የማትሪክስ ምርትን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል። ማትሪክስ ማባዛት። የማትሪክስ ስክላር ምርት። የሶስት ማትሪክስ ምርት

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-17 05:15

ማትሪክስ (ቁጥር ያላቸው ሰንጠረዦች) ለተለያዩ ስሌቶች ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ። አንዳንዶቹ በቁጥር፣ በቬክተር፣ በሌላ ማትሪክስ፣ በበርካታ ማትሪክስ ማባዛት ናቸው። ምርቱ አንዳንድ ጊዜ የተሳሳተ ነው. የተሳሳተ ውጤት የሂሳብ ስራዎችን ለማከናወን ደንቦችን አለማወቅ ውጤት ነው. ማባዛትን እንዴት እንደሚሰራ እንወቅ።

ማትሪክስ እና ቁጥር

በቀላል ነገር እንጀምር - ሠንጠረዥን ከቁጥሮች ጋር በተወሰነ እሴት ማባዛት። ለምሳሌ፣ አባሎች a_ij (እኔ የረድፍ ቁጥሮች እና j የአምድ ቁጥሮች ናቸው) እና ቁጥሩ ሠ ያለው ማትሪክስ A አለን። የማትሪክስ በቁጥር ሠ ማትሪክስ B ይሆናል ከ ንጥረ ነገሮች b_ij እነዚህም በቀመር የሚገኙት፡

b_ij=e × a_ij።

ቲ ሠ. ኤለመንትን ለማግኘት b₁₁ኤለመንቱን a₁₁ መውሰድ እና በሚፈለገው ቁጥር ማባዛት፣ b_{12 ለማግኘት ያስፈልግዎታል።} የኤለመንቱን ምርት a₁₂ እና ቁጥሩን e ወዘተ ማግኘት ያስፈልጋል።

በምስሉ ላይ የቀረበውን ችግር ቁጥር 1 እንፈታው። ማትሪክስ B ለማግኘት በቀላሉ ከ A ያሉትን ንጥረ ነገሮች በ3፡

ያባዙ።

1. a₁₁ × 3=18. ይህንን እሴት ወደ ማትሪክስ B የምንጽፈው አምድ ቁጥር 1 እና ረድፍ ቁጥር 1 በሚገናኙበት ቦታ ነው።
2. a₂₁ × 3=15. ኤለመንት b₂₁.

አግኝተናል።

3. a₁₂ × 3=-6። ንጥረ ነገር b₁₂ ተቀብለናል። አምድ 2 እና ረድፉ 1 በሚገናኙበት ቦታ ላይ ወደ ማትሪክስ B እንጽፈዋለን።
4. a₂₂ × 3=9. ይህ ውጤት ንጥረ b₂₂።

ነው።

5. a₁₃ × 3=12. ይህን ቁጥር ወደ ማትሪክስ በኤለመንት ምትክ b₁₃።
6. a₂₃ × 3=-3። የተቀበለው የመጨረሻው ቁጥር ኤለመንት b₂₃ ነው።

ስለዚህ፣ ቁጥራዊ አካላት ያለው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ድርድር አግኝተናል።

18	–6	12
15	9	–3

ቬክተሮች እና የማትሪክስ ምርት መኖር ሁኔታ

በሂሳብ ትምህርቶች ውስጥ "ቬክተር" የሚባል ነገር አለ። ይህ ቃል የሚያመለክተው ከ₁ እስከ a የታዘዙ የእሴቶችን ስብስብ ነው። የቬክተር ቦታ መጋጠሚያዎች ተብለው ይጠራሉ እና እንደ አምድ የተጻፉ ናቸው. "ትራንስፖስት ቬክተር" የሚለው ቃልም አለ. ክፍሎቹ እንደ ሕብረቁምፊ ተደርድረዋል።

ቬክተሮች ማትሪክስ ተብለው ሊጠሩ ይችላሉ፡

• አምድ ቬክተር ከአንድ አምድ የተሰራ ማትሪክስ ነው፤
• ረድፍ ቬክተር አንድ ረድፍ ብቻ የሚያካትት ማትሪክስ ነው።

ሲጠናቀቅከማባዛት ኦፕሬሽኖች በላይ ፣ የምርት መኖር ሁኔታ እንዳለ ማስታወስ አስፈላጊ ነው። የሒሳብ አሠራሩ A × B ሊሠራ የሚችለው በሰንጠረዥ A ውስጥ ያሉት የአምዶች ብዛት በሠንጠረዥ B ውስጥ ካሉት የረድፎች ብዛት ጋር እኩል ሲሆን ብቻ ነው. በሰንጠረዥ B.

