ማትሪክስ፡ የጋውስ ዘዴ። የጋውስ ማትሪክስ ስሌት፡ ምሳሌዎች

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-17 05:15

በዩንቨርስቲዎች በተለያዩ ስፔሻሊቲዎች የሚያስተምር Linear algebra ብዙ ውስብስብ ርዕሶችን አጣምሮ ይዟል። አንዳንዶቹ ከማትሪክስ ጋር የተገናኙ ናቸው, እንዲሁም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች በጋውስ እና በጋውስ-ዮርዳኖስ ዘዴዎች መፍትሄ ጋር የተያያዙ ናቸው. ሁሉም ተማሪዎች እነዚህን ርዕሶች፣ የተለያዩ ችግሮችን ለመፍታት ስልተ ቀመሮችን መረዳት አይችሉም። የጋውስ እና የጋውስ-ዮርዳኖስን ማትሪክስ እና ዘዴዎች አንድ ላይ እንረዳ።

መሰረታዊ ጽንሰ-ሀሳቦች

ማትሪክስ በመስመራዊ አልጀብራ ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የንጥረ ነገሮች ድርድር (ሠንጠረዥ) ነው። ከታች በቅንፍ ውስጥ የተዘጉ የንጥረ ነገሮች ስብስቦች አሉ። እነዚህ ማትሪክስ ናቸው. ከላይ ከተጠቀሰው ምሳሌ, በአራት ማዕዘን ድርድሮች ውስጥ ያሉት ንጥረ ነገሮች ቁጥሮች ብቻ እንዳልሆኑ ማየት ይቻላል. ማትሪክስ የሂሳብ ተግባራትን፣ የአልጀብራ ምልክቶችን ሊያካትት ይችላል።

አንዳንድ ፅንሰ-ሀሳቦችን ለመረዳት ከንጥረ ነገሮች አንድ ማትሪክስ A እንስራ a_ij። ኢንዴክሶች ፊደሎች ብቻ አይደሉም: እኔ በሰንጠረዡ ውስጥ ያለው የረድፍ ቁጥር ነው, እና j የዓምድ ቁጥር ነው, ንጥረ ነገሩ በሚገኝበት መገናኛ ቦታ ላይ ነው.a_ij። ስለዚህ፣ እንደ a₁₁፣ a₂₁፣ a₁₂፣ aየመሳሰሉ ንጥረ ነገሮች ማትሪክስ እንዳለን እናያለን። ₂₂ እና ሌሎችም። n ፊደል የአምዶችን ብዛት ያሳያል፣ እና m ፊደል ደግሞ የረድፎችን ብዛት ያሳያል። ምልክቱ m × n የማትሪክስ ልኬትን ያመለክታል. ይህ የረድፎች እና የዓምዶች ብዛት በአራት ማዕዘን የንጥረ ነገሮች ድርድር የሚገልፀው ፅንሰ-ሀሳብ ነው።

በአማራጭ ማትሪክስ ብዙ ዓምዶች እና ረድፎች ሊኖሩት ይገባል። በ 1 × n ልኬት ፣ የንጥረ ነገሮች ድርድር ነጠላ-ረድፍ ነው ፣ እና ከ m × 1 ልኬት ጋር ፣ ባለ አንድ አምድ ድርድር ነው። የረድፎች ብዛት እና የአምዶች ቁጥር እኩል ሲሆኑ, ማትሪክስ ካሬ ይባላል. እያንዳንዱ ካሬ ማትሪክስ መወሰኛ (det A) አለው። ይህ ቃል ለማትሪክስ A.

የተመደበውን ቁጥር ያመለክታል

ማትሪክቶችን በተሳካ ሁኔታ ለመፍታት ጥቂት ተጨማሪ አስፈላጊ ፅንሰ-ሀሳቦችን ማስታወስ ዋና እና ሁለተኛ ደረጃ ዲያግራኖች ናቸው። የማትሪክስ ዋናው ሰያፍ ከላይኛው ግራ ጥግ ወደ ጠረጴዛው ቀኝ ጥግ የሚወርድ ዲያግናል ነው። የጎን ዲያግናል ወደ ቀኝ ጥግ ከግራ ጥግ ከስር ይሄዳል።

