የአልጀብራዊ አለመመጣጠኖች ወይም ስርዓታቸው ከምክንያታዊ ቅንጅቶች ጋር የመፍትሄ ሃሳቦች በተዋሃደ ወይም ኢንቲጀር ቁጥሮች። እንደ ደንቡ ፣ በዲዮፓንታይን እኩልታዎች ውስጥ የማይታወቁ ሰዎች ቁጥር የበለጠ ነው። ስለዚህ, እነሱ ያልተወሰነ እኩልነት በመባል ይታወቃሉ. በዘመናዊ ሒሳብ ውስጥ፣ ከላይ ያለው ጽንሰ-ሐሳብ በአልጀብራ እኩልታዎች ላይ ይተገበራል እነዚህ መፍትሄዎች በአልጀብራ ኢንቲጀር አንዳንድ ቅጥያ የQ-rational variables መስክ፣ የፒ-አዲክ ተለዋዋጮች መስክ ወዘተ
የእነዚህ አለመመጣጠን መነሻዎች
የዲዮፓንታይን እኩልታዎች ጥናት በቁጥር ቲዎሪ እና በአልጀብራ ጂኦሜትሪ መካከል ባለው ድንበር ላይ ነው። በኢንቲጀር ተለዋዋጮች ውስጥ መፍትሄዎችን መፈለግ በጣም ጥንታዊ ከሆኑ የሂሳብ ችግሮች ውስጥ አንዱ ነው። ቀድሞውኑ በሁለተኛው ሺህ ዓመት ዓ.ዓ. መጀመሪያ ላይ። የጥንቶቹ ባቢሎናውያን ከሁለት የማይታወቁ ጋር የእኩልታ ሥርዓቶችን መፍታት ችለዋል። ይህ የሒሳብ ክፍል በጥንቷ ግሪክ በብዛት ተስፋፍቶ ነበር። የዲዮፋንተስ (3ኛው ክፍለ ዘመን ዓ.ም. አካባቢ) የሂሳብ ስሌት የተለያዩ ዓይነቶች እና የእኩልታ ሥርዓቶችን የያዘ ጉልህ እና ዋና ምንጭ ነው።
በዚህ መጽሐፍ ዲዮፋንተስ የሁለተኛውን እና የሦስተኛውን አለመመጣጠን ለማጥናት በርካታ ዘዴዎችን አስቀድሞ ተመልክቷል።በ 19 ኛው ክፍለ ዘመን ሙሉ በሙሉ የተገነቡ ዲግሪዎች. በዚህ የጥንቷ ግሪክ ተመራማሪ የምክንያታዊ ቁጥሮች ንድፈ ሃሳብ መፈጠር ላልተወሰነ ስርዓቶች አመክንዮአዊ መፍትሄዎችን እንዲተነተን አድርጓል ፣ እነዚህም በመጽሐፉ ውስጥ በዘዴ ተከትለዋል ። ምንም እንኳን ስራው ለተወሰኑ የዲዮፓንታይን እኩልታዎች መፍትሄዎችን ቢይዝም እሱ ግን በርካታ አጠቃላይ ዘዴዎችን ያውቃል ብለን የምናምንበት ምክንያት አለ።
የእነዚህ እኩልነቶች ጥናት ብዙውን ጊዜ ከከባድ ችግሮች ጋር የተያያዘ ነው። ኢንቲጀር ኮፊሸን F (x፣ y1፣ …፣ y) ያላቸው ፖሊኖማሎች ስላሏቸው ነው። በዚህ መሰረት፣ ለማንኛውም x ቀመር F (x፣ y1፣ …., y ፣ …., y ፣
)። ሁኔታው ለy1፣ …፣ y ። የእንደዚህ አይነት ፖሊኖሚሎች ምሳሌዎች ሊጻፉ ይችላሉ።
ቀላልው አለመመጣጠን
