ማትሪክስ እና ወሳኞች በአስራ ስምንተኛው እና አስራ ዘጠነኛው ክፍለ ዘመን ተገኝተዋል። መጀመሪያ ላይ እድገታቸው የጂኦሜትሪክ ዕቃዎችን መለወጥ እና የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍትሄ ይመለከታል። ከታሪክ አኳያ፣ የመጀመሪያው አጽንዖት በወሳኙ ላይ ነበር። በዘመናዊ መስመራዊ አልጀብራ ማቀነባበሪያ ዘዴዎች፣ ማትሪክስ በመጀመሪያ ይቆጠራሉ። ይህን ጥያቄ ለጥቂት ጊዜ ማሰብ ተገቢ ነው።
መልሶች ከዚህ የእውቀት አካባቢ
ማትሪክስ እንደ፡
ያሉ ብዙ ችግሮችን ለመፍታት በንድፈ ሃሳብ ደረጃ እና በተግባር ጠቃሚ መንገድ ያቀርባል።
- የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች፤
- የጠጣር ሚዛን (በፊዚክስ)፤
- የግራፍ ቲዎሪ፤
- የሊዮንቲፍ ኢኮኖሚያዊ ሞዴል፤
- የደን ልማት፤
- የኮምፒውተር ግራፊክስ እና ቲሞግራፊ፤
- ጄኔቲክስ፤
- ክሪፕቶግራፊ፤
- የኤሌክትሪክ መረቦች፤
- fractal።
በእርግጥ፣ ማትሪክስ አልጀብራ ለ"dummies" ቀለል ያለ ፍቺ አለው። እንደሚከተለው ይገለጻል-ይህ የእውቀት ሳይንሳዊ መስክ ነውበጥያቄ ውስጥ ያሉት እሴቶች የተጠኑ, የተተነተኑ እና ሙሉ በሙሉ ይመረመራሉ. በዚህ የአልጀብራ ክፍል በጥናት ላይ ባሉ ማትሪክስ ላይ የተለያዩ ኦፕሬሽኖች በጥናት ላይ ይገኛሉ።
በማትሪክስ እንዴት እንደሚሰራ
እነዚህ እሴቶች ተመሳሳይ መጠኖች ካላቸው እና እያንዳንዱ የአንዱ ንጥረ ነገር ከሌላው ተጓዳኝ አካል ጋር እኩል ከሆነ እንደ እኩል ይቆጠራሉ። ማትሪክስ በማንኛውም ቋሚ ማባዛት ይቻላል. ይህ የተሰጠው ስካላር ብዜት ይባላል። ምሳሌ፡ 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468]።
ተመሳሳይ መጠን ያላቸው ማትሪክስ በግብአት ሊታከል እና ሊቀንስ ይችላል፣ እና ተመጣጣኝ መጠን ያላቸው እሴቶች ሊባዙ ይችላሉ። ምሳሌ፡ ሁለት A እና B፡ A=[21−10]B=[1423] ጨምሩ። ይህ ሊሆን የቻለው A እና B ሁለቱም ሁለት ረድፎች እና ተመሳሳይ የአምዶች ቁጥር ያላቸው ማትሪክስ በመሆናቸው ነው። በA ውስጥ ያለውን እያንዳንዱን ንጥረ ነገር በ B፡ A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333] ውስጥ ወዳለው ተጓዳኝ አካል መጨመር አስፈላጊ ነው። ማትሪክስ በአልጀብራ በተመሳሳይ መልኩ ይቀንሳል።
ማትሪክስ ማባዛት ትንሽ ለየት ባለ መልኩ ይሰራል። ከዚህም በላይ ብዙ ጉዳዮች እና አማራጮች እንዲሁም መፍትሄዎች ሊኖሩ ይችላሉ. ማትሪክስ Apq እና Bmnን ብናባዛው ምርቱ Ap×q+Bm×n=[AB]p×n ነው። በ gth ረድፉ ውስጥ ያለው ግቤት እና የ AB hth አምድ በ g A እና h B ውስጥ ያሉት ተዛማጅ ግቤቶች ውጤት ድምር ነው ። ሁለት ማትሪክቶችን ማባዛት የሚቻለው በመጀመሪያው ላይ ያሉት የአምዶች ብዛት እና በሁለተኛው ረድፎች ውስጥ ከሆነ ብቻ ነው ። እኩል ናቸው. ምሳሌ፡ ለግምት A እና B፡ A=[1−130]B=[2−11214] የሚለውን ቅድመ ሁኔታ ሙላ። ይህ ሊሆን የቻለው የመጀመሪያው ማትሪክስ 2 አምዶች እና ሁለተኛው ደግሞ 2 ረድፎችን ስለሚይዝ ነው. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[-1−27−113−1]።