በሚባዙበት ጊዜ ማትሪክስ (ማባዣዎችን) እንደገና ማስተካከል አይመከርም። የእነሱ ምርት ብዙውን ጊዜ የማባዛት (የማፈናቀል) ህግን አይዛመድም ፣ ማለትም የቀዶ ጥገናው ውጤት A × B ከቀዶ ጥገናው ውጤት B × ሀ ጋር እኩል አይደለም ። ማትሪክስ. በአንዳንድ ሁኔታዎች, የማባዛቱ A × B ውጤት ከ B × A ውጤት ጋር እኩል ነው, ማለትም ምርቱ ተላላፊ ነው. እኩልነት A × B=B × A የያዙ ማትሪክስ የፐርሙቴሽን ማትሪክስ ይባላሉ። የእንደዚህ አይነት ሠንጠረዦች ምሳሌዎችን ከዚህ በታች ይመልከቱ።

ማባዛት በአምድ ቬክተር

ማትሪክስ በአምድ ቬክተር ስንባዛ የምርቱን መኖር ሁኔታ ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን። በሰንጠረዡ ውስጥ ያሉት የአምዶች (n) ብዛት ቬክተሩን ከሚፈጥሩት መጋጠሚያዎች ጋር መዛመድ አለበት። የስሌቱ ውጤት የተለወጠው ቬክተር ነው. የእሱ መጋጠሚያዎች ቁጥር ከሠንጠረዡ ካለው የመስመሮች (ሜ) ቁጥር ጋር እኩል ነው።

ማትሪክስ A እና ቬክተር x ካሉ የቬክተር y መጋጠሚያዎች እንዴት ይሰላሉ? ለተፈጠሩ ቀመሮች፡

y₁=a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ + … + a₁x፣

y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_{x ፣}

………………………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_m2 x₂ + … + a_mnx፣

የት x₁፣ …፣ x ከ x-vector መጋጠሚያዎች ሲሆኑ፣ m በማትሪክስ ውስጥ ያሉት የረድፎች ብዛት እና ቁጥሩ ነው። በአዲሱ y-vector ውስጥ መጋጠሚያዎች፣ n በማትሪክስ ውስጥ ያሉት የአምዶች ብዛት እና በ x-vector ውስጥ ያሉ መጋጠሚያዎች ብዛት፣ a₁₁፣ a_{12 ፣ …፣ a}mn- የማትሪክስ አባሎች A.

ስለዚህ የአዲሱን ቬክተር i-th አካል ለማግኘት የስክላር ምርቱ ይከናወናል። የ i-th ረድፉ ቬክተር ከማትሪክስ A የተወሰደ ሲሆን ባለው ቬክተር x ተባዝቷል።

ችግርን እንፈታው 2. የማትሪክስ እና የቬክተር ምርት ማግኘት ይችላሉ ምክንያቱም ሀ 3 አምዶች እና x 3 መጋጠሚያዎችን ያቀፈ ነው። በውጤቱም, 4 መጋጠሚያዎች ያሉት አምድ ቬክተር ማግኘት አለብን. ከላይ ያሉትን ቀመሮች እንጠቀም፡

1. አስላ y₁። 1 × 4 + (-1) × 2 + 0 × (-4)። የመጨረሻው ዋጋ 2.

ነው

2. አስላ y₂። 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (-4)። ስናሰላ 0.

እናገኛለን

3. አስላ y₃። 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (-4)። የተጠቆሙት ምክንያቶች ምርቶች ድምር 6.

ነው

4. አሰላ y₄። (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4)። አስተባባሪው -8.