የደረጃ ማትሪክስ እይታ

ከታች ያለውን ምስል ይመልከቱ። በእሱ ላይ ማትሪክስ እና ዲያግራም ታያለህ. መጀመሪያ ከማትሪክስ ጋር እንገናኝ። በመስመራዊ አልጀብራ፣ የዚህ አይነት ማትሪክስ የእርከን ማትሪክስ ይባላል። አንድ ንብረት አለው፡ a_ij የመጀመሪያው ዜሮ ያልሆነ ኤለመንት ከሆነ i-th ረድፍ፣ ከዚያ ሁሉም ሌሎች አካላት ከታች ካለው ማትሪክስ እና ከ_{ij በስተግራ} ፣ ዋጋ የሌላቸው ናቸው (ማለትም፣ ሁሉም ክፍሎች ለፊደል ስያሜ ሀ_kl፣ k>i እናl<j)።

አሁን ስዕሉን አስቡበት። እሱ የማትሪክስ ደረጃውን ያንፀባርቃል። መርሃግብሩ 3 ዓይነት ሴሎችን ያሳያል. እያንዳንዱ አይነት የተወሰኑ ክፍሎችን ያሳያል፡

• ባዶ ሕዋሳት - የማትሪክስ ዜሮ አካላት፤
• ጥላ የተደረገባቸው ህዋሶች ዜሮ እና ዜሮ ያልሆኑ የዘፈቀደ አካላት ናቸው፤
• ጥቁር ካሬዎች ዜሮ ያልሆኑ ንጥረ ነገሮች ናቸው፣ እነሱም የማዕዘን ኤለመንቶች፣ “እርምጃዎች” ይባላሉ (ከእነሱ ቀጥሎ ባለው ማትሪክስ ውስጥ እንደዚህ ያሉ አካላት ቁጥሮች -1፣ 5፣ 3፣ 8)።

ማትሪክስ በሚፈታበት ጊዜ አንዳንድ ጊዜ ውጤቱ የእርምጃው "ርዝመት" ከ 1 ይበልጣል። ይህ ይፈቀዳል። የእርምጃዎቹ "ቁመት" ብቻ አስፈላጊ ነው. በደረጃ ማትሪክስ፣ ይህ ግቤት ሁል ጊዜ ከአንድ ጋር እኩል መሆን አለበት።

የማትሪክስ ቅነሳ ወደ ደረጃ ቅፅ

ማንኛውም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ማትሪክስ ወደ እርከን መልክ ሊቀየር ይችላል። ይህ የሚደረገው በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ነው። የሚከተሉትን ያካትታሉ፡

• ገመዶችን እንደገና ማስተካከል፤
• ሌላ መስመርን ወደ አንድ መስመር ማከል፣ ካስፈለገም በተወሰነ ቁጥር ተባዝቶ (የመቀነስ ስራንም ማከናወን ትችላለህ)።

አንድን ችግር ለመፍታት የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን እናስብ። ከታች ያለው ምስል ማትሪክስ A ያሳያል፣ ወደ ደረጃ ቅፅ መቀነስ አለበት።

