ካሬ ሥር፡ የስሌት ቀመሮች። የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮችን ለማግኘት ቀመር

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-17 05:15

አንዳንድ የሂሳብ ችግሮች የካሬውን ስር ለማስላት ችሎታ ይጠይቃሉ። እነዚህ ችግሮች የሁለተኛ ደረጃ እኩልታዎችን መፍታት ያካትታሉ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ካሬ ስሮችን ለማስላት ውጤታማ ዘዴን እናቀርባለን እና ለአራት እኩልታ ስሮች ቀመሮች ስንሰራ እንጠቀማለን ።

ካሬ ሥር ምንድን ነው?

በሂሳብ ይህ ፅንሰ-ሀሳብ ከምልክቱ √ ጋር ይዛመዳል። በጀርመን በ 16 ኛው ክፍለ ዘመን የመጀመሪያ አጋማሽ ላይ ለመጀመሪያ ጊዜ ጥቅም ላይ መዋል እንደጀመረ የታሪክ መረጃዎች ይገልጻሉ (የመጀመሪያው የጀርመን አልጀብራ በአልጀብራ በክርስቶፍ ሩዶልፍ የተደረገ)። ሳይንቲስቶች ይህ ምልክት የተለወጠ የላቲን ፊደል ነው r (ራዲክስ በላቲን "ሥር" ማለት ነው) እንደሆነ ያምናሉ.

የማንኛውም ቁጥር ሥር ከእንዲህ ዓይነቱ እሴት ጋር እኩል ነው፣ካሬው ከሥሩ አገላለጽ ጋር ይዛመዳል። በሂሳብ ቋንቋ ይህ ትርጉም ይህን ይመስላል፡- √x=y if y²=x.

የአዎንታዊ ቁጥር ስር (x > 0) እንዲሁ ነው።አወንታዊ ቁጥር (y > 0) ፣ ግን ሥሩ ከአሉታዊ ቁጥር (x < 0) ከተወሰደ ፣ ውጤቱ ቀድሞውኑ ውስብስብ ቁጥር ይሆናል ፣ ይህም ምናባዊ አሃድ i.

ን ጨምሮ።

ሁለት ቀላል ምሳሌዎች እነሆ፡

√9=3 ምክንያቱም 3² =9; √(-9)=3i ምክንያቱም i²=-1.

የሄሮን ተደጋጋሚ ፎርሙላ የካሬ ሥሮችን ለማግኘት

ከላይ ያሉት ምሳሌዎች በጣም ቀላል ናቸው፣ እና በውስጣቸው ያሉትን ሥሮች ማስላት ከባድ አይደለም። እንደ የተፈጥሮ ቁጥር ካሬ ሊወከል ለማይችለው ለማንኛውም እሴት የስር እሴቶችን ሲፈልጉ ችግሮች ቀድሞውኑ መታየት ይጀምራሉ ፣ ለምሳሌ √10 ፣ √11 ፣ √12 ፣ √13 ፣ በተግባር ግን ኢንቲጀር ላልሆኑ ቁጥሮች ስር ለማግኘት አስፈላጊ ነው፡- ለምሳሌ √(12፣ 15)፣ √(8፣ 5) እና የመሳሰሉት።

ከላይ በተጠቀሱት ጉዳዮች ሁሉ የካሬውን ሥር ለማስላት ልዩ ዘዴ መጠቀም ያስፈልጋል። በአሁኑ ጊዜ ብዙ እንደዚህ ያሉ ዘዴዎች ይታወቃሉ-ለምሳሌ ፣ በቴይለር ተከታታይ መስፋፋት ፣ በአምድ መከፋፈል እና አንዳንድ ሌሎች። ከሁሉም የሚታወቁ ዘዴዎች ምናልባት ቀላሉ እና በጣም ውጤታማ የሆነው የሄሮን ድግግሞሽ ቀመር ነው, እሱም የባቢሎን ዘዴ በመባልም ይታወቃል የካሬ ስሮች (የጥንቶቹ ባቢሎናውያን በተግባራዊ ስሌት ውስጥ ይጠቀሙበት እንደነበር የሚያሳይ ማስረጃ አለ).