ነው

የረድፍ ቬክተር-ማትሪክስ ማባዛት

ማትሪክስ ከብዙ ዓምዶች ጋር በአንድ ረድፍ ቬክተር ማባዛት አይችሉም። በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ የሥራው መኖር ሁኔታ አይረካም. ነገር ግን የረድፍ ቬክተር በማትሪክስ ማባዛት ይቻላል. ይህየሂሳብ አሠራሩ የሚከናወነው በቬክተር ውስጥ ያሉ መጋጠሚያዎች እና በጠረጴዛው ውስጥ ያሉት የረድፎች ብዛት ሲዛመድ ነው. የቬክተር እና ማትሪክስ ውጤት አዲስ ረድፍ ቬክተር ነው። የእሱ መጋጠሚያዎች ብዛት በማትሪክስ ውስጥ ካሉት የአምዶች ብዛት ጋር እኩል መሆን አለበት።

የአዲስ ቬክተር የመጀመሪያ መጋጠሚያ ማስላት የረድፍ ቬክተር እና የመጀመሪያውን አምድ ቬክተር ከጠረጴዛው ላይ ማባዛትን ያካትታል። ሁለተኛው መጋጠሚያ በተመሳሳይ መንገድ ይሰላል, ነገር ግን ከመጀመሪያው አምድ ቬክተር ይልቅ, ሁለተኛው አምድ ቬክተር ይወሰዳል. መጋጠሚያዎችን ለማስላት አጠቃላይ ቀመር ይኸውና፡

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m፣

የት y_k ከ y-vector መጋጠሚያ ሲሆን (k በ 1 እና n መካከል ነው) ፣ m በማትሪክስ ውስጥ ያሉት የረድፎች ብዛት እና የመጋጠሚያዎች ብዛት ነው። በ x-vector ውስጥ፣ n በማትሪክስ ውስጥ ያሉት የአምዶች ብዛት እና በ y-vector ውስጥ ያሉ መጋጠሚያዎች ብዛት፣ ፊደል ቁጥሮች ያሉት የማትሪክስ A.

አካላት ናቸው።

የአራት ማዕዘን ማትሪክስ ምርት

ይህ ስሌት የተወሳሰበ ሊመስል ይችላል። ይሁን እንጂ ማባዛት በቀላሉ ይከናወናል. በትርጉም እንጀምር። የማትሪክስ ሀ ምርት በ m ረድፎች እና n አምዶች እና ማትሪክስ B ከ n ረድፎች እና ፒ አምዶች ጋር ማትሪክስ C ሲሆን m ረድፎች እና ፒ አምዶች ያሉት ሲሆን በውስጡም አባሉ c_ij የንጥረ ነገሮች ምርቶች ድምር i- ኛ ረድፍ ከሠንጠረዡ A እና j-th አምድ ከሠንጠረዡ B. በቀላል አነጋገር ኤለመንት c_ij የ i-th ረድፉ scalar ምርት ነው። ቬክተር ከጠረጴዛ A እና j-th አምድ ቬክተር ከሠንጠረዥ B.

አሁን የአራት ማዕዘን ማትሪክስ ምርትን እንዴት ማግኘት እንደምንችል በተግባር እንወቅ። ለዚህ ችግር ቁጥር 3 እንፈታው የምርት መኖር ሁኔታ ረክቷል. ኤለመንቶችን ማስላት እንጀምር c_ij:

1. ማትሪክስ C 2 ረድፎች እና 3 አምዶች ይኖሩታል።
2. ኤለመንት አስላ c₁₁። ይህንን ለማድረግ የረድፍ ቁጥር 1ን ከማትሪክስ A እና አምድ ቁጥር 1 ከማትሪክስ B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. ከዚያም በተመሳሳይ መንገድ እንቀጥላለን, ረድፎችን, ዓምዶችን ብቻ በመቀየር (እንደ ኤለመንት ኢንዴክስ ይወሰናል).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

አካሎቹ ይሰላሉ። አሁን የተቀበሉትን ቁጥሮች አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ለማድረግ ብቻ ይቀራል።