ax + by=1፣ ሀ እና b በአንጻራዊ ኢንቲጀር እና ዋና ቁጥሮች ሲሆኑ፣ እጅግ በጣም ብዙ የሆኑ ግድያዎች አሉት (ከ x0፣ y0 ውጤቱ ይመሰረታል፣ ከዚያ ጥንድ ተለዋዋጮች x=x0 + b እና y=y0 -an፣ n የዘፈቀደ ከሆነ፣ እንዲሁም እንደ አለመመጣጠን ይቆጠራል)። ሌላው የዲዮፎንታይን እኩልታዎች ምሳሌ x2 + y2 =z2 ነው። የዚህ እኩልነት አወንታዊ ውህደት መፍትሄዎች የትንሽ ጎኖች x, y እና የቀኝ ትሪያንግሎች ርዝመት, እንዲሁም hypotenuse z ኢንቲጀር የጎን ልኬቶች ናቸው. እነዚህ ቁጥሮች የፓይታጎሪያን ቁጥሮች በመባል ይታወቃሉ። ከፕራይም አንፃር ሁሉም ሶስት እጥፍ ይጠቁማሉከላይ ተለዋዋጮች በ x=m2 – n2፣ y=2mn፣ z=m2+ n2፣ m እና n ኢንቲጀር እና ዋና ቁጥሮች (m>n>0) ናቸው።
Diophantus በአሪቲሜቲክሱ ልዩ የሆኑትን የእኩልነት ዓይነቶች ምክንያታዊ (በግድ የማይጠቅሙ) መፍትሄዎችን ይፈልጋል። የመጀመርያ ዲግሪ ዲዮፋንታይን እኩልታዎችን ለመፍታት አጠቃላይ ንድፈ ሐሳብ በ C. G. Baschet በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ተዘጋጅቷል. በ19ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ የነበሩ ሌሎች ሳይንቲስቶች በዋናነት እንደ አክስ2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0፣ የት ሀ፣ b፣ c፣ d፣ e እና f አጠቃላይ፣ የተለያዩ፣ የሁለተኛ ዲግሪ ሁለት የማይታወቁ ናቸው። ላግራንጅ በጥናቱ ውስጥ ቀጣይ ክፍልፋዮችን ተጠቅሟል። ጋውስ ለኳድራቲክ ቅርጾች አንዳንድ የመፍትሄ ዓይነቶችን መሠረት ያደረገ አጠቃላይ ንድፈ ሐሳብ አዳብሯል።
በእነዚህ የሁለተኛ ደረጃ አለመመጣጠን ጥናት፣ ከፍተኛ እድገት የተደረገው በ20ኛው ክፍለ ዘመን ብቻ ነው። አ. Thue የዲዮፋንታይን እኩልታ a0x + a1xn- 1 አገኘ። y +…+a y =c፣ የት n≧3፣ a0፣ …, a ፣ ሐ ኢንቲጀር ናቸው፣ እና a0tn + …+ a ቁጥር የሌለው የኢንቲጀር መፍትሄዎች ሊኖሩት አይችልም። ይሁን እንጂ የThu ዘዴ በትክክል አልዳበረም. ሀ. ቤከር የዚህ አይነት አንዳንድ እኩልታዎች አፈጻጸም ላይ ግምቶችን የሚሰጡ ውጤታማ ንድፈ ሃሳቦችን ፈጠረ። BN Delaunay ለእነዚህ እኩልነት ጠባብ ክፍል የሚተገበር ሌላ የምርመራ ዘዴ አቅርቧል። በተለይም ቅፅ ax3 + y3 =1 በዚህ መንገድ ሙሉ በሙሉ ሊፈታ የሚችል ነው።
የዲዮፋንታይን እኩልታዎች፡ የመፍትሄ ዘዴዎች
የዲዮፋንተስ ቲዎሪ ብዙ አቅጣጫዎች አሉት። ስለዚህ በዚህ ስርዓት ውስጥ በጣም የታወቀ ችግር የዲዮፓንታይን እኩልታዎች ቀላል ያልሆነ መፍትሄ የለም የሚል መላምት ነው xn + y =z n if n ≧ 3 (የፌርማት ጥያቄ)። የኢ-እኩልነት የኢንቲጀር ሙላት ጥናት የፒታጎሪያን ትሪፕሌትስ ችግር ተፈጥሯዊ አጠቃላይ ነው። ኡለር የፌርማት ችግርን ለ n=4 አወንታዊ መፍትሄ አግኝቷል።በዚህ ውጤት መሰረት የጎደለውን ኢንቲጀር፣ ዜሮ ያልሆኑ የሒሳብ ጥናቶችን የሚያመለክተው n እንግዳ የሆነ ዋና ቁጥር ከሆነ ነው።