ችግሩን ለመፍታት አልጎሪዝምን እንከተላለን፡

• በማትሪክስ ላይ ለውጦችን ለማከናወን ምቹ ነው።በላይኛው ግራ ጥግ ላይ ያለው የመጀመሪያው አካል (ማለትም "መሪ" አባል) 1 ወይም -1 ነው. በእኛ ሁኔታ ፣ በላይኛው ረድፍ ውስጥ ያለው የመጀመሪያው አካል 2 ነው ፣ ስለሆነም የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ረድፎችን እንለዋወጥ።
• የመቀነስ ስራዎችን እናከናውን ይህም ረድፎች 2, 3 እና 4 ላይ ተጽእኖ ያሳድራሉ. በ "መሪ" ክፍል ውስጥ በመጀመሪያው አምድ ውስጥ ዜሮዎችን ማግኘት አለብን. ይህንን ውጤት ለማግኘት: ከመስመር ቁጥር 2 ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል የመስመር ቁጥር 1 ክፍሎችን በ 2 ተባዝተን እንቀንሳለን. ከመስመር ቁጥር 3 ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል በመስመር ቁጥር 1 ያሉትን ንጥረ ነገሮች እንቀንሳለን, በ 4 ተባዝተናል; ከመስመር ቁጥር 4 ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል የቁጥር 1 ክፍሎችን እንቀንሳለን.
• በመቀጠል፣ በተቆራረጠ ማትሪክስ (ያለ አምድ 1 እና ያለ ረድፍ 1) እንሰራለን። አዲሱ "መሪ" ኤለመንት, በሁለተኛው ዓምድ እና በሁለተኛው ረድፍ መገናኛ ላይ የቆመ, ከ -1 ጋር እኩል ነው. መስመሮችን ማስተካከል አያስፈልግም, ስለዚህ የመጀመሪያውን አምድ እና የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ረድፎችን ያለምንም ለውጦች እንጽፋለን. በ "መሪ" ኤለመንት ስር በሁለተኛው አምድ ውስጥ ዜሮዎችን ለማግኘት የመቀነስ ስራዎችን እናከናውን: ከሦስተኛው መስመር አካላት የሁለተኛውን መስመር ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል በ 3 ተባዝተናል. ከአራተኛው መስመር አባሎች በ2 ተባዝተው የሁለተኛውን መስመር ንጥረ ነገሮች ቀንስ።
• የመጨረሻውን መስመር ለመቀየር ይቀራል። ከእሱ ንጥረ ነገሮች የሶስተኛው ረድፍ ክፍሎችን በተከታታይ እንቀንሳለን. ስለዚህ፣ ደረጃ ያለው ማትሪክስ አግኝተናል።

ማትሪክስ ወደ ደረጃ ቅፅ መቀነስ የመስመራዊ እኩልታዎችን (SLE) ስርዓቶችን በጋውስ ዘዴ ለመፍታት ይጠቅማል። ይህንን ዘዴ ከመመልከታችን በፊት፣ ከኤስኤልኤን ጋር የተያያዙ አንዳንድ ቃላትን እንረዳ።

ማትሪክስ እና የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች

ማትሪክስ በተለያዩ ሳይንሶች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል። የቁጥሮች ሠንጠረዦችን በመጠቀም፣ ለምሳሌ የጋውስ ዘዴን በመጠቀም ወደ ሥርዓት የተዋሃዱ የመስመር እኩልታዎችን መፍታት ይችላሉ። በመጀመሪያ፣ ከጥቂት ቃላቶች እና ፍቺዎቻቸው ጋር እንተዋወቅ፣ እና እንዲሁም በርካታ መስመራዊ እኩልታዎችን ከሚያጣምር ስርዓት እንዴት ማትሪክስ እንደሚፈጠር እንይ።

SLU – በርካታ የተዋሃዱ የአልጀብራ እኩልታዎች ከመጀመሪያ ሃይል የማይታወቁ እና ምንም የምርት ውል የለም።

SLE መፍትሄ - ያልታወቁ እሴቶች ተገኝተዋል፣በመተካት በስርዓቱ ውስጥ ያሉት እኩልታዎች መለያዎች ይሆናሉ።

የጋራ SLE ቢያንስ አንድ መፍትሄ ያለው የእኩልታዎች ስርዓት ነው።

ወጥነት የሌለው SLE መፍትሄ የሌለው የእኩልታዎች ስርዓት ነው።

ማትሪክስ እንዴት ነው መስመራዊ እኩልታዎችን በሚያጣምር ስርዓት ላይ የተመሰረተ? እንደ ዋናው እና የተራዘመ ማትሪክስ የስርዓቱ ጽንሰ-ሐሳቦች አሉ. የስርዓቱን ዋና ማትሪክስ ለማግኘት, ለማይታወቁት ሁሉንም መለኪያዎች በሠንጠረዥ ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው. የተስፋፋው ማትሪክስ የሚገኘው በዋናው ማትሪክስ ውስጥ የነፃ ቃላትን አምድ በመጨመር ነው (በሲስተሙ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ እኩልታ የሚመሳሰልባቸው የታወቁ አካላትን ያካትታል)። ከታች ያለውን ምስል በማጥናት ይህን አጠቃላይ ሂደት መረዳት ትችላላችሁ።