16	12	9
31	18	36

የሶስት ማትሪክስ ማባዛት፡ ቲዎሬቲካል ክፍል

የሶስት ማትሪክስ ምርትን ማግኘት ይችላሉ? ይህ የማስላት ሥራ የሚቻል ነው። ውጤቱ በበርካታ መንገዶች ሊገኝ ይችላል. ለምሳሌ፣ 3 ካሬ ሰንጠረዦች (ተመሳሳይ ቅደም ተከተል ያላቸው) - A፣ B እና C አሉ። ምርቱን ለማስላት የሚከተሉትን ማድረግ ይችላሉ፡-

1. A እና B በመጀመሪያ ማባዛት። ከዚያም ውጤቱን በC.

ማባዛት።

2. መጀመሪያ የ B እና C ምርት ያግኙ። በመቀጠል ማትሪክስ A በውጤቱ ያባዛሉ።

አራት ማዕዘን ማትሪክቶችን ማባዛት ከፈለጉ በመጀመሪያ ይህ የማስላት ስራ የሚቻል መሆኑን ማረጋገጥ ያስፈልግዎታል። ይገባልምርቶች A × B እና B × C አሉ።

የጨመረ ማባዛት ስህተት አይደለም። እንደ "ማትሪክስ ማባዛት ማኅበር" የሚባል ነገር አለ. ይህ ቃል እኩልነትን (A × B) × C=A × (B × C) ያመለክታል።

የሶስት ማትሪክስ ብዜት ልምምድ

ካሬ ማትሪክስ

አነስተኛ ካሬ ማትሪክስ በማባዛት ይጀምሩ። ከታች ያለው ምስል መፍታት ያለብንን የችግር ቁጥር 4 ያሳያል።

የማህበር ንብረቱን እንጠቀማለን። በመጀመሪያ ወይ A እና B፣ ወይም B እና C እናባዛለን። አንድ ነገር ብቻ እናስታውሳለን፡ ምክንያቶችን መለዋወጥ አትችልም፣ ማለትም B × A ወይም C × B ማባዛት አትችልም። በዚህ ማባዛት አንድ ነገር እናገኛለን። የተሳሳተ ውጤት።

የውሳኔ ሂደት።

ደረጃ አንድ። የተለመደውን ምርት ለማግኘት በመጀመሪያ A በ B እናባዛለን ሁለት ማትሪክስ ስናባዛ, ከላይ በተገለጹት ህጎች እንመራለን. ስለዚህ, A እና B የማባዛት ውጤት 2 ረድፎች እና 2 አምዶች ያሉት ማትሪክስ D ይሆናል, ማለትም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ድርድር 4 አካላትን ያካትታል. ስሌቱን በመስራት እናገኛቸው፡

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30፤
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10፤
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15፤
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

መካከለኛ ውጤት ዝግጁ ነው።

30	10
15	16

ደረጃ ሁለት። አሁን ማትሪክስ D በማትሪክስ C እናባዛው ውጤቱም ባለ 2 ረድፎች እና 2 አምዶች ያለው ካሬ ማትሪክስ G መሆን አለበት። ክፍሎችን አስሉ፡

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250፤
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180፤
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136፤
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

በመሆኑም የካሬ ማትሪክስ ውጤት የሰሌዳ አባሎች ያለው ሠንጠረዥ G ነው።

250	180
136	123

አራት ማዕዘን ማትሪክስ

ከታች ያለው ምስል የችግር ቁጥር 5 ያሳያል።አራት ማዕዘን ማትሪክስ ማባዛትና መፍትሄ መፈለግ ያስፈልጋል።

የምርቶች A × B እና B × C መኖር ሁኔታ መሟላቱን እናረጋግጥ።የተጠቆሙት ማትሪክስ ትዕዛዞች ማባዛትን እንድናከናውን ያስችሉናል። ችግሩን መፍታት እንጀምር።