ውሳኔውን በተመለከተ ጥናቱ አልተጠናቀቀም። በአፈፃፀሙ ላይ ያሉ ችግሮች በአልጀብራ ኢንቲጀር ቀለበት ውስጥ ያለው ቀላል ፋክተርራይዜሽን ልዩ አለመሆኑ ጋር የተቆራኘ ነው። በዚህ ሥርዓት ውስጥ የአከፋፋዮች ንድፈ ሐሳብ ለብዙ የዋና ገላጭ ክፍሎች n የፌርማት ንድፈ ሐሳብ ትክክለኛነት ለማረጋገጥ ያስችላል። ስለዚህ፣ መስመራዊው የዲዮፓንታይን እኩልታ ከሁለት የማይታወቁ ነገሮች ጋር በነባር ዘዴዎች እና መንገዶች ተሟልቷል።
የተገለጹ የተግባር አይነቶች እና አይነቶች
የአልጀብራ ኢንቲጀር የቀለበት አርቲሜቲክ ለብዙ ሌሎች ችግሮች እና የዲዮፋንታይን እኩልታዎች መፍትሄዎችም ጥቅም ላይ ይውላል። ለምሳሌ፣ እንደዚህ አይነት ዘዴዎች የ N(a1 x1 x)=m፣ N(a) የ ሀ መደበኛ ሲሆን እና x1፣ …፣ xn የተዋሃዱ ምክንያታዊ ተለዋዋጮች ተገኝተዋል። ይህ ክፍል የፔል እኩልታ x2–dy2=1። ያካትታል።
እሴቶቹ a1፣ …፣ aእሴቶቹ እነዚህ እኩልታዎች በሁለት ዓይነት ይከፈላሉ። የመጀመሪያው ዓይነት - የተሟሉ ቅጾች የሚባሉት - እኩልታዎችን ያጠቃልላሉ በመካከላቸው በምክንያታዊ ተለዋዋጮች መስክ ላይ m በመስመር ላይ ገለልተኛ ቁጥሮች ሲኖሩ m=[Q(a1፣ …, a):Q]፣ በ Q (a1, …, a ) ከቁ በላይ የሆነ አልጀብራዊ ኤክስፐርቶች ደረጃ ያለው። ያልተሟሉ ዝርያዎች በ ውስጥ ይገኛሉ። ከፍተኛው የ i ከ m ያነሰ ነው።
ሙሉ ቅጾች ቀለል ያሉ ናቸው፣ጥናታቸውም ተጠናቅቋል፣እና ሁሉም መፍትሄዎች ሊገለጹ ይችላሉ። ሁለተኛው ዓይነት, ያልተሟሉ ዝርያዎች, በጣም የተወሳሰበ ነው, እና የእንደዚህ አይነት ጽንሰ-ሀሳብ እድገቱ ገና አልተጠናቀቀም. እንደነዚህ ያሉት እኩልታዎች በዲዮፓንታይን ግምቶች ይጠናል፣ ይህም F(x፣ y)=C አለመመጣጠንን ያካትታል፣ F (x፣ y) የማይቀንስ፣ ተመሳሳይነት ያለው የዲግሪ n≧3። ስለዚህም yi→∞ እንደሆነ መገመት እንችላለን። በዚህ መሠረት yi በቂ ከሆነ፣ ኢ-እኩልነቱ የThue፣ Siegel እና Roth ጽንሰ-ሀሳብን ይቃረናል፣ እሱም F(x, y)=C፣ F ያለበት የሶስተኛ ዲግሪ ወይም ከዚያ በላይ የሆነ፣ የማይቀነስ የማይቀነስ ቁጥር የመፍትሄዎች ቁጥር ሊኖረው አይችልም።
የዲዮፓንታይን እኩልታን እንዴት መፍታት ይቻላል?