በምስሉ ላይ በመጀመሪያ የምናየው ነገር መስመራዊ እኩልታዎችን ያካተተ ስርዓት ነው። ክፍሎቹ፡ a_ij - አሃዛዊ አሃዞች፣ x_j - ያልታወቁ እሴቶች፣ b_i - ቋሚ ቃላት (where i=1፣ 2፣ …፣ m፣ እና j=1፣ 2፣ …፣ n)። በሥዕሉ ላይ ያለው ሁለተኛው ንጥረ ነገር የቁጥር ዋና ማትሪክስ ነው። ከእያንዳንዱ እኩልታ, ውህደቶቹ በተከታታይ ተጽፈዋል. በውጤቱም, በስርዓቱ ውስጥ እኩልታዎች እንዳሉት በማትሪክስ ውስጥ ብዙ ረድፎች አሉ. የአምዶች ብዛት በማንኛውም እኩልታ ውስጥ ካሉት ከፍተኛው የቅንጅቶች ብዛት ጋር እኩል ነው። በምስሉ ላይ ያለው ሶስተኛው አካል የነጻ ቃላት አምድ ያለው የተሻሻለ ማትሪክስ ነው።

የጋውስ ዘዴ አጠቃላይ መረጃ

በቀጥታ አልጀብራ፣ የጋውስ ዘዴ SLEን የመፍታት ክላሲካል መንገድ ነው። በ 18 ኛው -19 ኛው ክፍለ ዘመን የኖረውን ካርል ፍሬድሪክ ጋውስ ስም ይይዛል. ይህ ከምንጊዜውም ታላላቅ የሂሳብ ሊቃውንት አንዱ ነው። የጋውስ ዘዴ ዋናው ነገር በመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ላይ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን ማድረግ ነው። በትራንስፎርሜሽን እገዛ፣ SLE ወደ ባለ ሦስት ማዕዘን (የእርከን) ቅርጽ ወደ ተመጣጣኝ ስርዓት ይቀንሳል፣ ሁሉም ተለዋዋጮች ሊገኙበት ይችላሉ።

ካርል ፍሬድሪክ ጋውስ የመስመር እኩልታዎችን ስርዓት የመፍታት ክላሲካል ዘዴ ፈላጊ አለመሆኑን ልብ ሊባል ይገባል። ዘዴው የተፈጠረው በጣም ቀደም ብሎ ነው። የመጀመርያው መግለጫ የሚገኘው በጥንታዊ ቻይናውያን የሂሳብ ሊቃውንት እውቀት ኢንሳይክሎፔዲያ ውስጥ ነው፣ይህም "ሒሳብ በ9 መፅሃፍት" ይባላል።

SLEን በGauss ዘዴ የመፍታት ምሳሌ

የስርዓቶችን መፍትሄ በጋውስ ዘዴ በተወሰነ ምሳሌ ላይ እናስብ። በምስሉ ላይ ከሚታየው SLU ጋር እንሰራለን።

አልጎሪዝም መፍታት፡

1. በጋውስ ዘዴ ቀጥተኛ እንቅስቃሴ ስርዓቱን ወደ አንድ ደረጃ እንቀንሳለን፣ነገር ግን መጀመሪያየተስፋፋ የቁጥር አሃዞችን እና የነጻ አባላትን ማትሪክስ እንሰራለን።
2. ማትሪክስን ለመፍታት የጋውሲያን ዘዴን በመጠቀም (ማለትም ወደ ደረጃው አምጣው) ከሁለተኛው እና ከሶስተኛው ረድፎች አባሎች ፣የመጀመሪያውን ረድፍ አካላት በቅደም ተከተል እንቀንሳለን። በ "መሪ" ኤለመንት ስር በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ዜሮዎችን እናገኛለን. በመቀጠል, ሁለተኛውን እና ሶስተኛውን መስመር ለመመቻቸት በቦታዎች እንለውጣለን. በመጨረሻው ረድፍ ክፍሎች ላይ የሁለተኛው ረድፍ ክፍሎችን በቅደም ተከተል ይጨምሩ በ 3.

ተባዝተዋል.