የውሳኔ ሂደት።

ደረጃ አንድ። D ለማግኘት B በ C ማባዛት። ማትሪክስ B 3 ረድፎች እና 4 አምዶች ያሉት ሲሆን ማትሪክስ ሐ ደግሞ 4 ረድፎች እና 2 አምዶች አሉት። ይህ ማለት በ 3 ረድፎች እና 2 አምዶች ማትሪክስ D እናገኛለን ማለት ነው. ንጥረ ነገሮቹን እናሰላለን. 2 ስሌት ምሳሌዎች እነሆ፡

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

ችግሩን መፍታት እንቀጥላለን። ከተጨማሪ ስሌቶች የተነሳ d₂₁፣ d_{2እሴቶቹን እናገኛለን። 2 ፣ d}31 _{እና d}32_{። እነዚህ ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል 0, 19, 1 እና 11 ናቸው. የተገኙትን እሴቶች ወደ አራት ማዕዘን ድርድር እንፃፍ።}

0	7
0	19
1	11

ደረጃ ሁለት። የመጨረሻውን ማትሪክስ F ለማግኘት A በ D ማባዛት. 2 ረድፎች እና 2 አምዶች ይኖሩታል. ክፍሎችን አስሉ፡

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

አራት ማዕዘን ድርድር ያቀናብሩ፣ እሱም ሶስት ማትሪክቶችን የማባዛት የመጨረሻ ውጤት ነው።

1	139
3	52

የቀጥታ ስራ መግቢያ

ቁስን ለመረዳት በጣም አስቸጋሪው የማትሪክስ የክሮኔከር ምርት ነው። በተጨማሪም ተጨማሪ ስም አለው - ቀጥተኛ ሥራ. ይህ ቃል ምን ማለት ነው? ሠንጠረዥ A አለን እንበል m × n እና ሠንጠረዥ B የትእዛዝ p × q። የማትሪክስ A እና ማትሪክስ B ቀጥተኛ ምርት የትእዛዝ mp × nq።

በሥዕሉ ላይ የሚታዩት 2 ካሬ ማትሪክስ A፣ B አለን። የመጀመሪያው 2 አምዶች እና 2 ረድፎች ያሉት ሲሆን ሁለተኛው ደግሞ 3 አምዶች እና 3 ረድፎች አሉት. ከቀጥታ ምርቱ የተገኘው ማትሪክስ 6 ረድፎችን እና በትክክል ተመሳሳይ የአምዶች ብዛት እንዳለው እናያለን።

የአዲስ ማትሪክስ አካላት እንዴት በቀጥታ ምርት ይሰላሉ? ስዕሉን ከተተነተነ የዚህን ጥያቄ መልስ ማግኘት በጣም ቀላል ነው. በመጀመሪያ የመጀመሪያውን መስመር ይሙሉ. የመጀመሪያውን ኤለመንት ከሠንጠረዡ A በላይኛው ረድፍ ይውሰዱ እና በቅደም ተከተል በመጀመሪያው ረድፍ አካላት ያባዙከሠንጠረዡ B. በመቀጠል የሠንጠረዡን የመጀመሪያ ረድፍ ሁለተኛ ኤለመንት ወስደህ በቅደም ተከተል በሠንጠረዡ የመጀመሪያ ረድፍ ክፍሎች አባዛ. በሁለተኛው ረድፍ የሠንጠረዥ B አባሎች ያባዙት።

በቀጥታ ምርት የተገኘ የመጨረሻ ማትሪክስ ማትሪክስ ተብሎ ይጠራል። ምስሉን እንደገና ከተተነተን, ውጤታችን 4 ብሎኮችን ያካተተ መሆኑን ማየት እንችላለን. ሁሉም የማትሪክስ B አካላትን ያካትታሉ። በተጨማሪም የእያንዳንዱ ብሎክ አንድ አካል በተወሰነ የማትሪክስ ኤ ተባዝቷል። በመጀመሪያው ብሎክ ሁሉም ንጥረ ነገሮች በ₁₁ ተባዝተዋል፣ በ ሁለተኛ - በ a_{12 ፣ በሦስተኛው - በ}21_{፣ በአራተኛው - በ}22_።