ይህ ምሳሌ ከሁሉም መካከል ጠባብ ክፍል ነው። ለምሳሌ፣ ቀላልነታቸው ቢሆንም፣ x3+y3 + z3=N፣ እና x2 +y 2 +z2 +u2 =N በዚህ ክፍል ውስጥ አልተካተቱም. የመፍትሄዎች ጥናት በጥንቃቄ የተጠና የዲዮፓንታይን እኩልታዎች ቅርንጫፍ ነው, እሱም መሰረቱ በአራት የቁጥር ቅርጾች ውክልና ነው. ላግራንጅፍጻሜው ለሁሉም ተፈጥሯዊ ነው የሚል ንድፈ ሃሳብ ፈጠረ N. ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር እንደ ሶስት ካሬዎች ድምር (የጋውስ ቲዎረም) ሊወከል ይችላል, ነገር ግን ከቅጹ 4a መሆን የለበትም. (8ኪ-1)፣ ሀ እና k አሉታዊ ያልሆኑ የኢንቲጀር ገላጭ ናቸው።
ምክንያታዊ ወይም ዋና መፍትሄዎች ለዲዮፓንታይን እኩልታ ስርዓት አይነት F (x1, …, x)=a, where F (x 1፣ …፣ x) ኢንቲጀር ኮፊፊሸንት ያለው ባለአራት ቅርጽ ነው። ስለዚህ፣ በሚንኮውስኪ-ሃሴ ቲዎሬም መሰረት፣ አለመመጣጠን ∑aijxixixj=b ij
እና b ምክንያታዊ ነው፣ በእውነተኛ እና p-adic ቁጥሮች ለእያንዳንዱ ዋና ቁጥር ፒ በዚህ መዋቅር ውስጥ ሊፈታ የሚችል ከሆነ ብቻ ወሳኝ መፍትሄ አለው።
በተፈጥሯዊ ችግሮች ምክንያት የቁጥር ጥናት በዘፈቀደ የሶስተኛ ዲግሪ እና ከዚያ በላይ በሆነ መልኩ ጥናት ተደርጓል። ዋናው የማስፈጸሚያ ዘዴ የትሪግኖሜትሪክ ድምር ዘዴ ነው. በዚህ ሁኔታ, የመፍትሄዎች ብዛት በፎሪየር ኢንተግራም ውስጥ በግልፅ ተጽፏል. ከዚያ በኋላ, የአከባቢ ዘዴው የተዛማጁን ተመጣጣኝ ያልሆኑትን የተሟሉበትን ቁጥር ለመግለጽ ጥቅም ላይ ይውላል. የትሪግኖሜትሪክ ድምር ዘዴ በአልጀብራ ባህሪያት ላይ የተመሰረተ ነው. መስመራዊ የዲዮፋንታይን እኩልታዎችን ለመፍታት ብዙ ቁጥር ያላቸው የመጀመሪያ ደረጃ ዘዴዎች አሉ።
የዲዮፋንታይን ትንተና
የሒሳብ ክፍል፣ ትምህርቱም የአልጀብራ እኩልታዎች ሥርዓቶች በጂኦሜትሪ ዘዴዎች አጠቃላይ እና ምክንያታዊ መፍትሄዎችን ማጥናት ነው፣ ከተመሳሳይሉል. በ 19 ኛው ክፍለ ዘመን ሁለተኛ አጋማሽ ላይ የዚህ የቁጥር ፅንሰ-ሀሳብ ብቅ ማለት የዲዮፓንታይን እኩልታዎችን በዘፈቀደ መስክ ከቁጥሮች ጋር በማጥናት መፍትሄዎች በእሱ ውስጥ ወይም በቀለበቶቹ ውስጥ ተቆጥረዋል ። ከቁጥሮች ጋር በትይዩ የተገነባው የአልጀብራ ተግባራት ስርዓት። በዲ ሂልበርት እና በተለይም ኤል. ክሮንከር አጽንዖት ተሰጥቶት የነበረው የሁለቱ መሰረታዊ ተመሳሳይነት የተለያዩ የሂሳብ ፅንሰ-ሀሳቦች ወጥ የሆነ ግንባታ እንዲፈጠር ምክንያት ሆኗል ይህም በተለምዶ አለምአቀፍ ይባላሉ።