3. በማትሪክስ ስሌት በጋውስ ዘዴ የተነሳ በደረጃ የተደረደሩ ንጥረ ነገሮች አግኝተናል። በእሱ ላይ በመመስረት, አዲስ የመስመሮች እኩልታዎች ስርዓት እንፈጥራለን. በ Gauss ዘዴ በተገላቢጦሽ ፣ ያልታወቁ ቃላት እሴቶችን እናገኛለን። ከመጨረሻው መስመራዊ እኩልታ x₃ ከ 1 ጋር እኩል እንደሆነ መረዳት ይቻላል።ይህንን እሴት ወደ ስርዓቱ ሁለተኛ መስመር እንተካለን። እኩልታ x₂ - 4=-4 ያገኛሉ። በመቀጠልም x₂ ከ 0 ጋር እኩል ነው። x₂ እና x₃ ወደ የስርዓቱ የመጀመሪያ እኩልታ ይተኩ፡ x1 _{+ 0 +3=2. ያልታወቀ ቃል -1.} ነው

መልስ፡- ማትሪክስን፣ የጋውሲያን ዘዴን በመጠቀም የማናውቁትን እሴቶች አግኝተናል። x₁ =-1፣ x₂=0፣ x₃=1.

የጋውስ-ዮርዳኖስ ዘዴ

በቀጥታ አልጀብራ ውስጥ እንደ ጋውስ-ዮርዳኖስ ዘዴ ያለ ነገርም አለ። የጋውሲያን ዘዴ እንደማሻሻያ ተደርጎ ይቆጠራል እና ተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማግኘት፣ ያልታወቁ የአልጀብራ መስመራዊ እኩልታዎች የካሬ ሥርዓቶችን አስላ። የጋውስ-ዮርዳኖስ ዘዴ SLE ን በአንድ ደረጃ ለመፍታት ስለሚያስችል (ቀጥታ እና ተገላቢጦሽ ሳይጠቀም) ምቹ ነው።ይንቀሳቀሳል)።

በ"ተገላቢጦሽ ማትሪክስ" በሚለው ቃል እንጀምር። ማትሪክስ ሀ አለን እንበል። ለእሱ የተገላቢጦሹ ማትሪክስ A^-1 ይሆናል፣ሁኔታው የግድ ረክቷል፡- A × A^-1=A -1 ^{× A=E ማለትም የእነዚህ ማትሪክስ ውጤት ከማንነት ማትሪክስ ጋር እኩል ነው (የማንነት ማትሪክስ ዋና ዲያግናል ንጥረ ነገሮች አንድ ናቸው፣ የተቀሩት አካላት ደግሞ ዜሮ ናቸው).}

አንድ ጠቃሚ ነጥብ፡-በሊነል አልጀብራ ውስጥ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ መኖር ላይ ቲዎሬም አለ። ለማትሪክስ መኖር በቂ እና አስፈላጊ ቅድመ ሁኔታ A^-1 ማትሪክስ A ነጠላ ያልሆነ ነው።

የጋውስ-ዮርዳኖስ ዘዴ የተመሰረተባቸው መሰረታዊ ደረጃዎች፡

1. የአንድ የተወሰነ ማትሪክስ የመጀመሪያውን ረድፍ ይመልከቱ። የመጀመሪያው እሴት ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ የጋውስ-ዮርዳኖስ ዘዴ መጀመር ይቻላል. የመጀመሪያው ቦታ 0 ከሆነ፣ በመቀጠል ረድፎቹን ይቀያይሩ ይህም የመጀመሪያው ንጥረ ነገር ዜሮ ያልሆነ እሴት እንዲኖረው (ቁጥሩ ወደ አንድ እንዲጠጋ ይፈለጋል)።
2. የመጀመሪያውን ረድፍ ሁሉንም አካላት በመጀመሪያው ቁጥር ይከፋፍሏቸው። በአንድ የሚጀምር ሕብረቁምፊ ይጨርሳሉ።
3. ከሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በሁለተኛው መስመር የመጀመሪያ ኤለመንት ተባዝቶ ቀንስ፣ ማለትም በመጨረሻ ከዜሮ የሚጀምር መስመር ያገኛሉ። ለቀሪዎቹ መስመሮች ተመሳሳይ ነገር ያድርጉ. 1 ሰያፍ በሆነ መንገድ ለማግኘት እያንዳንዱን መስመር በመጀመሪያ ዜሮ ባልሆነ አካል ይከፋፍል።
4. በዚህም ምክንያት የጋውስ - ዮርዳኖስን ዘዴ በመጠቀም የላይኛውን ባለሶስት ማዕዘን ማትሪክስ ያገኛሉ። በእሱ ውስጥ, ዋናው ዲያግናል በዩኒቶች ይወከላል. የታችኛው ጥግ በዜሮዎች ተሞልቷል, እናየላይኛው ጥግ - የተለያዩ እሴቶች።
5. ከቀጣዩ መስመር፣ በሚፈለገው መጠን በማባዛት የመጨረሻውን መስመር ይቀንሱ። ዜሮ እና አንድ ያለው ሕብረቁምፊ ማግኘት አለቦት። ለቀሪዎቹ መስመሮች ተመሳሳይ እርምጃ ይድገሙት. ከሁሉም ለውጦች በኋላ የማንነት ማትሪክስ ይመጣል።