ምርት መወሰኛ

የማትሪክስ ማባዛት ርዕስን ስናስብ፣ እንደ "የማትሪክስ ምርት መወሰኛ" የሚለውን ቃል ማጤን ተገቢ ነው። መወሰኛ ምንድን ነው? ይህ የካሬ ማትሪክስ አስፈላጊ ባህሪ ነው, ለዚህ ማትሪክስ የተመደበው የተወሰነ እሴት ነው. የወሳኙ ትክክለኛ ስያሜ det ነው።

ሁለት ዓምዶች እና ሁለት ረድፎችን ላቀፈው ማትሪክስ A ወሳኙን ለማግኘት ቀላል ነው። በተወሰኑ ንጥረ ነገሮች ምርቶች መካከል ያለው ልዩነት የሆነ ትንሽ ቀመር አለ፡

det A=a₁₁ ×a₂₂ - a₁₂ × a₂₁.

የሁለተኛ ደረጃ ሠንጠረዥ ወሳኙን የማስላት ምሳሌ እንመልከት። ማትሪክስ A አለ በዚህ ውስጥ a₁₁=2፣ a₁₂=3፣ a₂₁=5 እና ሀ22_{=1. ወሳኙን ለማስላት ቀመሩን ይጠቀሙ፡}

det A=2 × 1 - 3 × 5=2 - 15=-13.

ለ3 × 3 ማትሪክስ፣ ወሳኙ ይበልጥ ውስብስብ በሆነ ቀመር ይሰላል። ለማትሪክስ A፡

ከዚህ በታች ቀርቧል።

det A=a₁₁a₂₂a₃₃+ a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁ a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁ a₃₃.

ቀመሩን ለማስታወስ በሥዕሉ ላይ የሚታየውን የሶስት ማዕዘን መመሪያ ይዘን መጥተናል። በመጀመሪያ, የዋናው ዲያግናል ንጥረ ነገሮች ተባዝተዋል. በቀይ ጎኖች በሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች የተጠቆሙት የእነዚያ ንጥረ ነገሮች ምርቶች በተገኘው እሴት ላይ ይጨምራሉ። በመቀጠል የሁለተኛው ዲያግናል ንጥረ ነገሮች ምርት ይቀነሳል እና የነዚያ ንጥረ ነገሮች ምርቶች በሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች በሰማያዊ ጎኖች ይቀነሳሉ።

አሁን ስለ ማትሪክስ ምርት መወሰኛ እንነጋገር። ይህ አመላካች የማባዛት ሰንጠረዦችን ከሚወስኑት ምርቶች ጋር እኩል ነው የሚል ንድፈ ሃሳብ አለ. ይህንን በምሳሌ እናረጋግጥ። ማትሪክስ A አለን ገቢዎች a₁₁=2፣ a₁₂=3፣ a₂₁=1 እና a22_{=1 እና ማትሪክስ ቢ ከግቤቶች ጋር b}11_{=4፣ b}12_{=5፣ b} 21 _{=1 እና b}22_{=2. የማትሪክስ A እና B፣ ምርቱን A × B እና የዚህን ምርት የሚወስን ይፈልጉ።}

የውሳኔ ሂደት።

ደረጃ አንድ። ለ A: det A=2 × 1 - 3 × 1=-1 የሚወስን አስላ። በመቀጠል ለ B የሚወስነውን አስላ፡ det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

ደረጃ ሁለት። እንፈልግምርት A × B. አዲሱን ማትሪክስ በ C ፊደል ያመልክቱ። ክፍሎቹን አስላ፡

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11፤
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16፤
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

ደረጃ ሶስት። ለ C የሚወስነውን አስላ: det C=11 × 7 - 16 × 5=-3. የመጀመሪያዎቹን ማትሪክስ መወሰኛዎችን በማባዛት ሊገኝ ከሚችለው እሴት ጋር ያወዳድሩ። ቁጥሮቹ ተመሳሳይ ናቸው. ከላይ ያለው ቲዎሪ እውነት ነው።

የምርት ደረጃ

የማትሪክስ ደረጃ ከፍተኛውን በመስመር ነጻ የሆኑ ረድፎችን ወይም አምዶችን የሚያንፀባርቅ ባህሪ ነው። ደረጃውን ለማስላት የማትሪክስ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ይከናወናሉ፡