ስለ ማትሪክስ መሰረታዊ መረጃ
በጥያቄ ውስጥ ያሉት እሴቶች እንደ ተለዋዋጮች እና ቋሚዎች ያሉ መረጃዎችን ያደራጃሉ እና በረድፍ እና አምዶች ውስጥ ያከማቻሉ፣ ብዙውን ጊዜ ሐ ይባላል። በማትሪክስ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቦታ ኤለመንት ይባላል። ምሳሌ፡ C=[1234]። ሁለት ረድፎችን እና ሁለት አምዶችን ያካትታል. ኤለመንት 4 በረድፍ 2 እና አምድ 2 ላይ ነው። አብዛኛውን ጊዜ ማትሪክስ በስሜቶቹ ስም መሰየም ይችላሉ፣ Cmk የሚባለው m ረድፎች እና k አምዶች አሉት።
የተስፋፉ ማትሪክስ
ግምገማዎች በብዙ የተለያዩ የመተግበሪያ ቦታዎች ላይ የሚመጡ በማይታመን ሁኔታ ጠቃሚ ነገሮች ናቸው። ማትሪክስ መጀመሪያ ላይ በመስመራዊ እኩልታዎች ላይ የተመሰረተ ነበር። ከሚከተለው የእኩልነት አወቃቀር አንፃር፣ የሚከተለው የተጠናቀቀ ማትሪክስ ግምት ውስጥ መግባት ይኖርበታል፡
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
የመቀነስ ምልክቶችን ጨምሮ ኮፊሸን ይጻፉ እና እሴቶችን ይመልሱ። ኤለመንት አሉታዊ ቁጥር ያለው ከሆነ ከ "1" ጋር እኩል ይሆናል. ማለትም፣ የ(መስመራዊ) እኩልታዎች ስርዓት ከተሰጠው፣ ማትሪክስ (በውስጠ-ቅንፎች ውስጥ ያሉ የቁጥሮች ፍርግርግ) ከእሱ ጋር ማያያዝ ይቻላል። የመስመራዊ ስርዓቱን ቅንጅቶች ብቻ የያዘው እሱ ነው። ይህ "የተስፋፋ ማትሪክስ" ይባላል. ከእያንዳንዱ እኩልታ በስተግራ የሚገኙትን ኮፊፊሴፍቶች የያዘው ፍርግርግ ከእያንዳንዱ እኩልታ በቀኝ በኩል መልሶች "ተጨምረዋል"።
መዝግቦ፣ ማለትምየማትሪክስ B እሴቶች ከመጀመሪያው ስርዓት x-, y- እና z ጋር ይዛመዳሉ. በትክክል ከተዘጋጀ, በመጀመሪያ ደረጃ ያረጋግጡ. አንዳንድ ጊዜ ውሎቹን ማስተካከል ወይም ዜሮዎችን በማትሪክስ ውስጥ እንደ ቦታ ያዥ በማጥናት ወይም በማጥናት ላይ ማስገባት ያስፈልግዎታል።
ከሚከተለው የእኩልታዎች ስርዓት ከተሰጠን፣ የተቆራኘውን የተጨመረ ማትሪክስ ወዲያውኑ መፃፍ እንችላለን፡
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
መጀመሪያ፣ ስርዓቱን እንደ፡
እንደገና ማደራጀትዎን ያረጋግጡ።
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
ከዚያም ተያያዥ ማትሪክስ እንደሚከተለው መጻፍ ይቻላል፡- [11000113-1012]። የተራዘመውን ሲፈጥሩ በመስመር እኩልታዎች ስርዓት ውስጥ ያለው ተዛማጅ ቦታ ባዶ በሆነበት ለማንኛውም መዝገብ ዜሮን መጠቀም ተገቢ ነው።
