የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶች። የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ተመሳሳይነት ያላቸው ስርዓቶች

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-17 05:15

በትምህርት ቤትም ቢሆን እያንዳንዳችን እኩልታዎችን እና፣እርግጠኞች፣የእኩልታዎች ስርዓቶችን አጥንተናል። ግን እነሱን ለመፍታት ብዙ መንገዶች እንዳሉ ብዙ ሰዎች አያውቁም። ዛሬ ከሁለት በላይ እኩልነቶችን ያቀፈውን የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ለመፍታት ሁሉንም ዘዴዎች በዝርዝር እንመረምራለን ።

ታሪክ

ዛሬ እኩልታዎችን የመፍታት ጥበብ እና ስርዓታቸው የመነጨው ከጥንቷ ባቢሎን እና ግብፅ እንደሆነ ይታወቃል። ይሁን እንጂ በ 1556 በእንግሊዛዊው የሂሳብ ሊቅ ሪከርድ የተዋወቀው እኩል ምልክት ከታየ በኋላ በተለመደው መልኩ እኩልነት ታየ. በነገራችን ላይ ይህ ምልክት የተመረጠው በምክንያት ነው-ሁለት ትይዩ እኩል ክፍሎችን ማለት ነው. በእርግጥ ከዚህ የተሻለ የእኩልነት ምሳሌ የለም።

የዘመናዊ የፊደል ስያሜዎች እና የዲግሪ ምልክቶች መስራች ፈረንሳዊው የሂሳብ ሊቅ ፍራንሷ ቪየት ናቸው። ይሁን እንጂ የሱ ስያሜ ከዛሬው በእጅጉ ይለያል። ለምሳሌ፣ ያልታወቀ ቁጥር ያለውን ካሬ Q (lat. "quadratus")፣ እና ኪዩብ በሐ ፊደል (lat. "cubus") አመልክቷል። እነዚህ ስያሜዎች አሁን የማይመች ይመስላሉ, ግን ከዚያየመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፃፍ በጣም ለመረዳት የሚቻል መንገድ ነበር።

ነገር ግን የወቅቱ የመፍትሄ ዘዴዎች ጉዳቱ የሒሳብ ሊቃውንት አወንታዊ ሥሮችን ብቻ ይመለከቱ ነበር። ምናልባት ይህ ሊሆን የቻለው አሉታዊ እሴቶች ምንም ተግባራዊ ጥቅም ስላልነበራቸው ነው. አንዱ መንገድ ወይም ሌላ፣ በ16ኛው ክፍለ ዘመን አሉታዊ መነሻዎችን ግምት ውስጥ ያስገቡት ጣሊያናዊው የሂሳብ ሊቃውንት ኒኮሎ ታርታሊያ፣ ጄሮላሞ ካርዳኖ እና ራፋኤል ቦምቤሊ ናቸው። እና ዘመናዊው ገጽታ አራት እኩልታዎችን ለመፍታት ዋናው ዘዴ (በአድልዎ በኩል) የተፈጠረው በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ብቻ በዴካርት እና በኒውተን ሥራ ምክንያት ነው።

በ18ኛው ክፍለ ዘመን አጋማሽ ላይ፣ የስዊዘርላንዱ የሂሳብ ሊቅ ገብርኤል ክራመር የመስመራዊ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎችን ቀላል የሚያደርግ አዲስ መንገድ አገኘ። ይህ ዘዴ ከዚያ በኋላ በእሱ ስም ተሰይሟል እና እስከ ዛሬ ድረስ እንጠቀማለን. ግን ስለ ክሬመር ዘዴ ትንሽ ቆይተን እንነጋገራለን ፣ ግን ለአሁኑ የመስመር እኩልታዎችን እና እነሱን ከስርአቱ ተለይተው ለመፍታት ዘዴዎችን እንነጋገራለን ።

የመስመር እኩልታዎች

የመስመር እኩልታዎች ከተለዋዋጭ(ዎች) ጋር ቀላሉ እኩልነት ናቸው። እንደ አልጀብራ ተመድበዋል። መስመራዊ እኩልታዎች በአጠቃላይ መልኩ እንደሚከተለው ተጽፈዋል፡ 2_{+…a x =b. ስርዓቶችን እና ማትሪክቶችን የበለጠ ስንሰበስብ የእነሱን ውክልና በዚህ ቅጽ እንፈልጋለን።}

የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት

የዚህ ቃል ፍቺ ይህ ነው፡ የጋራ ያልታወቁ እና የጋራ መፍትሄ ያላቸው የእኩልታዎች ስብስብ ነው። እንደ አንድ ደንብ, በትምህርት ቤት ሁሉም ነገር በስርዓቶች ተወስኗልከሁለት ወይም ከሶስት እኩልታዎች ጋር. ግን አራት ወይም ከዚያ በላይ አካላት ያላቸው ስርዓቶች አሉ. በኋላ እነሱን ለመፍታት እንዲመች በመጀመሪያ እነሱን እንዴት እንደምንጽፍ እንወቅ። በመጀመሪያ፣ ሁሉም ተለዋዋጮች በተገቢው ኢንዴክስ 1፣ 2፣ 3፣ እና የመሳሰሉት በ x ከተፃፉ የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶች የተሻሉ ይሆናሉ። በሁለተኛ ደረጃ፣ ሁሉም እኩልታዎች ወደ ቀኖናዊው ቅፅ መቀነስ አለባቸው፡ a₁x₁+a₂ x 2_{+…a x =b.}

ከእነዚህ ሁሉ እርምጃዎች በኋላ ለመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች እንዴት መፍትሄ ማግኘት እንደምንችል ማውራት መጀመር እንችላለን። ማትሪክስ ለዚህ በጣም ጠቃሚ ይሆናል።

ማትሪክስ

ማትሪክስ ረድፎችን እና ዓምዶችን ያቀፈ ሠንጠረዥ ሲሆን ንጥረ ነገሮቹ በመገናኛው ላይ ይገኛሉ። እነዚህ የተወሰኑ እሴቶች ወይም ተለዋዋጮች ሊሆኑ ይችላሉ። ብዙ ጊዜ፣ አባሎችን ለመሰየም፣ የደንበኝነት ምዝገባዎች በእነሱ ስር ይቀመጣሉ (ለምሳሌ፣ a₁₁ ወይም a₂₃)። የመጀመሪያው ኢንዴክስ ማለት የረድፍ ቁጥር እና ሁለተኛው የአምድ ቁጥር ማለት ነው. በማትሪክስ ላይ, እንዲሁም በማንኛውም ሌላ የሂሳብ አካል ላይ, የተለያዩ ስራዎችን ማከናወን ይችላሉ. ስለዚህ ማድረግ ይችላሉ፡

1) ተመሳሳይ መጠን ያላቸውን ሠንጠረዦች ይቀንሱ እና ይጨምሩ።

2) ማትሪክስ በተወሰነ ቁጥር ወይም በቬክተር ማባዛት።

3) አስተላልፍ፡ ማትሪክስ ረድፎችን ወደ ዓምዶች እና ዓምዶች ወደ ረድፎች።

4) የአንዳቸው የረድፎች ብዛት ከሌላው የአምዶች ብዛት ጋር እኩል ከሆነ ማትሪክቶችን ማባዛት።

እነዚህን ሁሉ ቴክኒኮች ወደፊት ስለሚጠቅሙን በዝርዝር እንነጋገራለን። ማትሪክቶችን መቀነስ እና መጨመር በጣም ቀላል ነው. ስለዚህተመሳሳይ መጠን ያላቸውን ማትሪክስ በምንወስድበት ጊዜ እያንዳንዱ የአንድ ጠረጴዛ አካል ከሌላው አካል ጋር ይዛመዳል። ስለዚህ, እነዚህን ሁለት ንጥረ ነገሮች እንጨምራለን (እንቀንሳለን) (በማትሪክስ ውስጥ አንድ ቦታ ላይ መሆናቸው አስፈላጊ ነው). ማትሪክስ በቁጥር ወይም በቬክተር ሲያባዙ፣ በቀላሉ እያንዳንዱን የማትሪክስ ኤለመንትን በዚያ ቁጥር (ወይም ቬክተር) ማባዛት ያስፈልግዎታል። ሽግግር በጣም አስደሳች ሂደት ነው። አንዳንድ ጊዜ በእውነተኛ ህይወት ውስጥ ማየት በጣም አስደሳች ነው, ለምሳሌ, የጡባዊን ወይም የስልክ አቅጣጫን ሲቀይሩ. በዴስክቶፕ ላይ ያሉት አዶዎች ማትሪክስ ናቸው፣ እና ቦታውን ሲቀይሩ ይገለበጣል እና ይሰፋል፣ ግን ቁመቱ ይቀንሳል።