ይህ በተለይ በጥናት ላይ ያሉ የአልጀብራ ተግባራት በቋሚ ቋሚዎች መስክ አንድ ተለዋዋጭ ከሆኑ በተለይ ትኩረት የሚስብ ነው። እንደ ክፍል የመስክ ንድፈ ሃሳብ፣ አካፋይ እና ቅርንጫፍ እና ውጤቶች ያሉ ፅንሰ ሀሳቦች ከላይ ላለው ጥሩ ማሳያ ናቸው። ይህ የአመለካከት ነጥብ በዲዮፓንታይን አለመመጣጠን ስርዓት ውስጥ ተቀባይነት ያገኘው በኋላ ላይ ብቻ ነው ፣ እና ስልታዊ ምርምር በቁጥር ቁጥሮች ብቻ ሳይሆን ፣ ተግባራት በሆኑት ጥምርታዎችም የተጀመረው በ 1950 ዎቹ ውስጥ ብቻ ነው። በዚህ አቀራረብ ውስጥ ካሉት ወሳኝ ነገሮች አንዱ የአልጀብራ ጂኦሜትሪ እድገት ነው። የቁጥሮች እና የተግባር መስኮች በአንድ ጊዜ የተደረገው ጥናት በተመሳሳይ ርዕሰ ጉዳይ ላይ እንደ ሁለት እኩል አስፈላጊ ገጽታዎች የሚነሱት, የሚያምር እና አሳማኝ ውጤቶችን ብቻ ሳይሆን የሁለቱን ርዕሰ ጉዳዮች እርስ በርስ መበልጸግ ምክንያት ሆኗል.
በአልጀብራ ጂኦሜትሪ ውስጥ፣የልዩነት እሳቤ በተሰጠው መስክ K ላይ በማይለዋወጥ የማይለዋወጥ የእኩልነት ስብስብ ይተካል፣ እና መፍትሄዎቻቸው በ K ውስጥ እሴቶች ባላቸው ምክንያታዊ ነጥቦች ይተካሉ ወይም በመጨረሻው ማራዘሚያ። በዚህ መሠረት አንድ ሰው የዲዮፓንታይን ጂኦሜትሪ መሠረታዊ ችግር ምክንያታዊ ነጥቦችን ማጥናት ነው ማለት ይችላልየአልጀብራ ስብስብ X(K)፣ X የተወሰኑ ቁጥሮች በመስኩ ላይ ናቸው K. ኢንቲጀር አፈፃፀም በመስመራዊ ዲዮፓንታይን እኩልታዎች ውስጥ የጂኦሜትሪክ ትርጉም አለው።
የእኩልነት ጥናቶች እና የማስፈጸሚያ አማራጮች
በአልጀብራ ዝርያዎች ላይ ምክንያታዊ (ወይ የተዋሃዱ) ነጥቦችን ሲያጠና የመጀመሪያው ችግር የሚነሳው ህልውናቸው ነው። የሂልበርት አሥረኛው ችግር ይህን ችግር ለመፍታት አጠቃላይ ዘዴ የማግኘት ችግር ሆኖ ተቀርጿል። የአልጎሪዝም ትክክለኛ ፍቺን በመፍጠር ሂደት እና ለብዙ ችግሮች እንደዚህ ያሉ ግድያዎች አለመኖራቸውን ከተረጋገጠ በኋላ ችግሩ ግልፅ የሆነ አሉታዊ ውጤት አግኝቷል ፣ እና በጣም የሚያስደንቀው ጥያቄ የዲዮፓንታይን እኩልታዎች ክፍሎች ፍቺ ነው። ለዚህም ከላይ ያለው ስርዓት አለ. እጅግ በጣም ተፈጥሯዊ አቀራረብ፣ ከአልጀብራዊ እይታ አንፃር፣ የሃሴ መርህ ተብሎ የሚጠራው፡ የመነሻ መስክ ኬ ከተጠናቀቀው ጋር በአንድ ላይ ይጠናል Kv በሁሉም ሊሆኑ ከሚችሉ ግምቶች። X(K)=X(Kv) ለህልውና አስፈላጊ ቅድመ ሁኔታ በመሆናቸው K ነጥቡ X(Kv) ስብስብ መሆኑን ግምት ውስጥ ያስገባል።) ለሁሉም v. ባዶ አይደለም
አስፈላጊነቱ ሁለት ችግሮችን አንድ ላይ በማምጣቱ ላይ ነው። ሁለተኛው በጣም ቀላል ነው, በሚታወቅ ስልተ ቀመር ሊፈታ ይችላል. ልዩነቱ ኤክስ ፕሮጄክቲቭ በሆነበት ሁኔታ፣ የሃንሰል ሌማ እና አጠቃላይ አጠቃቀሞቹ የበለጠ እንዲቀንስ ያደርጉታል፡ ችግሩ ወደ ውሱን መስክ ወደ ምክንያታዊ ነጥቦች ጥናት ሊቀንስ ይችላል። ከዚያም በተከታታይ ምርምር ወይም ይበልጥ ውጤታማ በሆኑ ዘዴዎች ፅንሰ-ሀሳብ ለመገንባት ወሰነ።
የመጨረሻበጣም አስፈላጊው ግምት የ X(Kv) ስብስቦች ለሁሉም ባዶ ያልሆኑ ከተወሰኑ ቪዎች በስተቀር፣ ስለዚህ የሁኔታዎች ብዛት ሁል ጊዜ የተገደበ እና በውጤታማነት ሊሞከሩ የሚችሉ መሆኑ ነው። ሆኖም፣ የሃሴ መርህ በዲግሪ ኩርባዎች ላይ አይተገበርም። ለምሳሌ 3x3 +4y3=5 በሁሉም የ p-adic ቁጥር መስኮች እና ነጥቦች አሉት እና በእውነተኛ ቁጥሮች ስርዓት፣ ነገር ግን ምንም ምክንያታዊ ነጥቦች የሉትም።
ይህ ዘዴ ከሃሴ መርሆ "ራዕይ" ለማከናወን የአቤሊያን ዝርያዎች ዋና ተመሳሳይነት ያላቸውን ቦታዎች የሚገልጽ ፅንሰ-ሀሳብ ለመገንባት እንደ መነሻ ሆኖ አገልግሏል። ከእያንዳንዱ ማከፋፈያ (ታቴ-ሻፋሬቪች ቡድን) ጋር ሊጣመር በሚችል ልዩ መዋቅር ውስጥ ይገለጻል. የንድፈ ሃሳቡ ዋና ችግር ቡድኖችን ለማስላት የሚረዱ ዘዴዎች አስቸጋሪ በመሆናቸው ላይ ነው. ይህ ጽንሰ-ሀሳብ ወደ ሌሎች የአልጀብራ ዝርያዎች ክፍሎችም ተዘርግቷል።
እኩልነቶችን ለማሟላት ስልተ ቀመር ይፈልጉ