ማትሪክስ አልጀብራ፡ የኦፕሬሽኖች ባህሪያት
ኤለመንቶችን ከኮፊቲካል እሴቶች ብቻ ለመቅረጽ አስፈላጊ ከሆነ፣ የታሰበው እሴት ይህን ይመስላል፡ [110011-101]። ይህ "coefficient matrix" ይባላል።
የሚከተሉትን የተራዘመ ማትሪክስ አልጀብራን ከግምት ውስጥ በማስገባት እሱን ማሻሻል እና ተዛማጅ መስመራዊ ስርዓቱን ማከል አስፈላጊ ነው። ይህ በተባለው ጊዜ፣ ተለዋዋጮቹ በደንብ የተደረደሩ እና ሥርዓታማ እንዲሆኑ እንደሚፈልጉ ማስታወስ ጠቃሚ ነው። እና ብዙውን ጊዜ ሶስት ተለዋዋጮች ሲኖሩ፣ በቅደም ተከተል x፣y እና z ይጠቀሙ። ስለዚህ፣ የተቆራኘው መስመራዊ ስርዓት፡
መሆን አለበት።
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
የማትሪክስ መጠን
በጥያቄ ውስጥ ያሉት እቃዎች ብዙ ጊዜ የሚጠቀሱት በአፈፃፀማቸው ነው። በአልጀብራ ውስጥ ያለው የማትሪክስ መጠን እንደ ተሰጥቷል።መለኪያዎች, ክፍሉ በተለየ መንገድ ሊጠራ ስለሚችል. የሚለካው የእሴቶች መለኪያዎች ረድፎች እና ዓምዶች እንጂ ስፋትና ርዝመት አይደሉም። ለምሳሌ፣ ማትሪክስ A፡
[1234]
[2345]
[3456]።
ኤ ሶስት ረድፎች እና አራት አምዶች ስላሉት የA መጠን 3 × 4 ነው።
→
↓
መስመሮች ወደ ጎን ይሄዳሉ። ዓምዶቹ ወደ ላይ እና ወደ ታች ይሄዳሉ. "ረድፍ" እና "አምድ" መግለጫዎች ናቸው እና አይለዋወጡም. የማትሪክስ መጠኖች ሁልጊዜ ከረድፎች ብዛት እና ከዚያም ከአምዶች ቁጥር ጋር ይገለፃሉ. ከዚህ ስምምነት በኋላ፣ የሚከተለው B፡
[123]
[234] 2 × 3 ነው። ማትሪክስ እንደ ዓምዶች ተመሳሳይ የረድፎች ብዛት ካለው “ካሬ” ይባላል። ለምሳሌ፣ የተመጣጠነ ዋጋዎች ከላይ፡
[110]
[011]
[-101] ባለ 3×3 ካሬ ማትሪክስ ነው።
ማትሪክስ ምልክት እና ቅርጸት
የቅርጸት ማስታወሻ፡ ለምሳሌ ማትሪክስ መፃፍ ሲያስፈልግ ቅንፎችን መጠቀም አስፈላጊ ነው። ፍፁም እሴት አሞሌዎች || በዚህ አውድ የተለየ አቅጣጫ ስላላቸው ጥቅም ላይ አይውሉም። ቅንፎች ወይም የተጠማዘዙ ቅንፎች {} በጭራሽ ጥቅም ላይ አይውሉም። ወይም ሌላ የመቧደን ምልክት፣ ወይም በጭራሽ፣ እነዚህ አቀራረቦች ምንም ትርጉም ስለሌላቸው። በአልጀብራ ውስጥ ፣ ማትሪክስ ሁል ጊዜ በካሬ ቅንፎች ውስጥ ነው። ትክክለኛ ምልክት ብቻ ነው ጥቅም ላይ መዋል ያለበት፣ ወይም ምላሾች እንደ ተበላሹ ሊቆጠሩ ይችላሉ።
ቀደም ሲል እንደተገለፀው በማትሪክስ ውስጥ ያሉት እሴቶች መዝገቦች ይባላሉ። በማንኛውም ምክንያት, በጥያቄ ውስጥ ያሉት ንጥረ ነገሮች ብዙውን ጊዜ የተጻፉ ናቸውእንደ A ወይም B ያሉ አቢይ ሆሄያት፣ እና ግቤቶች የሚገለጹት ተጓዳኝ ንዑስ ሆሄያትን በመጠቀም ነው፣ ግን ከንዑስ ፅሁፎች ጋር። በማትሪክስ A ውስጥ እሴቶቹ ብዙውን ጊዜ "ai, j" ይባላሉ, እኔ የ A ረድፍ ሲሆን j ደግሞ የ A ዓምድ ነው. ለምሳሌ a3, 2=8. የ a1, 3 መግቢያ 3 ነው.
