ማትሪክስ በሂሳብ ልዩ ነገር ነው። እሱ በተወሰነ የረድፎች እና አምዶች ብዛት በአራት ማዕዘኑ ወይም በካሬ ሠንጠረዥ መልክ ይገለጻል። በሂሳብ ውስጥ፣ በመጠን ወይም በይዘት የሚለያዩ የተለያዩ የማትሪክስ ዓይነቶች አሉ። የእሱ ረድፎች እና ዓምዶች ቁጥሮች ትዕዛዞች ይባላሉ. እነዚህ ነገሮች የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን አጻጻፍ ለማደራጀት እና ውጤቶቻቸውን በተመጣጣኝ ሁኔታ ለመፈለግ በሂሳብ ውስጥ ያገለግላሉ። ማትሪክስ የሚጠቀሙ እኩልታዎች በካርል ጋውስ ፣ ገብርኤል ክራመር ፣ ለአካለ መጠን ያልደረሱ እና አልጀብራ ተጨማሪዎች እና ሌሎች በርካታ መንገዶችን በመጠቀም ተፈትተዋል ። ከማትሪክስ ጋር ሲሰሩ መሰረታዊ ክህሎት ወደ መደበኛ ቅፅ ማምጣት ነው. ሆኖም፣ በመጀመሪያ፣ በሂሳብ ሊቃውንት ምን ዓይነት ማትሪክስ እንደሚለዩ እንወቅ።
ባዶ አይነት
ሁሉም የዚህ አይነት ማትሪክስ ክፍሎች ዜሮዎች ናቸው። ይህ በእንዲህ እንዳለ፣ የረድፎቹ እና የአምዶቹ ቁጥር ሙሉ ለሙሉ የተለያዩ ናቸው።
የካሬ አይነት
የዚህ አይነት ማትሪክስ የአምዶች እና ረድፎች ብዛት ተመሳሳይ ነው። በሌላ አነጋገር "ካሬ" ቅርጽ ያለው ጠረጴዛ ነው. የእሱ ዓምዶች (ወይም ረድፎች) ቁጥር ትዕዛዙ ይባላል. ልዩ ጉዳዮች የሁለተኛው ቅደም ተከተል ማትሪክስ መኖር (ማትሪክስ 2x2) ፣ አራተኛው ቅደም ተከተል (4x4) ፣ አሥረኛው (10x10) ፣ አሥራ ሰባተኛው (17x17) እና የመሳሰሉት።
የአምድ ቬክተር
ይህ በጣም ቀላሉ የማትሪክስ ዓይነቶች አንዱ ነው፣ አንድ አምድ ብቻ የያዘ፣ እሱም ሶስት አሃዛዊ እሴቶችን ያካትታል። እሱ ተከታታይ ነፃ ቃላትን (ከተለዋዋጮች ነፃ የሆኑ ቁጥሮች) በመስመር እኩልታዎች ስርዓቶች ውስጥ ይወክላል።
የረድፍ ቬክተር
ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ነው። ሶስት አሃዛዊ አካላትን ያቀፈ፣ በተራው ደግሞ በአንድ መስመር ተደራጅቷል።
ሰያፍ አይነት
የዋናው ሰያፍ አካላት ብቻ (በአረንጓዴው የደመቀው) የቁጥር እሴቶችን በማትሪክስ ሰያፍ መልክ ይወስዳሉ። ዋናው ዲያግናል በላይኛው ግራ ጥግ ላይ ባለው ኤለመንት ይጀምራል እና በቅደም ተከተል ከታች በቀኝ በኩል ባለው ኤለመንት ይጠናቀቃል። የተቀሩት ክፍሎች ዜሮ ናቸው. የሰያፍ አይነት የአንዳንድ ቅደም ተከተሎች ካሬ ማትሪክስ ብቻ ነው። ከዲያግናል ቅርጽ ማትሪክስ መካከል አንድ ሰው scalarን መለየት ይችላል። ሁሉም ክፍሎቹ ተመሳሳይ እሴቶችን ይወስዳሉ።
የማንነት ማትሪክስ
የዲያግናል ማትሪክስ ንዑስ ዓይነቶች። ሁሉም የቁጥር እሴቶቹ አሃዶች ናቸው። አንድ ነጠላ የማትሪክስ ሠንጠረዦችን በመጠቀም፣ መሠረታዊ ለውጦቹን ያከናውኑ ወይም ማትሪክስ ወደ መጀመሪያው ተቃራኒ ያግኙ።
ቀኖናዊ አይነት