የ√x ዋጋ መወሰን አስፈላጊ ይሁን። የካሬውን ስር ለማግኘት ቀመር የሚከተለው ነው፡

a_n+1=1/2(a+x/a ፣ የት ሊም_n->∞(a)=> x.

ይህን የሂሳብ አጻጻፍ ይግለጹ። √xን ለማስላት የተወሰነ ቁጥር አንድ₀ መውሰድ አለቦት (ዘፈቀደ ሊሆን ይችላል፣ነገር ግን ለፈጣን ውጤት፣እንደዚያ መምረጥ አለቦት(a₀) ² በተቻለ መጠን ለ x ቅርብ ነበር፣ በመቀጠል በተጠቀሰው የካሬ ስር ፎርሙላ ይቀይሩት እና አዲስ ቁጥር ₁ ያግኙ፣ ይህም አስቀድሞ ይሆናል ወደሚፈለገው እሴት ቅርብ ይሁኑ። በገለፃው ላይ a₁ በመተካት አንድ₂ ይህ አሰራር አስፈላጊው ትክክለኛነት እስኪገኝ ድረስ መደገም አለበት።.

የሄሮን ተደጋጋሚ ቀመር

የመተግበር ምሳሌ

ከላይ የተገለጸው ስልተ ቀመር የአንዳንድ የተሰጡትን ቁጥሮች ካሬ ስር ለማግኘት በጣም የተወሳሰበ እና ለብዙዎች ግራ የሚያጋባ ሊመስል ይችላል፣ነገር ግን እንደ እውነቱ ከሆነ ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ይሆናል፣ይህ ቀመር በፍጥነት ስለሚሰበሰብ (በተለይ እድለኛ ቁጥር ከሆነ) የተመረጠው a₀) ነው።

ቀላል ምሳሌ እንውሰድ፡ √11 ማስላት አለብን። ከ 3₂0^{=3 እንመርጣለን ይህም ከ11 ከ4}2^{=16. በቀመር ውስጥ በመተካት:} እናገኛለን

a₁=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;

a₂ =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;

a₃=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.

ስሌቱን ለመቀጠል ምንም ፋይዳ የለውም፣ ምክንያቱም አ₂ እና a₃ በ5ኛው አስርዮሽ ብቻ መለየት ይጀምራሉ። ቦታ ። ስለዚህ, ቀመሩን 2 ጊዜ ብቻ መተግበር በቂ ነበር√11ን በ0.0001 ውስጥ አስላ።

በአሁኑ ጊዜ ስሌቶችን ለማስላት ካልኩሌተሮች እና ኮምፒውተሮች በስፋት ጥቅም ላይ ይውላሉ፣ነገር ግን ትክክለኛ ዋጋቸውን በእጅ ለማስላት እንዲችሉ ምልክት የተደረገበትን ቀመር ማስታወስ ጠቃሚ ነው።

የሁለተኛ ቅደም ተከተል እኩልታዎች

አንድ ካሬ ሥር ምን እንደሆነ መረዳት እና እሱን የማስላት ችሎታ አራት እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል። እነዚህ እኩልታዎች አንድ የማይታወቁ እኩልነቶች ናቸው፣ አጠቃላይ ቅጹ ከታች ባለው ምስል ይታያል።

እዚህ ሐ፣ b እና a አንዳንድ ቁጥሮች ናቸው፣ እና አንድ ከዜሮ ጋር እኩል መሆን የለበትም፣ እና የ c እና b እሴቶች ዜሮን ጨምሮ ሙሉ በሙሉ የዘፈቀደ ሊሆኑ ይችላሉ።