አነስተኛ ማትሪክስ፣ ከአስር ረድፎች እና አምዶች በታች ላሉት፣ የንዑስ ስክሪፕት ኮማ አንዳንድ ጊዜ ተትቷል። ለምሳሌ "a1, 3=3" እንደ "a13=3" ሊፃፍ ይችላል. a213 የተደበቀ ስለሚሆን ይህ ለትልቅ ማትሪክስ አይሰራም።
ማትሪክስ ዓይነቶች
አንዳንድ ጊዜ እንደ መዝገብ አወቃቀራቸው ይመደባሉ። ለምሳሌ፣ እንዲህ ያለው ማትሪክስ ከዲያግናል ከላይ - ግራ - ከታች - ቀኝ "ሰያፍ" በታች ያሉት ሁሉም ዜሮ ግቤቶች ያሉት የላይኛው ሶስት ማዕዘን ይባላል። ከሌሎች ነገሮች በተጨማሪ ሌሎች ዓይነቶች እና ዓይነቶች ሊኖሩ ይችላሉ, ግን በጣም ጠቃሚ አይደሉም. ባጠቃላይ፣ አብዛኛው እንደ የላይኛው ትሪያንግል ነው የሚታወቀው። በአግድም ብቻ ዜሮ ያልሆኑ ገላጭ ያላቸው እሴቶች ሰያፍ እሴቶች ይባላሉ። ተመሳሳይ ዓይነቶች ዜሮ ያልሆኑ ግቤቶች አሏቸው ሁሉም 1 ናቸው ፣ እንደዚህ ያሉ መልሶች ተመሳሳይ ይባላሉ (ምክንያቶች ሲማሩ እና በጥያቄ ውስጥ ያሉትን እሴቶች እንዴት ማባዛት እንደሚቻል ሲረዱ ግልፅ ይሆናሉ)። ብዙ ተመሳሳይ የምርምር አመልካቾች አሉ. 3 × 3 ማንነት በI3 ይገለጻል። በተመሳሳይ፣ 4 × 4 መለያው I4 ነው።
ማትሪክስ አልጀብራ እና መስመራዊ ቦታዎች
ሦስት ማዕዘን ማትሪክስ ካሬ መሆናቸውን ልብ ይበሉ። ግን ዲያግራኖቹ ሦስት ማዕዘን ናቸው. ከዚህ አንፃር እነሱ ናቸው።ካሬ. እና ማንነቶች እንደ ሰያፍ ይቆጠራሉ እና፣ ስለዚህ፣ ባለ ሶስት ማዕዘን እና ካሬ። ማትሪክስ ለመግለጽ በሚያስፈልግበት ጊዜ፣ አንድ ሰው አብዛኛውን ጊዜ የራሱን የተለየ ምደባ ይገልጻል፣ ምክንያቱም ይህ ሁሉንም ሌሎችን ይመለከታል። የሚከተሉትን የምርምር አማራጮች ይመድቡ፡እንደ 3 × 3 የላይኛው ትሪያንግል፣ ግን ሰያፍ አይደለም። እውነት ነው ፣ ከግምት ውስጥ በሚገቡት እሴቶች ውስጥ በተገኘው እና በተጠቆመው ቦታ ላይ ወይም ከዚያ በላይ ዜሮዎች ሊኖሩ ይችላሉ። በጥናት ላይ ያለው ምደባ ተጨማሪ ነው፡፣ እሱ እንደ ዲያግናል የተወከለበት እና ፣ በተጨማሪ ፣ ግቤቶች ሁሉም ናቸው 1. ከዚያ ይህ 3 × 3 መለያ ነው። ፣ I3.
