህ ላይ ያለው ሞጁል በዲኖሚነተሩ ውስጥ ያለው የ obtuse angle ዋጋ ለመጣል ይጠቅማል (በተጠላለፉ አውሮፕላኖች መካከል ሁል ጊዜ ከ90o) ያነሰ ወይም እኩል ይሆናል።o።

በተቀናጀ መልኩ ይህ አገላለጽ በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ይችላል፡

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

አውሮፕላኖች ቀጥ ያሉ እና ትይዩ

አውሮፕላኖቹ እርስበርስ ከተገናኙ እና በእነሱ የተሰራው ዳይሄድራል አንግል 90o ከሆነ፣ እነሱ ቀጥ ያሉ ይሆናሉ። የእንደዚህ አይነት አውሮፕላኖች ምሳሌ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፕሪዝም ወይም ኩብ ነው. እነዚህ አሃዞች በስድስት አውሮፕላኖች የተፈጠሩ ናቸው. በተሰየሙት አሃዞች በእያንዳንዱ ጫፍ ላይ ሶስት አውሮፕላኖች እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ ናቸው።

የታሰቡት አውሮፕላኖች ቀጥ ያሉ መሆናቸውን ለማወቅ የመደበኛ ቬክተሮቻቸውን scalar ምርት ማስላት በቂ ነው። በአውሮፕላኖች ቦታ ላይ ለ perpendicularity በቂ ሁኔታ የዚህ ምርት ዜሮ ዋጋ ነው።

ትይዩ የማይገናኙ አውሮፕላኖች ይባላሉ። አንዳንድ ጊዜ ደግሞ ትይዩ አውሮፕላኖች ማለቂያ የሌላቸው ይገናኛሉ ይባላል። በአውሮፕላኖች ቦታ ላይ ያለው ትይዩነት ከዚህ ሁኔታ ጋር ይዛመዳል አቅጣጫ ቬክተሮች n₁n እና n_{2ኤን። በሁለት መንገድ ማረጋገጥ ትችላለህ፡}