እንደ ማትሪክስ ማባዛት ያለውን ሂደት ሌላ እንመልከት። ምንም እንኳን ለእኛ ጠቃሚ ባይሆንም, እሱን ማወቁ አሁንም ጠቃሚ ይሆናል. በአንድ ሠንጠረዥ ውስጥ ያሉት የአምዶች ብዛት ከሌላው የረድፎች ብዛት ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ሁለት ማትሪክቶችን ማባዛት ይችላሉ. አሁን የአንድ ማትሪክስ ረድፎችን እና የሌላውን ተዛማጅ አምድ አካላት እንውሰድ። እርስ በእርሳችን እናባዛቸዋለን ከዚያም እንጨምራለን (ይህም ለምሳሌ የንጥረ ነገሮች ውጤት a₁₁ እና a₁₂ በ b _{12እና b}22 _{እኩል ይሆናሉ፡ a}11_b12 _{+ a 12} b₂₂)። ስለዚህ የሠንጠረዡ አንድ አካል ተገኝቷል እና በተመሳሳይ ዘዴ ተጨማሪ ይሞላል።

አሁን የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እንዴት እንደሚፈታ ማየት እንጀምራለን።

Gauss ዘዴ

ይህ ርዕስ በትምህርት ቤት እንኳን ማለፍ ይጀምራል። "የሁለት መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት" ጽንሰ-ሀሳብ በደንብ እናውቃለን እና እነሱን እንዴት መፍታት እንዳለብን እናውቃለን።ግን የእኩልታዎች ቁጥር ከሁለት በላይ ከሆነስ? የጋውስ ዘዴ በዚህ ላይ ይረዳናል።

በእርግጥ ይህ ዘዴ ከሲስተሙ ውጭ ማትሪክስ ከሰሩ ለመጠቀም ምቹ ነው። ነገር ግን እሱን መቀየር እና በንጹህ መልክ ሊፈቱት አይችሉም።

ታዲያ ይህ ዘዴ የመስመራዊ Gaussian እኩልታዎችን ስርዓት እንዴት ይፈታል? በነገራችን ላይ ይህ ዘዴ በእሱ ስም ቢጠራም በጥንት ጊዜ ተገኝቷል. ጋውስ የሚከተለውን ሃሳብ ያቀርባል-በመጨረሻው ሙሉውን ስብስብ ወደ ደረጃው ቅርጽ ለመቀነስ ስራዎችን ከእኩልታዎች ጋር ለማከናወን. ያም ማለት ከላይ ወደ ታች (በትክክል ከተቀመጠ) ከመጀመሪያው እኩልነት እስከ መጨረሻው ድረስ አንድ የማይታወቅ መቀነስ አስፈላጊ ነው. በሌላ አነጋገር, ሦስት እኩልታዎችን ማግኘታችንን ማረጋገጥ አለብን, በመጀመሪያ - ሶስት የማይታወቁ, በሁለተኛው - ሁለት, በሦስተኛው - አንድ. ከዚያም ከመጨረሻው እኩልታ የመጀመሪያውን የማይታወቅ እናገኛለን፣ እሴቱን ወደ ሁለተኛው ወይም የመጀመሪያው እኩልታ በመቀየር ቀሪዎቹን ሁለት ተለዋዋጮች እናገኛለን።

የክሬመር ዘዴ

ይህን ዘዴ ለመቆጣጠር የመደመር፣የማትሪክስ መቀነስ ክህሎትን ማወቅ በጣም አስፈላጊ ነው፣እናም ወሳኙን ማግኘት መቻል ያስፈልግዎታል። ስለዚህ፣ ይህን ሁሉ በደካማ ካደረጋችሁት ወይም እንዴት እንደሆነ ካላወቁ መማር እና መለማመድ ይኖርብዎታል።