የማትሪክስ ቀኖናዊ ቅርፅ ከዋና ዋናዎቹ እንደ አንዱ ተደርጎ ይወሰዳል። ወደ እሱ መጣል ብዙውን ጊዜ ለመስራት ያስፈልጋል። በቀኖናዊው ማትሪክስ ውስጥ ያሉት የረድፎች እና የአምዶች ብዛት የተለያዩ ናቸው ፣ እሱ የግድ የካሬው ዓይነት አይደለም። እሱ ከማንነት ማትሪክስ ጋር በተወሰነ መልኩ ይመሳሰላል፣ ሆኖም ግን፣ በእሱ ሁኔታ፣ ሁሉም የዋናው ዲያግናል ክፍሎች ከአንድ ጋር እኩል የሆነ እሴት አይወስዱም። ሁለት ወይም አራት ዋና ሰያፍ ክፍሎች ሊኖሩ ይችላሉ (ሁሉም በማትሪክስ ርዝመት እና ስፋት ላይ የተመሰረተ ነው). ወይም ምንም ክፍሎች ላይኖሩ ይችላሉ (ከዚያ እንደ ዜሮ ይቆጠራል). የቀሩት የቀኖናዊው ዓይነት ክፍሎች፣ እንዲሁም የዲያግናል እና የማንነት አካላት ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው።
የሶስት ማዕዘን አይነት
በጣም አስፈላጊ ከሆኑ የማትሪክስ አይነቶች አንዱ፣ የሚወስነውን ሲፈልጉ እና ቀላል ስራዎችን ሲሰሩ ጥቅም ላይ ይውላል። የሶስት ማዕዘን አይነት የሚመጣው ከዲያግናል ዓይነት ነው, ስለዚህ ማትሪክስ እንዲሁ ካሬ ነው. የማትሪክስ የሶስት ማዕዘን እይታ ወደ ላይኛው ሶስት ማዕዘን እና የታችኛው ሶስት ማዕዘን የተከፈለ ነው።
በላይኛው ትሪያንግል ማትሪክስ (ምስል 1) ከዋናው ሰያፍ በላይ ያሉት አካላት ብቻ ከዜሮ ጋር እኩል የሆነ እሴት ይይዛሉ። የዲያግናል ራሱ አካላት እና ከሱ በታች ያለው የማትሪክስ ክፍል ቁጥራዊ እሴቶችን ይይዛሉ።
በታችኛው ትሪያንግል ማትሪክስ (ምስል 2) በተቃራኒው በማትሪክስ ታችኛው ክፍል ላይ የሚገኙት ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው።
ደረጃ ማትሪክስ
እይታው የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት እንዲሁም በእነሱ ላይ ለአንደኛ ደረጃ ስራዎች (ከሶስት ማዕዘን አይነት ጋር) አስፈላጊ ነው. የእርምጃ ማትሪክስ ስያሜ የተሰጠው የዜሮዎችን “ደረጃዎች” ባህሪ ስላለው ነው (በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው)። በደረጃው ዓይነት ፣ የዜሮዎች ዲያግናል ተፈጠረ (ዋናው አይደለም) እና በዚህ ዲያግናል ስር ያሉ ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑ እሴቶች አሏቸው። ቅድመ ሁኔታው የሚከተለው ነው፡ በደረጃ ማትሪክስ ውስጥ ዜሮ ረድፍ ካለ፣ ከሱ በታች ያሉት የቀሩት ረድፎች ቁጥራዊ እሴቶችን አያካትቱም።
ስለሆነም ከእነሱ ጋር ለመስራት የሚያስፈልጉትን በጣም አስፈላጊ የማትሪክስ አይነቶችን ተመልክተናል። አሁን ማትሪክስን ወደሚፈለገው ቅጽ የመቀየር ስራ እንሰራው።
ወደ ሦስት ማዕዘን ቅርፅ ይቀንሱ