ተመሳሳይ ማትሪክስ በትርጓሜ ካሬ ስለሆነ፣ መጠኖቻቸውን ለማግኘት አንድ ነጠላ መረጃ ጠቋሚ ብቻ መጠቀም ያስፈልግዎታል። ሁለት ማትሪክስ እኩል እንዲሆኑ፣ ተመሳሳይ ግቤት ሊኖራቸው እና በተመሳሳይ ቦታዎች ላይ ተመሳሳይ ግቤቶች ሊኖራቸው ይገባል። ለምሳሌ፣ ከግምት ውስጥ ያሉ ሁለት አካላት አሉ እንበል፡- A=[1 3 0] [-2 0] እና B=[1 3] [-2 0]። እነዚህ እሴቶች በመጠን ከተለያዩት ጋር አንድ አይነት ሊሆኑ አይችሉም።
A እና B ቢሆኑም፡- A=[3 6] [2 5] [1 4] እና B=[1 2 3] [4 5 6] - አሁንም ተመሳሳይ አይደሉም። ተመሳሳይ ነገር. A እና B እያንዳንዳቸው አላቸውስድስት ግቤቶች እና እንዲሁም ተመሳሳይ ቁጥሮች አላቸው, ነገር ግን ይህ ለማትሪክስ በቂ አይደለም. A 3×2 ነው B ደግሞ 2×3 ማትሪክስ ነው ሀ ለ 3×2 2×3 አይደለም ሀ እና ቢ ተመሳሳይ መጠን ያለው ዳታ ቢኖራቸው ወይም ከመዝገቦቹ ጋር ተመሳሳይ ቁጥሮች ቢኖራቸው ምንም ለውጥ አያመጣም። A እና B ተመሳሳይ መጠን እና ቅርፅ ካልሆኑ ነገር ግን ተመሳሳይ በሆነ ቦታ ላይ ተመሳሳይ እሴቶች ካላቸው እኩል አይደሉም።
በግምት ላይ ባለው አካባቢ ያሉ ተመሳሳይ ስራዎች
ይህ የማትሪክስ የእኩልነት ንብረት ለገለልተኛ ጥናት ወደ ተግባርነት ሊቀየር ይችላል። ለምሳሌ, ሁለት ማትሪክስ ተሰጥቷል, እና እነሱ እኩል መሆናቸውን ይጠቁማል. በዚህ አጋጣሚ ለተለዋዋጮች እሴቶች ለማሰስ እና መልስ ለማግኘት ይህንን እኩልነት መጠቀም ያስፈልግዎታል።
በአልጀብራ ውስጥ የማትሪክስ ምሳሌዎች እና መፍትሄዎች ሊለያዩ ይችላሉ፣በተለይ ወደ እኩልነት ሲመጣ። የሚከተሉት ማትሪክስ ግምት ውስጥ ከገቡ በኋላ የ x እና y እሴቶችን መፈለግ አስፈላጊ ነው. A እና B እኩል እንዲሆኑ, መጠናቸው እና ቅርፅ ተመሳሳይ መሆን አለባቸው. በእውነቱ, እነሱ እንደዚህ ናቸው, ምክንያቱም እያንዳንዳቸው 2 × 2 ማትሪክስ ናቸው. እና በተመሳሳይ ቦታዎች ላይ ተመሳሳይ እሴቶች ሊኖራቸው ይገባል. ከዚያም a1, 1 እኩል መሆን አለባቸው b1, 1, a1, 2 እኩል መሆን አለባቸው b1, 2, እና የመሳሰሉት). ነገር ግን፣ a1፣ 1=1 ከ b1፣ 1=x ጋር እኩል እንዳልሆነ ግልጽ ነው። A ከ B ጋር ተመሳሳይነት እንዲኖረው፣ መግቢያው a1፣ 1=b1፣ 1 ሊኖረው ይገባል፣ ስለዚህም 1=x መሆን ይችላል። በተመሳሳይ, ኢንዴክሶች a2, 2=b2, 2, so 4=y. ከዚያም መፍትሔው: x=1, y=4. የሚከተለውን ግምት ውስጥ በማስገባትማትሪክስ እኩል ናቸው ፣ የ x ፣ y እና z እሴቶችን መፈለግ ያስፈልግዎታል። A=B ን ለማግኘት፣ ውህደቶቹ ሁሉም ግቤቶች እኩል ሊኖራቸው ይገባል። ማለትም a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 እና የመሳሰሉት. በተለይ፡ መሆን ያለበት፡