የዚህ ዘዴ ፍሬ ነገር ምንድን ነው፣ እና የመስመራዊ ክሬመር እኩልታዎች ስርዓት እንዲገኝ እንዴት ማድረግ እንደሚቻል? ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው. ከቁጥር (ሁልጊዜ ማለት ይቻላል) ከመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ማትሪክስ መገንባት አለብን። ይህንን ለማድረግ በቀላሉ ከማያውቋቸው ፊት ለፊት ያሉትን ቁጥሮች ይውሰዱ እና ያዘጋጁዋቸውበስርዓቱ ውስጥ በተመዘገቡበት ቅደም ተከተል ሰንጠረዥ. ቁጥሩ ከ "-" ምልክት በፊት ከሆነ, ከዚያም አሉታዊ ኮፊሸን እንጽፋለን. ስለዚህ, የመጀመሪያውን ማትሪክስ ከማይታወቁት ኮርፖሬሽኖች ውስጥ አጠናቅቀናል, ከእኩል ምልክቶች በኋላ ቁጥሮችን ሳያካትት (በተፈጥሮ, እኩልታው ወደ ቀኖናዊው ቅፅ መቀነስ አለበት, ቁጥሩ በቀኝ በኩል ብቻ ሲሆን, እና ሁሉም የማይታወቁት ከ ጋር). በስተግራ ላይ ያሉ ኮፊሸን). ከዚያ ብዙ ተጨማሪ ማትሪክቶችን መፍጠር ያስፈልግዎታል - ለእያንዳንዱ ተለዋዋጭ። ይህንን ለማድረግ በተራው እያንዳንዱን ዓምድ ከቁጥሮች ጋር በመጀመሪያው ማትሪክስ ከእኩል ምልክት በኋላ በቁጥር አምድ እንተካለን። ስለዚህ፣ ብዙ ማትሪክቶችን አግኝተናል እና ከዚያ ወሳኙን እናገኛለን።

የሚወስኑትን ካገኘን በኋላ ጉዳዩ ትንሽ ነው። የመጀመሪያ ማትሪክስ አለን ፣ እና ከተለያዩ ተለዋዋጮች ጋር የሚዛመዱ በርካታ የውጤት ማትሪክስ አሉ። የስርዓቱን መፍትሄዎች ለማግኘት, የተገኘውን ሰንጠረዥ የሚወስነውን በመነሻ ሰንጠረዥ መወሰኛ እንከፋፍለን. የተገኘው ቁጥር ከተለዋዋጮች ውስጥ የአንዱ ዋጋ ነው። በተመሳሳይ፣ ሁሉንም ያልታወቁ ነገሮች እናገኛለን።

ሌሎች ዘዴዎች

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍትሄ ለማግኘት ብዙ ተጨማሪ ዘዴዎች አሉ። ለምሳሌ, ጋውስ-ዮርዳኖስ ተብሎ የሚጠራው ዘዴ, ለኳድራቲክ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎችን ለማግኘት እና እንዲሁም ከማትሪክስ አጠቃቀም ጋር የተያያዘ ነው. የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓትን ለመፍታት የያኮቢ ዘዴም አለ። ከኮምፒዩተር ጋር ለመላመድ በጣም ቀላሉ እና በኮምፒተር ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል።

አስቸጋሪ ጉዳዮች

ውስብስብነት ብዙውን ጊዜ የሚከሰተው የእኩልታዎች ብዛት ከተለዋዋጮች ብዛት ሲያንስ ነው። ከዚያ በእርግጠኝነት መናገር እንችላለን ወይም ስርዓቱ ወጥነት የለውም (ማለትም ሥሮች የሉትም) ወይም የመፍትሄዎቹ ቁጥር ወደ ማለቂያ የለውም። ሁለተኛው ጉዳይ ካለን, ከዚያም የመስመር እኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄን መፃፍ ያስፈልገናል. ቢያንስ አንድ ተለዋዋጭ ይይዛል።

ማጠቃለያ

እነሆ ወደ መጨረሻው ደርሰናል። ለማጠቃለል-ስርዓት እና ማትሪክስ ምን እንደሆኑ ተንትነናል, የመስመር እኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ እንዴት እንደሚገኝ ተምረናል. በተጨማሪም, ሌሎች አማራጮች ተወስደዋል. የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እንዴት እንደሚፈታ አውቀናል-የጋውስ ዘዴ እና ክሬመር ዘዴ። ስለ አስቸጋሪ ጉዳዮች እና ሌሎች መፍትሄዎችን ለማግኘት መንገዶች ተነጋግረናል።

በእውነቱ ይህ ርዕስ በጣም ሰፊ ነው፣ እና የበለጠ ለመረዳት ከፈለጉ፣ የበለጠ ልዩ ስነ-ጽሁፍ እንዲያነቡ እንመክርዎታለን።