ማትሪክስ ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ እንዴት ማምጣት ይቻላል? ብዙውን ጊዜ፣ በምደባ፣ የሚወስነውን ለማግኘት፣ በሌላ መልኩ ወሳኙ ተብሎ የሚጠራውን ማትሪክስ ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርጽ መቀየር ያስፈልግዎታል። ይህንን አሰራር በሚፈጽሙበት ጊዜ የማትሪክስ ዋና ዲያግናልን "መጠበቅ" በጣም አስፈላጊ ነው, ምክንያቱም የሶስት ማዕዘን ማትሪክስ ወሳኙ በትክክል የዋናው ዲያግናል አካላት ውጤት ነው. እንዲሁም ወሳኙን ለማግኘት አማራጭ ዘዴዎችን ላስታውስዎ። የካሬ ዓይነት መወሰኛ ልዩ ቀመሮችን በመጠቀም ይገኛል. ለምሳሌ, የሶስት ማዕዘን ዘዴን መጠቀም ይችላሉ. ለሌሎች ማትሪክስ, የመበስበስ ዘዴ በረድፍ, አምድ ወይም አካሎቻቸው ጥቅም ላይ ይውላሉ. እንዲሁም የማትሪክስ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እና አልጀብራ ማሟያዎችን ዘዴ መተግበር ይችላሉ።
ዝርዝሮችየአንዳንድ ተግባራትን ምሳሌዎችን በመጠቀም ማትሪክስ ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ የማምጣት ሂደቱን እንመርምር።
ተግባር 1
የቀረበውን ማትሪክስ ወሳኙን ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ የማምጣት ዘዴን በመጠቀም መፈለግ ያስፈልጋል።
የተሰጠን ማትሪክስ የሶስተኛው ቅደም ተከተል ካሬ ማትሪክስ ነው። ስለዚህ ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ ለመቀየር የመጀመሪያውን አምድ ሁለት ክፍሎችን እና የሁለተኛውን አንድ አካል ማጥፋት አለብን።
ወደ ሦስት ማዕዘን ቅርጽ ለማምጣት ትራንስፎርሜሽኑን ከማትሪክስ ታችኛው ግራ ጥግ ላይ ይጀምሩ - ከቁጥር 6. ወደ ዜሮ ለመቀየር የመጀመሪያውን ረድፍ በሦስት በማባዛት እና ከመጨረሻው ረድፍ ይቀንሱ.
አስፈላጊ! የላይኛው መስመር አይለወጥም, ነገር ግን ከመጀመሪያው ማትሪክስ ጋር ተመሳሳይ ነው. ሕብረቁምፊን ከመጀመሪያው አራት እጥፍ መፃፍ አያስፈልግዎትም። ነገር ግን ክፍሎቻቸው መሻር ያለባቸው የሕብረቁምፊዎች እሴቶች በየጊዜው እየተለወጡ ነው።
በመቀጠል ከሚቀጥለው እሴት ጋር እንነጋገር -የመጀመሪያው ረድፍ የሁለተኛው ረድፍ ኤለመንት ቁጥር 8። የመጀመሪያውን ረድፍ በአራት በማባዛት ከሁለተኛው ረድፍ ቀንስ። ዜሮ አግኝተናል።
የመጨረሻው እሴት ብቻ ይቀራል - የሁለተኛው ረድፍ ሶስተኛው ረድፍ አባል። ይህ ቁጥር (-1) ነው። ወደ ዜሮ ለመቀየር ሁለተኛውን ከመጀመሪያው መስመር ይቀንሱ።
እንፈትሽ፡
detA=2 x (-1) x 11=-22.
ስለዚህ የተግባሩ መልስ -22 ነው።
ተግባር 2
የማትሪክስ ወሳኙን ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ በማምጣት መፈለግ አለብን።
የተወከለ ማትሪክስየካሬው ዓይነት ነው እና የአራተኛው ቅደም ተከተል ማትሪክስ ነው። ይህ ማለት የመጀመሪያው ዓምድ ሦስት ክፍሎች፣ የሁለተኛው ዓምድ ሁለት ክፍሎች እና የሶስተኛው ዓምድ አንድ አካል ዜሮ መሆን አለባቸው።
ቅነሳውን ከታች በግራ ጥግ ላይ ከሚገኘው ኤለመንት - ከቁጥር 4 እንጀምር። ይህን ቁጥር ወደ ዜሮ መቀየር አለብን። ይህን ለማድረግ ቀላሉ መንገድ የላይኛውን ረድፍ በአራት ማባዛትና ከዚያም ከአራተኛው ረድፍ መቀነስ ነው. የለውጡን የመጀመሪያ ደረጃ ውጤት እንፃፍ።