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
ከተመረጡት ማትሪክስ እንደሚታየው፡ ከ1፣ 1-፣ 2፣ 2- እና 3፣ 1-elements ጋር። እነዚህን ሶስት እኩልታዎች ስንፈታ መልሱን እናገኛለን: x=4, y=-6 and z=9. ማትሪክስ አልጀብራ እና ማትሪክስ ኦፕሬሽኖች ሁሉም ሰው ከለመደው የተለየ ነው ነገር ግን ሊባዙ አይችሉም።
ተጨማሪ መረጃ በዚህ አካባቢ
የመስመር ማትሪክስ አልጀብራ ተመሳሳይ የእኩልታዎች ስብስቦችን እና የመለወጥ ባህሪያቸውን ማጥናት ነው። ይህ የእውቀት መስክ በህዋ ውስጥ ሽክርክሮችን ለመተንተን ፣ በትንሹ ካሬዎች በግምት ፣ ተዛማጅ ልዩነቶችን ለመፍታት ፣ በሦስት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ክበብን ለመወሰን እና በሂሳብ ፣ በፊዚክስ እና በቴክኖሎጂ ውስጥ ሌሎች ብዙ ችግሮችን ለመፍታት ያስችልዎታል ። የማትሪክስ መስመራዊ አልጀብራ በእውነቱ ጥቅም ላይ የዋለው የቃሉ ቴክኒካል ስሜት አይደለም ፣ ማለትም ፣ vector space v over a field f ፣ ወዘተ።
ማትሪክስ እና መወሰኛ እጅግ በጣም ጠቃሚ የመስመር አልጀብራ መሳሪያዎች ናቸው። ከማዕከላዊ ተግባራት አንዱ የማትሪክስ እኩልታ Ax=b, ለ x. ምንም እንኳን ይህ በንድፈ ሃሳቡ የተገላቢጦሽ x=A-1 b በመጠቀም ሊፈታ ይችላል። እንደ Gaussian elimination ያሉ ሌሎች ዘዴዎች በቁጥር የበለጠ አስተማማኝ ናቸው።
የመስመራዊ የእኩልታዎች ስብስቦችን ጥናትን ለመግለጽ ጥቅም ላይ ከመዋሉ በተጨማሪ የተገለጸው።ከላይ ያለው ቃል የተወሰነ የአልጀብራን አይነት ለመግለጽም ያገለግላል። በተለይም L በላይ መስክ F ውስጥ የውስጥ መደመር እና ማባዛት ሁሉ የተለመዱ axioms ጋር አንድ ቀለበት መዋቅር አለው, አብረው ስርጭት ሕጎች. ስለዚህ, ከቀለበት የበለጠ መዋቅር ይሰጠዋል. መስመራዊ ማትሪክስ አልጀብራ የስር መስክ አካላት በሆኑ scalars የማባዛት ውጫዊ አሰራርን አምኗል F. ለምሳሌ ከቬክተር ቦታ V ወደ እራሱ በመስክ ላይ የተደረጉ ለውጦች ስብስብ በ F ላይ ተሠርቷል. ሌላው የመስመራዊ ምሳሌ አልጀብራ በመስክ ላይ ያሉ የሁሉም ትክክለኛ የካሬ ማትሪክስ ስብስብ ነው R እውነተኛ ቁጥሮች።