• የሁለት ትይዩ ረድፎችን ማስተካከል፤
• ሁሉንም የአንድ ረድፍ አባላትን ከጠረጴዛው ላይ በዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት፤
• ከሌላ ረድፍ የአንድ ረድፍ አባሎችን ንጥረ ነገሮች በመጨመር፣ በተወሰነ ቁጥር ተባዝቷል።

ከአንደኛ ደረጃ ለውጦች በኋላ፣ ዜሮ ያልሆኑ ሕብረቁምፊዎች ብዛት ይመልከቱ። ቁጥራቸው የማትሪክስ ደረጃ ነው. ያለፈውን ምሳሌ ተመልከት። እሱም 2 ማትሪክስ አቅርቧል፡ ሀ ከ ክፍሎች a₁₁=2፣ a₁₂=3፣ a₂₁=1 እና a₂₂ =1 እና B ከንጥረ ነገሮች ጋር b₁₁=4፣ b₁₂=5፣ b21_{=1 እና b}22_{=2. በማባዛት ምክንያት የተገኘውን ማትሪክስ Cንም እንጠቀማለን። የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን ካደረግን በቀላል ማትሪክስ ውስጥ ዜሮ ረድፎች አይኖሩም። ይህ ማለት ሁለቱም የሠንጠረዥ A ደረጃ, እና የሠንጠረዥ B ደረጃ, እና ደረጃው ማለት ነውሠንጠረዥ C 2 ነው።}

አሁን ለየት ያለ ትኩረት እንስጥ የማትሪክስ ምርት ደረጃ። የቁጥር ንጥረ ነገሮችን የያዘ የሰንጠረዥ ምርት ደረጃ ከማንኛቸውም ምክንያቶች ደረጃ አይበልጥም የሚል ቲዎሬም አለ። ይህ ሊረጋገጥ ይችላል. A k × s ማትሪክስ እና B s × m ማትሪክስ ይሁን። የA እና B ምርት ከ C.

ጋር እኩል ነው።

ከላይ ያለውን ምስል እናጠናው። የማትሪክስ C የመጀመሪያ አምድ እና ቀለል ያለ መግለጫውን ያሳያል። ይህ አምድ በማትሪክስ ሀ ውስጥ የተካተቱት የዓምዶች መስመራዊ ጥምረት ነው።በተመሣሣይ ሁኔታ አንድ ሰው ስለማንኛውም ዓምድ ከአራት ማዕዘን ድርድር ሐ ማለት ይችላል።በመሆኑም በሠንጠረዡ ሐ አምድ ቬክተሮች የተሠራው ንዑስ ቦታ በሠንጠረዡ ሐ በተሠራው ንዑስ ክፍተት ውስጥ ነው። የሠንጠረዡ አምድ ቬክተሮች A. ስለዚህ የንዑስ ቦታ ቁጥር 1 ልኬት ከንዑስ ቦታ ቁጥር 2 አይበልጥም. ይህ የሚያመለክተው በሠንጠረዡ ሐ አምዶች ውስጥ ያለው ደረጃ ከሠንጠረዡ A አምዶች ውስጥ ካለው ደረጃ አይበልጥም. ማለትም፣ r(C) ≦ r(A)። በተመሳሳይ መልኩ ከተጨቃጨቅን የማትሪክስ ሐ ረድፎች የማትሪክስ B የመስመሮች ውህዶች መሆናቸውን ማረጋገጥ እንችላለን ይህ የሚያሳየው r(C) ≦ r(B) አለመመጣጠን ነው።

የማትሪክስ ምርትን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል በጣም የተወሳሰበ ርዕስ ነው። በቀላሉ ሊታወቅ ይችላል, ነገር ግን እንዲህ አይነት ውጤት ለማግኘት, ሁሉንም ነባር ህጎች እና ንድፈ ሃሳቦችን በማስታወስ ብዙ ጊዜ ማሳለፍ ይኖርብዎታል.