ስለዚህ የአራተኛው መስመር አካል ወደ ዜሮ ተቀናብሯል። ወደ የሶስተኛው መስመር የመጀመሪያ አካል ወደ ቁጥር 3 እንሂድ. ተመሳሳይ ቀዶ ጥገና እናደርጋለን. የመጀመሪያውን መስመር በሶስት ማባዛት፣ ከሶስተኛው መስመር ቀንስ እና ውጤቱን ፃፍ።
በቀጣይ፣ ቁጥር 2ን በሁለተኛው መስመር ላይ እናያለን። ክዋኔውን እንደግመዋለን፡ የላይኛውን ረድፍ በሁለት በማባዛትና ከሁለተኛው ቀንስ።
የዚህ ስኩዌር ማትሪክስ የመጀመሪያ አምድ ሁሉንም ክፍሎች ዜሮ ለማድረግ ችለናል፣ ከቁጥር 1 በስተቀር፣ የዋናው ዲያግራንል ለውጥ የማይፈልገው። አሁን የተገኙትን ዜሮዎች ማቆየት አስፈላጊ ነው, ስለዚህ ለውጦችን በአምዶች ሳይሆን በመደዳዎች እናከናውናለን. ወደቀረበው ማትሪክስ ሁለተኛ አምድ እንሂድ።
እንደገና ከታች እንጀምር - ከመጨረሻው ረድፍ ሁለተኛ ዓምድ አባል። ይህ ቁጥር (-7) ነው። ነገር ግን, በዚህ ሁኔታ ከቁጥር (-1) ለመጀመር የበለጠ አመቺ ነው - የሶስተኛው ረድፍ ሁለተኛ ረድፍ አካል. ወደ ዜሮ ለመቀየር ሁለተኛውን ረድፍ ከሶስተኛው ረድፍ ይቀንሱ. ከዚያም ሁለተኛውን ረድፍ በሰባት እናባዛለን እና ከአራተኛው እንቀንሳለን. በሁለተኛው ረድፍ በአራተኛው ረድፍ ላይ ካለው ንጥረ ነገር ይልቅ ዜሮ አግኝተናል. አሁን ወደ ሦስተኛው እንሂድአምድ።
በዚህ አምድ ወደ ዜሮ መዞር ያለብን አንድ ቁጥር ብቻ - 4. ለማድረግ ቀላል ነው፡ ሶስተኛውን ወደ መጨረሻው መስመር ብቻ ጨምሩ እና የምንፈልገውን ዜሮ ይመልከቱ።
ከሁሉም ለውጦች በኋላ፣ የታቀደውን ማትሪክስ ወደ ሦስት ማዕዘን ቅርጽ አምጥተናል። አሁን፣ የሚወስነውን ለማግኘት፣ የዋናውን ዲያግናል ያለውን የውጤት አካላት ማባዛት ብቻ ያስፈልግዎታል። እናገኛለን: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. ስለዚህ, መፍትሄው ቁጥር 160.ነው.
ስለዚህ አሁን ማትሪክስ ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ የማምጣት ጥያቄ አያስቸግርህም።
ወደ ደረጃ ቅፅ መቀነስ
በማትሪክስ ላይ በአንደኛ ደረጃ ኦፕሬሽኖች፣ ደረጃውን የጠበቀ ቅጽ ከሦስት ማዕዘኑ ያነሰ "የተፈለገ" ነው። አብዛኛውን ጊዜ የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት (ማለትም ዜሮ ያልሆኑ ረድፎች ብዛት) ወይም ቀጥታ ጥገኛ እና ገለልተኛ ረድፎችን ለመወሰን ይጠቅማል። ነገር ግን የደረጃው ማትሪክስ እይታ ለካሬው አይነት ብቻ ሳይሆን ለሌሎችም ሁሉ ተስማሚ ስለሆነ የበለጠ ሁለገብ ነው።
አንድን ማትሪክስ ወደ ደረጃው ደረጃ ለመቀነስ መጀመሪያ የሚወስነውን ማግኘት ያስፈልግዎታል። ለዚህም, ከላይ ያሉት ዘዴዎች ተስማሚ ናቸው. ወሳኙን የማግኘት አላማ ወደ ደረጃ ማትሪክስ መቀየር ይቻል እንደሆነ ለማወቅ ነው። ወሳኙ ከዜሮ የሚበልጥ ወይም ያነሰ ከሆነ ወደ ስራው በሰላም መቀጠል ይችላሉ። ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ, ማትሪክስ ወደ ደረጃ ቅፅ ለመቀነስ አይሰራም. በዚህ ሁኔታ, በመዝገቡ ውስጥ ወይም በማትሪክስ ለውጦች ውስጥ ስህተቶች መኖራቸውን ማረጋገጥ ያስፈልግዎታል. እንደዚህ አይነት ስህተቶች ከሌሉ ስራው ሊፈታ አይችልም።