ሌላኛው የሂዩሪዝም ሃሳብ በዲዮፓንታይን እኩልታዎች ጥናት ውስጥ ጥቅም ላይ የዋለው በእኩልነት ስብስብ ውስጥ የተካተቱት ተለዋዋጮች ብዛት ትልቅ ከሆነ ስርዓቱ አብዛኛውን ጊዜ መፍትሄ አለው። ሆኖም, ይህ ለየትኛውም የተለየ ጉዳይ ማረጋገጥ በጣም አስቸጋሪ ነው. የዚህ ዓይነቱ ችግር አጠቃላይ አቀራረብ የትንታኔ ቁጥር ንድፈ ሐሳብን ይጠቀማል እና በትሪግኖሜትሪክ ድምር ግምቶች ላይ የተመሠረተ ነው። ይህ ዘዴ በመጀመሪያ የተተገበረው በልዩ የእኩልታ አይነቶች ላይ ነው።
ነገር ግን በኋላ በእርዳታው የተረጋገጠ የዲግሪ መልክ F ከሆነ በዲእና n ተለዋዋጮች እና ምክንያታዊ አሃዞች ጋር, ከዚያም n ጋር ሲነጻጸር በቂ ትልቅ ነው, ስለዚህ የፕሮጀክት hypersurface F=0 ምክንያታዊ ነጥብ አለው, አርቲን ግምት መሠረት, ይህ ውጤት n > d2 ቢሆንም እውነት ነው.። ይህ ለአራት ቅርጾች ብቻ የተረጋገጠ ነው. ተመሳሳይ ችግሮች ለሌሎች መስኮችም ሊጠየቁ ይችላሉ. የዲዮፓንታይን ጂኦሜትሪ ማዕከላዊ ችግር የኢንቲጀር ወይም ምክንያታዊ ነጥቦች ስብስብ አወቃቀር እና ጥናታቸው ነው, እና በመጀመሪያ ሊብራራ የሚገባው ጥያቄ ይህ ስብስብ የመጨረሻ ነው. በዚህ ችግር ውስጥ, የስርአቱ ዲግሪ ከተለዋዋጮች ብዛት በጣም ትልቅ ከሆነ ሁኔታው ብዙውን ጊዜ የተገደበ ቁጥር አለው. ይህ መሰረታዊ ግምት ነው።
በመስመሮች እና ኩርባዎች ላይ ያሉ አለመመጣጠን
ቡድኑ X(K) እንደ ነፃ የደረጃ r መዋቅር እና የመጨረሻ የትእዛዝ ቡድን ቀጥተኛ ድምር ሊወከል ይችላል። ከ 1930 ዎቹ ጀምሮ እነዚህ ቁጥሮች በአንድ የተወሰነ መስክ ላይ በሁሉም ሞላላ ኩርባዎች ስብስብ ላይ የተሳሰሩ ናቸው የሚለው ጥያቄ ተጠንቷል የቶርሽን n ወሰን በሰባዎቹ ውስጥ ታይቷል. በተግባራዊ ጉዳይ ላይ የዘፈቀደ ከፍተኛ ማዕረግ ያላቸው ኩርባዎች አሉ። በቁጥር ሁኔታ፣ አሁንም ለዚህ ጥያቄ ምንም መልስ የለም።
በመጨረሻ፣የሞርዴል ግምት፣የማጠቃለያ ነጥቦች ብዛት ለጂነስ g>1 ጥምዝ የተወሰነ እንደሆነ ይገልጻል። በተግባራዊ ሁኔታ, ይህ ጽንሰ-ሐሳብ በዩ.አይ. ማኒን በ 1963 ታይቷል. በ Diophantine ጂኦሜትሪ ውስጥ የፊንጢኒዝም ቲዎረሞችን ለማረጋገጥ የሚያገለግለው ዋናው መሣሪያ ቁመት ነው። ከአልጀብራ ዝርያዎች መካከል፣ ከአንደኛው በላይ ያሉት መጠኖች አቤሊያን ናቸው።የኤሌክትሮማግኔቲክ ኩርባዎች ሁለገብ አናሎግ የሆኑት manifolds በጣም በጥልቀት የተጠኑ ናቸው።