በሥዕሉ ላይ የተመለከተውን እኩልነት የሚያረካ ማንኛውም የ x እሴቶች ሥሩ ይባላሉ (ይህ ጽንሰ-ሐሳብ ከካሬ ሥር √ ጋር መምታታት የለበትም)። እየተገመገመ ያለው ቀመር 2ኛ ቅደም ተከተል ስላለው (x²)፣ ከዚያ ለሥሮቹ ከሁለት በላይ ቁጥሮች ሊኖሩ አይችሉም። እነዚህን ሥሮች እንዴት ማግኘት እንደሚቻል በኋላ በጽሁፉ ውስጥ እንይ።

የኳድራቲክ እኩልታ (ቀመር) ሥሮችን መፈለግ

ይህ የታሰበውን የእኩልነት አይነት የመፍታት ዘዴ ዩኒቨርሳል ወይም በአድሎአዊ ዘዴ ይባላል። በማንኛውም ባለአራት እኩልታዎች ላይ ሊተገበር ይችላል. የአድሎአዊ እና የኳድራቲክ እኩልታ ሥሩ ቀመር እንደሚከተለው ነው፡

ሥሮቹ በእያንዳንዱ የሶስቱ እኩልዮሽ ዋጋ ላይ የተመሰረቱ መሆናቸውን ያሳያል። ከዚህም በላይ ስሌቱx₁ ከስሌቱ x₂ የሚለየው በካሬው ስር ባለው ምልክት ብቻ ነው። ከ b² - 4ac ጋር እኩል የሆነው አክራሪ አገላለጽ፣ ከታሰበው እኩልነት አድልዎ የዘለለ አይደለም። የኳድራቲክ እኩልታ ሥር ቀመር ውስጥ ያለው አድልዎ ወሳኝ ሚና ይጫወታል ምክንያቱም የመፍትሄዎችን ብዛት እና አይነት ይወስናል። ስለዚህ ዜሮ ከሆነ አንድ መፍትሄ ብቻ ይኖራል, አዎንታዊ ከሆነ, እኩልታው ሁለት ትክክለኛ ሥሮች አሉት, በመጨረሻም, አሉታዊ አድልዎ ወደ ሁለት ውስብስብ ስር ይመራል x₁ እና x ₂.

የቪዬታ ቲዎሬም ወይም አንዳንድ የሁለተኛ ደረጃ እኩልታዎች ሥሮች ባህሪያት

በ16ኛው መቶ ክፍለ ዘመን መገባደጃ ላይ የዘመናዊው አልጀብራ መስራቾች አንዱ የሆነው ፈረንሳዊው ፍራንሷ ቪየት ሁለተኛ ደረጃ እኩልታዎችን በማጥናት የሥሮቹን ባህሪያት ማግኘት ችሏል። በሂሳብ ደረጃ እንደዚህ ሊጻፉ ይችላሉ፡

x₁ + x₂=-b / a እና x₁ x ₂=c / a.

ሁለቱንም እኩልነት በማንም ሰው በቀላሉ ማግኘት ይቻላል፣ለዚህም ተገቢውን የሂሳብ ስራዎችን በቀመር በተገኘው ስሮች ከአድልዎ ጋር ማከናወን ብቻ አስፈላጊ ነው።

የእነዚህ ሁለት አባባሎች ጥምረት በትክክል የኳድራቲክ እኩልታ ሥር ሁለተኛ ቀመር ተብሎ ሊጠራ ይችላል ፣ይህም አድልዎ ሳይጠቀሙ መፍትሄዎችን መገመት ያስችላል። እዚህ ላይ ልብ ሊባል የሚገባው ሁለቱም አገላለጾች ሁል ጊዜ ትክክለኛ ቢሆኑም፣ እኩልታ ሊፈጠር የሚችል ከሆነ ብቻ ለመፍታት እነሱን ለመጠቀም ምቹ ነው።