የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮችን ለማግኘት ንብረቶች እና ዘዴዎች

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-17 05:15

አለም የተደራጀችው የበርካታ ችግሮች መፍትሄ ወደ quadratic equation ስር እስኪገኝ ድረስ ነው። የተለያዩ ንድፎችን ለመግለፅ የእኩልታዎች ሥሮች አስፈላጊ ናቸው። ይህ የጥንቷ ባቢሎን ቀያሾች እንኳ ይታወቁ ነበር። የሥነ ፈለክ ተመራማሪዎችና መሐንዲሶችም እነዚህን ችግሮች ለመፍታት ተገደዱ። በ6ኛው መቶ ክፍለ ዘመን ከክርስቶስ ልደት በኋላ፣ ህንዳዊው ሳይንቲስት አሪያብሃታ የኳድራቲክ እኩልታ ሥረ-ሥሮችን ለማግኘት መሰረታዊ ነገሮችን አዘጋጀ። ቀመሮቹ የተጠናቀቁት በ19ኛው ክፍለ ዘመን ነው።

አጠቃላይ ፅንሰ-ሀሳቦች

እራስህን ከኳድራቲክ እኩልነት ደረጃዎች ጋር እንድታውቅ እንጋብዝሃለን። በአጠቃላይ እኩልነት እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡

ax2 + bx + c=0፣

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ብዛት ከአንድ ወይም ሁለት ጋር እኩል ሊሆን ይችላል። የአድልዎ ጽንሰ-ሀሳብን በመጠቀም ፈጣን ትንታኔ ሊደረግ ይችላል፡

D=b2 - 4ac

በሚሰላው እሴት ላይ በመመስረት የሚከተሉትን እናገኛለን፡

• D > 0 ሲኖር ሁለት የተለያዩ ሥሮች አሉ። የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮችን ለመወሰን አጠቃላይ ቀመር (-b± √D) / (2a) ይመስላል።
• D=0፣ በዚህ ሁኔታ ሥሩ አንድ ሲሆን ከ x=-b / (2a)ጋር ይዛመዳል።
• D < 0፣ ለአድልዎ አሉታዊ እሴት፣ ለእኩል መፍትሄ የለም።

ማስታወሻ፡ አድሎአዊው አሉታዊ ከሆነ፣ እኩልታው መነሻው በእውነተኛ ቁጥሮች ክልል ውስጥ ብቻ ነው። አልጀብራ ወደ ውስብስብ ስርወ ፅንሰ-ሃሳብ ከተራዘመ፣ እኩልታው መፍትሄ አለው።

ስር ለማግኘት ቀመሩን የሚያረጋግጡ የእርምጃዎች ሰንሰለት እንስጥ።

ከአጠቃላይ የሒሳብ ቀመር የሚከተለው ነው፡

ax2 + bx=-c

የቀኝ እና የግራ ክፍሎችን በ4a እናባዛለን እና b2 እንጨምራለን፣ እናገኛለን።

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

የግራውን ጎን ወደ ፖሊኖሚሉ ካሬ (2ax + b)² ቀይር። የእኩልታውን የሁለቱም ወገኖች ካሬ ሥር እናወጣለን 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2)፣ Coefficient bን ወደ ቀኝ በኩል እናስተላልፋለን፡}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

ከዚህ እንደሚከተለው፡

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

ለማሳየት የሚያስፈልገው።

ልዩ ጉዳይ

በአንዳንድ አጋጣሚዎች የችግሩን መፍትሄ ማቃለል ይቻላል። ስለዚህ፣ ለተመጣጣኝ መጠን ለ ቀላል ቀመር እናገኛለን።

አመልክት k=1/2b፣ ከዚያ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች አጠቃላይ ቅጽ ቀመር የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል፡

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

D=0 ሲሆን x=-k / a እናገኛለን

ሌላው ልዩ ጉዳይ የእኩልታው መፍትሄ በ=1. ነው።

ለቅጹ x² + bx + c=0 ሥሮቹ x=-k ± √(k^{2 - c ይሆናሉ።) ከ 0 በላይ አድልዎ ያለው።ለጉዳዩ D=0, ሥሩ በቀላል ቀመር ይወሰናል: x=-k.}

ገበታዎችን ተጠቀም

ማንኛዉም ሰዉ ሳያውቀው በአካል፣ኬሚካላዊ፣ባዮሎጂካል እና አልፎ ተርፎም በኳድራቲክ ተግባር በደንብ የሚገለጹ አካላዊ፣ኬሚካላዊ፣ባዮሎጂካል እና ማህበራዊ ክስተቶች ያጋጥሟቸዋል።