A ዌል የምክንያታዊ ነጥቦች ቡድን የጄነሬተሮች ብዛት ውሱንነት ላይ ያለውን ንድፈ ሃሳብ በማንኛቸውም ልኬት (የሞርደል-ዊይል ጽንሰ-ሀሳብ) አጠቃሎ አቅርቧል። በ 1960 ዎቹ ውስጥ የበርች እና ስዊነርተን-ዳይር ግምቶች ታየ ፣ ይህንን እና የቡድኑን እና የዝታ ተግባራትን በማሻሻል። የቁጥር ማስረጃዎች ይህንን መላምት ይደግፋሉ።
የመፍታት ችግር
የማንኛውም የዲዮፋንታይን እኩልታ መፍትሄ እንዳለው ለመወሰን የሚያገለግል አልጎሪዝም የማግኘት ችግር። የችግሩ አስፈላጊ ገጽታ ለማንኛውም እኩልነት ተስማሚ የሆነ ሁለንተናዊ ዘዴ መፈለግ ነው. እንዲህ ዓይነቱ ዘዴ ከ P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 ወይም p21+ ⋯ + P2K=0 ጋር ስለሚመሳሰል ከላይ ያሉትን ስርዓቶች ለመፍታት ያስችላል። n12+⋯+pK2=0። በኢንቲጀር ውስጥ ለመስመራዊ አለመመጣጠን መፍትሄዎችን ለማግኘት እንደዚህ ያለ ዓለም አቀፍ መንገድ የማግኘት ችግር የተፈጠረው በዲ. ጊልበርት።
በ1950ዎቹ መጀመሪያ ላይ፣የመጀመሪያዎቹ ጥናቶች የዲዮፓንታይን እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም አለመኖሩን ለማረጋገጥ ያለመ ነበር። በዚህ ጊዜ የዴቪስ ግምት ታየ ፣ እሱም ማንኛውም ሊቆጠር የሚችል ስብስብ የግሪክ ሳይንቲስትም ነው። ምክንያቱም በአልጎሪዝም ሊወስኑ የማይችሉ ስብስቦች ምሳሌዎች ይታወቃሉ፣ነገር ግን በተደጋጋሚ ሊቆጠሩ ይችላሉ። የዴቪስ ግምቱ እውነት መሆኑን እና የእነዚህን እኩልታዎች የመፍታት ችግር ይከተላልአሉታዊ አፈጻጸም አለው።
ከዛ በኋላ፣ ለዴቪስ ግምት፣ እኩልነት የመቀየር ዘዴ እንዳለ ለማረጋገጥም (ወይም ያልነበረው) በተመሳሳይ ጊዜ መፍትሄ አለው። ከላይ ያሉት ሁለት ንብረቶች ካሉት እንዲህ ዓይነቱ የዲዮፓንታይን እኩልታ ለውጥ ሊኖር እንደሚችል ታይቷል: 1) በማንኛውም የዚህ አይነት መፍትሄ v ≦ uu; 2) ለማንኛውም ኪ፣ ከግቢ እድገት ጋር ማስፈጸሚያ አለ።
የዚህ ክፍል መስመራዊ ዲዮፓንታይን እኩልታ ምሳሌ ማስረጃውን አጠናቋል። እነዚህን እኩልነቶች በምክንያታዊ ቁጥሮች ለመፍታት እና ለመፍታት የአልጎሪዝም መኖር ችግር አሁንም በበቂ ሁኔታ ያልተጠና አስፈላጊ እና ክፍት ጥያቄ ተደርጎ ይወሰዳል።