እንዴት እንደሆነ እንይየበርካታ ተግባራት ምሳሌዎችን በመጠቀም ማትሪክስ ወደ ደረጃው አምጣ።
ተግባር 1. የተሰጠውን የማትሪክስ ሠንጠረዥ ደረጃ ያግኙ።
ከኛ በፊት የሶስተኛው ቅደም ተከተል (3x3) ካሬ ማትሪክስ አለ። ደረጃውን ለማግኘት ደረጃውን ወደ ደረጃ መቀነስ አስፈላጊ መሆኑን እናውቃለን. ስለዚህ, በመጀመሪያ የማትሪክስ ወሳኙን መፈለግ አለብን. የሶስት ማዕዘን ዘዴን በመጠቀም: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
ቆራጭ=12. ከዜሮ ይበልጣል ይህ ማለት ማትሪክስ ወደ ደረጃ ደረጃ ሊቀንስ ይችላል ማለት ነው። ለውጦቹን እንጀምር።
በሦስተኛው ረድፍ በግራ ዓምድ ኤለመንቱ እንጀምር - ቁጥር 2። የላይኛውን ረድፍ በሁለት በማባዛትና ከሦስተኛው ቀንስ። ለዚህ ቀዶ ጥገና ምስጋና ይግባውና ሁለቱም የምንፈልገው ኤለመንት እና ቁጥር 4 - የሦስተኛው ረድፍ ሁለተኛ ረድፍ አባል - ወደ ዜሮ ተቀይሯል.
በመቀጠል ወደ ዜሮ ይዙሩ የሁለተኛው ረድፍ የመጀመሪያው አምድ - ቁጥር 3። ይህንን ለማድረግ የላይኛውን ረድፍ በሦስት በማባዛትና ከሁለተኛው ቀንስ።
ቅናሹ የሶስት ማዕዘን ማትሪክስ እንዳስገኘ አይተናል። በእኛ ሁኔታ፣ የተቀሩት ክፍሎች ወደ ዜሮ ሊቀየሩ ስለማይችሉ ለውጡን መቀጠል አይቻልም።
ስለዚህ በዚህ ማትሪክስ (ወይም ደረጃው) ውስጥ ቁጥራዊ እሴቶችን የያዙ የረድፎች ብዛት 3. ለተግባሩ መልስ፡ 3. ነው ብለን ደምድመናል።
ተግባር 2. የዚህ ማትሪክስ በመስመራዊ ገለልተኛ የረድፎች ብዛት ይወስኑ።
በማንኛውም ለውጥ የማይመለሱ ሕብረቁምፊዎችን ማግኘት አለብንወደ ዜሮ. እንደ እውነቱ ከሆነ, ዜሮ ያልሆኑ ረድፎችን ወይም የተወከለውን ማትሪክስ ደረጃ ማግኘት አለብን. ይህንን ለማድረግ፣ እናቀለለው።
የካሬው አይነት ያልሆነ ማትሪክስ አይተናል። 3x4 ልኬቶች አሉት። እንዲሁም ቀረጻውን ከታችኛው ግራ ጥግ ክፍል - ቁጥሩ (-1) እንጀምር።
የመጀመሪያውን መስመር ወደ ሶስተኛው ጨምሩ። በመቀጠል ቁጥሩን 5 ወደ ዜሮ ለመቀየር ሁለተኛውን ከእሱ ይቀንሱ።
ተጨማሪ ለውጦች የማይቻል ናቸው። ስለዚህ፣ በውስጡ ያሉት የመስመራዊ ገለልተኛ መስመሮች ብዛት እና የተግባሩ መልስ 3. ነው ብለን መደምደም እንችላለን።
አሁን ማትሪክስ ወደ ደረጃው ፎርም ማምጣት ለእርስዎ የማይቻል ተግባር አይደለም።
በእነዚህ ተግባራት ምሳሌዎች ላይ የማትሪክስ ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ እና ደረጃ መቀነሱን ተንትነናል። የሚፈለጉትን የማትሪክስ ሰንጠረዦች እሴቶችን ለማጥፋት በአንዳንድ ሁኔታዎች ምናብ ማሳየት እና ዓምዶቻቸውን ወይም ረድፎችን በትክክል መቀየር ያስፈልጋል. መልካም እድል በሂሳብ እና በማትሪክስ በመስራት!