ማስታወሻ፡- በኳድራቲክ ተግባር መሰረት የተገነባው ኩርባ ፓራቦላ ይባላል።

አንዳንድ ምሳሌዎች እነሆ።

1. የፕሮጀክትን አቅጣጫ ሲያሰሉ በአድማስ አንግል ላይ በተተኮሰ አካል ላይ የሚንቀሳቀስ ንብረት ጥቅም ላይ ይውላል።
2. የፓራቦላ ንብረት ሸክሙን በእኩል ለማከፋፈል በሥነ ሕንፃ ውስጥ በስፋት ጥቅም ላይ ይውላል።

የፓራቦሊክ ተግባርን አስፈላጊነት በመረዳት "አድሎአዊ" እና "የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች" ጽንሰ-ሀሳቦችን በመጠቀም ግራፉን እንዴት ንብረቶቹን ለመመርመር እንሞክር።

በመጋጠሚያዎቹ a እና b ዋጋ ላይ በመመስረት ለመጠምዘዣው አቀማመጥ ስድስት አማራጮች ብቻ አሉ፡

1. አድልዎ አዎንታዊ ነው፣ a እና b የተለያዩ ምልክቶች አሏቸው። የፓራቦላ ቅርንጫፎች ወደ ላይ ይመለከታሉ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ሁለት መፍትሄዎች አሉት።
2. አድሎአዊ እና ጥምር ለ ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው፣ Coefficient a ከዜሮ ይበልጣል። ግራፉ በአዎንታዊ ዞን ነው፣ እኩልታው 1 ስር አለው።
3. አድሎአዊው እና ሁሉም አሃዞች አዎንታዊ ናቸው። የኳድራቲክ እኩልታ ምንም መፍትሄ የለውም።
4. አድሎአዊ እና ተመጣጣኝ ሀ አሉታዊ ናቸው፣ b ከዜሮ ይበልጣል። የግራፉ ቅርንጫፎች ወደ ታች ይመራሉ፣ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት።
5. አድሎአዊ እናcoefficient b ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው፣ ኮፊሸን a አሉታዊ ነው። ፓራቦላ ወደ ታች ይመለከታል፣ እኩልታው አንድ ሥር አለው።
6. የአድሎአዊ እና የሁሉም አሃዞች እሴቶች አሉታዊ ናቸው። ምንም መፍትሄዎች የሉም፣ የተግባር እሴቶቹ ሙሉ በሙሉ በአሉታዊ ዞን ናቸው።

ማስታወሻ፡- አማራጭ a=0 ግምት ውስጥ አይገባም፣በዚህ ሁኔታ ፓራቦላ ወደ ቀጥተኛ መስመር ስለሚቀንስ።

ከላይ ያሉት ሁሉም በጥሩ ሁኔታ ከታች ባለው ምስል ተገልጸዋል።

የችግር አፈታት ምሳሌዎች

ሁኔታ፡ አጠቃላይ ንብረቶቹን በመጠቀም ሥሩ እርስ በርስ እኩል የሆነ ባለአራት እኩልታ ይስሩ።

መፍትሔ፡

እንደ ችግሩ ሁኔታ x₁ =x₂, ወይም -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a)። ማስታወሻውን በማቅለል ላይ፡}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0, ቅንፎችን ይክፈቱ እና እንደ ውሎች ይስጡ. እኩልታው 2√(b² - 4ac)=0. ይህ አባባል እውነት የሚሆነው b² - 4ac=0 ነው፣ስለዚህ b ^{2=4ac፣ ከዚያ እሴቱ b=2√(ac) ወደ ቀመር ተተክቷል።}

ax² + 2√(ac)x + c=0፣ በተቀነሰ መልኩ x^{2 + 2√() እናገኛለን። ሐ / ሀ) x + c=0.}

መልስ፡

ለ 0 እና ለማንኛውም ሐ፣ b=2√(c / a) ከሆነ አንድ መፍትሄ ብቻ ነው ያለው።

ኳድሪክ እኩልታዎች ለሁሉም ቀላልነታቸው በምህንድስና ስሌቶች ውስጥ ትልቅ ጠቀሜታ አላቸው። ማንኛውም አካላዊ ሂደት ማለት ይቻላል አንዳንድ approximation በመጠቀም ሊገለጽ ይችላልየኃይል ተግባራት n. የኳድራቲክ እኩልታ የመጀመሪያው እንደዚህ ያለ ግምት ይሆናል።