የጋውስ-ዮርዳኖስን ዘዴ በመጠቀም የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የማግኘት ምሳሌ

የተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማስላት የተጨመረውን ማትሪክስ A|E መፃፍ እና አስፈላጊውን ለውጥ ማድረግ ያስፈልግዎታል። እስቲ አንድ ቀላል ምሳሌ እንመልከት። ከታች ያለው ምስል ማትሪክስ A.

ያሳያል

መፍትሔ፡

1. በመጀመሪያ፣ የጋውሲያን ዘዴን (det A) በመጠቀም የማትሪክስ መወሰኑን እናገኝ። ይህ ግቤት ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ ማትሪክስ ነጠላ እንዳልሆነ ይቆጠራል። ይህ A በእርግጠኝነት A^-1 አለው ብለን መደምደም ያስችለናል። ወሳኙን ለማስላት ማትሪክስ በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ወደ ደረጃ አቅጣጫ እንለውጣለን. ቁጥሩን K ከረድፍ ፐርሙቴሽን ቁጥር ጋር እኩል እንቆጥረው። መስመሮቹን 1 ጊዜ ብቻ ቀይረናል። ወሳኙን እናሰላው. እሴቱ በ(–1)^K ይባዛል ከዋናው ሰያፍ ንጥረ ነገሮች ምርት ጋር እኩል ይሆናል። የስሌት ውጤት፡ det A=2.
2. የታከለውን ማትሪክስ የማንነት ማትሪክስ ወደ መጀመሪያው ማትሪክስ በማከል ይፃፉ። የተገኘው የንጥረ ነገሮች ድርድር ተገላቢጦሹን ማትሪክስ በጋውስ-ዮርዳኖስ ዘዴ ለማግኘት ጥቅም ላይ ይውላል።
3. በመጀመሪያው ረድፍ ውስጥ ያለው የመጀመሪያው አካል ከአንድ ጋር እኩል ነው። ይህ ለእኛ ተስማሚ ነው, ምክንያቱም መስመሮችን እንደገና ማስተካከል እና የተሰጠውን መስመር በተወሰነ ቁጥር መከፋፈል አያስፈልግም. ሥራ እንጀምርከሁለተኛው እና ከሦስተኛው መስመር ጋር. በሁለተኛው ረድፍ ውስጥ የመጀመሪያውን ኤለመንት ወደ 0 ለመቀየር የመጀመሪያውን ረድፍ ከሁለተኛው ረድፍ በ 3 ተባዝቶ ቀንስ። የመጀመሪያውን ረድፍ ከሶስተኛው ረድፍ ቀንስ (ማባዛት አያስፈልግም)።
4. በውጤቱ ማትሪክስ የሁለተኛው ረድፍ ሁለተኛ ክፍል -4 ሲሆን የሦስተኛው ረድፍ ሁለተኛ ክፍል -1 ነው። መስመሮችን ለመመቻቸት እንለዋወጥ። ከሶስተኛው ረድፍ ሁለተኛውን ረድፍ በ 4 ማባዛት ይቀንሱ. ሁለተኛውን ረድፍ በ -1 እና ሶስተኛውን ረድፍ በ 2 ያካፍሉ. የላይኛውን ሶስት ማዕዘን ማትሪክስ እናገኛለን.
5. ከሁለተኛው መስመር በ4 ተባዝቶ የመጨረሻውን መስመር ከመጀመሪያው መስመር በ5 ተባዝቶ እንቀንስ።በመቀጠል ከመጀመሪያው መስመር በ2 ተባዝቶ ሁለተኛውን እንቀንስ በግራ በኩል ደግሞ አገኘን ። የማንነት ማትሪክስ. በቀኝ በኩል የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ነው።

SLEን በጋውስ-ዮርዳኖስ ዘዴ የመፍታት ምሳሌ

ሥዕሉ የመስመር እኩልታዎች ስርዓትን ያሳያል። የጋውስ-ዮርዳኖስ ዘዴ የሆነውን ማትሪክስ በመጠቀም ያልታወቁ ተለዋዋጮች እሴቶችን ማግኘት ያስፈልጋል።

መፍትሔ፡

1. የተሻሻለ ማትሪክስ እንፍጠር። ይህንን ለማድረግ፣ የነጻ ቃላቶቹን በሰንጠረዡ ውስጥ እናስቀምጣለን።
2. የጋውስ-ዮርዳኖስን ዘዴ በመጠቀም ማትሪክስ ይፍቱ። ከመስመር ቁጥር 2 መስመር ቁጥር 1 እንቀንሳለን።
3. ረድፎችን 2 እና 3 ይቀያይሩ።
4. ከመስመር 3 የመቀነስ መስመር 2 በ 2 ተባዝቷል። የተገኘውን ሶስተኛ መስመር በ-1 ያካፍሉ።
5. መስመር 3ን ከመስመር 2 ቀንስ።
6. መስመር 1ን ከመስመር 1 ቀንስ2 ጊዜ - 1. በጎን በኩል, ቁጥሮችን 0, 1 እና -1 የያዘ አምድ አግኝተናል. ከዚህ በመነሳት x₁=0፣ x₂=1 እና x₃ =-1.

=1.

ከፈለጉ፣ የተቆጠሩትን እሴቶች ወደ እኩልታዎች በመተካት የመፍትሄውን ትክክለኛነት ማረጋገጥ ይችላሉ፡

• 0 - 1=-1፣ የስርአቱ የመጀመሪያ መታወቂያ ትክክል ነው፤
• 0 + 1 + (–1)=0፣ ሁለተኛው የስርአቱ መታወቂያ ትክክል ነው፤
• 0 - 1 + (–1)=-2፣ ሦስተኛው የስርአቱ ማንነት ትክክል ነው።

ማጠቃለያ፡ የጋውስ-ዮርዳኖስን ዘዴ በመጠቀም መስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎችን የሚያጣምር ባለአራት ስርዓት ትክክለኛውን መፍትሄ አግኝተናል።

የመስመር ላይ አስሊዎች

የዛሬው ወጣቶች በዩኒቨርሲቲዎች እየተማሩ እና ሊኒያር አልጀብራ እየተማሩ ያሉበት ኑሮ በጣም ቀላል ሆኗል። ከጥቂት አመታት በፊት በራሳችን የጋውስ እና ጋውስ-ዮርዳኖስ ዘዴን በመጠቀም ለስርዓቶች መፍትሄዎችን መፈለግ ነበረብን። አንዳንድ ተማሪዎች ተግባራቶቹን በተሳካ ሁኔታ ተቋቁመዋል, ሌሎች ደግሞ በመፍትሔው ውስጥ ግራ ተጋብተዋል, ስህተት ሰርተዋል, የክፍል ጓደኞችን እርዳታ ጠየቁ. ዛሬ, የቤት ስራ ሲሰሩ የመስመር ላይ አስሊዎችን መጠቀም ይችላሉ. የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ፈልግ ትክክለኛ መልሶችን ብቻ ሳይሆን አንድን ችግር የመፍታትን ሂደት የሚያሳዩ ፕሮግራሞች ተፅፈዋል።

በበይነመረብ ላይ አብሮ በተሰራ የመስመር ላይ ካልኩሌተሮች ብዙ ግብዓቶች አሉ። Gaussian matrices, የእኩልታዎች ስርዓቶች በጥቂት ሰከንዶች ውስጥ በእነዚህ ፕሮግራሞች ተፈትተዋል. ተማሪዎች የሚፈለጉትን መለኪያዎች ብቻ መግለጽ አለባቸው (ለምሳሌ፣ የእኩልታዎች ብዛት፣የተለዋዋጮች ብዛት)።