ትሪያንግል ባለ ሶስት ጎን (ሶስት ማዕዘን) ነው። ብዙውን ጊዜ, ጎኖቹ በትናንሽ ፊደላት ይገለፃሉ, ተቃራኒ ጫፎችን ከሚያመለክቱ ዋና ፊደላት ጋር ይዛመዳሉ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር ምን እንደሆነ የሚወስን ቲዎሬም የእነዚህን የጂኦሜትሪክ ቅርጾች ዓይነቶችን እናውቃለን።
እይታዎች በማእዘኖች
የሚከተሉት ባለ ሶስት ጫፎች ያላቸው ባለ ብዙ ጎን ተለይተዋል፡
- አጣዳፊ-አንግል፣በዚያም ሁሉም ማዕዘኖች ስለታም ናቸው፤
- አራት ማዕዘን ያለው፣ አንድ ቀኝ ማዕዘን ያለው፣ የጎኖቹ ደግሞ እግር ይባላሉ፣ ከቀኝ አንግል በተቃራኒ የተቀመጠው ጎን ደግሞ ሃይፖቴኑዝ ይባላል፤
- አንዱ ጥግ ሲገለባበጥ፤
- isosceles፣ ሁለት ወገኖች እኩል ሲሆኑ እነሱም በላተራል ይባላሉ፣ ሦስተኛው ደግሞ የሶስት ማዕዘን መሠረት ነው፤
- ሚዛናዊ፣ ሶስቱም እኩል ጎኖች ያሉት።
ንብረቶች
የእያንዳንዱ የሶስት ማዕዘን አይነት ባህሪ የሆኑትን ዋና ዋና ባህሪያት ያደምቃሉ፡
- ከትልቁ ጎን ሁል ጊዜ ትልቅ አንግል አለ እና በተቃራኒው፤
- እኩል መጠን ያላቸው ተቃራኒ ጎኖች እኩል ማዕዘኖች ናቸው፣ እና በተቃራኒው፤
- ማንኛውም ትሪያንግል ሁለት አጣዳፊ ማዕዘኖች አሉት፤
- የውጭ ጥግ ከእሱ አጠገብ ከማይገኝ ከማንኛውም የውስጥ ጥግ ይበልጣል፤
- የሁለቱም ማዕዘኖች ድምር ሁልጊዜ ከ180 ዲግሪ ያነሰ ነው፤
- የውጭ ጥግ ከሱ ጋር የማይገናኙት የሌሎቹ ሁለት ማዕዘኖች ድምር ነው።
የሶስት ማዕዘን ድምር ንድፈ ሃሳብ
ቲዎሬሙ በዩክሊዲያን አውሮፕላን ላይ የሚገኘውን የተሰጠውን የጂኦሜትሪክ ምስል ሁሉንም ማዕዘኖች ካከሉ ድምራቸው 180 ዲግሪ ይሆናል ይላል። ይህን ቲዎሪ ለማረጋገጥ እንሞክር።
የKMN ጫፎች ያለው የዘፈቀደ ትሪያንግል ይኑረን።
በቬርቴክስ M ከቀጥታ መስመር KN ጋር ትይዩ የሆነ ቀጥታ መስመር ይሳሉ (ይህ መስመር Euclidean ቀጥተኛ መስመር ተብሎም ይጠራል)። ነጥቦች K እና A በተለያዩ የቀጥታ መስመር ኤምኤን ላይ በሚገኙበት መንገድ በላዩ ላይ ነጥብ A ምልክት እናደርጋለን። እኩል ማዕዘኖች AMN እና KNM እናገኛለን፣ እነሱም ልክ እንደ ውስጠ-አቋራጭ፣ በአቋራጭ መንገድ የሚዋሹ እና በሴካንት ኤምኤን ከቀጥታ መስመሮች KN እና MA ጋር የተመሰረቱ፣ ትይዩ ናቸው። ከዚህ በመነሳት በደረጃው M እና H ላይ የሚገኙት የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር ከ KMA አንግል መጠን ጋር እኩል ነው. ሶስቱም ማዕዘኖች ድምርን ያዘጋጃሉ, ይህም ከ KMA እና MKN ማዕዘኖች ድምር ጋር እኩል ነው. እነዚህ ማዕዘኖች አንፃር ውስጣዊ አንድ-ጎን ስለሆኑትይዩ ቀጥ ያሉ መስመሮች KN እና MA ከሴካንት KM ጋር፣ ድምራቸው 180 ዲግሪ ነው። ቲዎሬም ተረጋግጧል።
መዘዝ
ከላይ ከተረጋገጠው ንድፈ ሐሳብ የሚከተለውን አስተያየት ይከተላል፡- ማንኛውም ትሪያንግል ሁለት አጣዳፊ ማዕዘኖች አሉት። ይህንን ለማረጋገጥ, የተሰጠው የጂኦሜትሪክ ምስል አንድ አጣዳፊ ማዕዘን ብቻ እንዳለው እናስብ. እንዲሁም የትኛውም ማዕዘኖች አጣዳፊ አይደሉም ተብሎ ሊታሰብ ይችላል። በዚህ ሁኔታ, ከ 90 ዲግሪ ጋር እኩል ወይም ከዚያ በላይ የሆኑ ቢያንስ ሁለት ማዕዘኖች ሊኖሩ ይገባል. ነገር ግን ከዚያ የማዕዘኖቹ ድምር ከ 180 ዲግሪ በላይ ይሆናል. ግን ይህ ሊሆን አይችልም, ምክንያቱም በንድፈ ሀሳቡ መሰረት, የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር 180 ° - ምንም ተጨማሪ እና ያነሰ አይደለም. መረጋገጥ ያለበት ይህ ነው።
የውጭ ጥግ ንብረት
የሦስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር ምን ያህል ነው? ይህ ጥያቄ ከሁለት መንገዶች በአንዱ ሊመለስ ይችላል። የመጀመሪያው በእያንዳንዱ ጫፍ ላይ አንድ ማለትም ሶስት ማዕዘኖች የሚወሰዱትን የማዕዘን ድምር ማግኘት አስፈላጊ ነው. ሁለተኛው የሚያመለክተው የሁሉንም ስድስት ማዕዘኖች ድምር በጫፎቹ ላይ ማግኘት እንደሚያስፈልግ ነው። በመጀመሪያ, የመጀመሪያውን አማራጭ እንይ. ስለዚህ፣ ትሪያንግል ስድስት ውጫዊ ማዕዘኖች አሉት - ሁለት በእያንዳንዱ ጫፍ።
እያንዳንዱ ጥንድ እኩል ማዕዘኖች አሏቸው ምክንያቱም ቀጥ ያሉ ናቸው፡
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
ከዚህም በተጨማሪ የሶስት ማዕዘን ውጫዊ ማዕዘን ከሱ ጋር የማይገናኙ የሁለት የውስጥ ማዕዘኖች ድምር እኩል እንደሆነ ይታወቃል። ስለዚህ፣
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
ከዚህ የውጫዊ ድምር ይሆናል።በእያንዳንዱ ጫፍ አንድ የተወሰዱ ማዕዘኖች ከ፡
ጋር እኩል ይሆናሉ።
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C)።
የማዕዘኖቹ ድምር 180 ዲግሪ ሲሆን ∟A + ∟B + ∟C=180° ብሎ መከራከር ይቻላል። ይህ ማለት ደግሞ ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360° ማለት ነው። ሁለተኛው አማራጭ ጥቅም ላይ ከዋለ የስድስቱ ማዕዘኖች ድምር በቅደም ተከተል ሁለት እጥፍ ይሆናል. ማለትም፣ የሶስት ማዕዘን ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር፡-
ይሆናል።
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°።
የቀኝ ትሪያንግል
የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ ማዕዘኖች ድምር ስንት ነው? የዚህ ጥያቄ መልስ, በድጋሜ, ከቲዎሬም ይከተላል, እሱም በሶስት ማዕዘን ውስጥ ያሉት ማዕዘኖች እስከ 180 ዲግሪዎች ይጨምራሉ. እና የእኛ መግለጫ (ንብረት) እንደዚህ ይመስላል-በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ፣ አጣዳፊ ማዕዘኖች እስከ 90 ዲግሪዎች ይጨምራሉ። ትክክለኛነቱን እናረጋግጥ።
ትሪያንግል KMN ይሰጠን፣ በውስጡም ∟Н=90°። ∟K + ∟M=90°።
መሆኑን ማረጋገጥ ያስፈልጋል።
ስለዚህ፣ እንደ አንግል ድምር ቲዎረም ∟К + ∟М + ∟Н=180°። የእኛ ሁኔታ ∟Н=90 °. ስለዚህም ∟K +∟M + 90°=180° ይገለጣል። ማለትም፡ ∟K + ∟M=180° - 90°=90°። ማረጋገጥ ያለብን ይህንኑ ነው።
ከላይ ካሉት የቀኝ ትሪያንግል ንብረቶች በተጨማሪ የሚከተሉትን ማከል ይችላሉ፡
- እግሮቹ ላይ የሚተኛ ማዕዘኖች ስለታም ናቸው፤
- hypotenuse ከማንኛቸውም እግሮች በሶስት ማዕዘን ይበልጣል፤
- የእግሮች ድምር ከሃይፖቴኑዝ ይበልጣል፤
- እግርከ30 ዲግሪ አንግል ትይዩ የሚተኛ ትሪያንግል የግማሽ ሃይፖቴኑዝ ነው፣ ማለትም ከግማሽው ጋር እኩል ነው።
እንደ ሌላ የዚህ ጂኦሜትሪክ ምስል ንብረት፣የፓይታጎሪያን ቲዎረምን መለየት ይቻላል። ባለ ሶስት ማዕዘን በ90 ዲግሪ (አራት ማዕዘን) የእግሮቹ ካሬ ድምር ከሃይፖቴኑዝ ካሬ ጋር እኩል እንደሆነ ትናገራለች።
የ isosceles ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር
ከዚህ በፊት ኢሶሴልስ ባለ ሶስት ጫፎች ያሉት ሁለት እኩል ጎኖች ያሉት ባለ ብዙ ጎን ነው ብለናል። ይህ የተሰጠው የጂኦሜትሪክ ምስል ንብረት ይታወቃል: በእሱ ስር ያሉት ማዕዘኖች እኩል ናቸው. እናረጋግጠው።
ትሪያንግል KMN ን ውሰዱ፣ እሱም isosceles ነው፣ KN መሰረቱ ነው።
ያንን ∟К=∟Н ማረጋገጥ አለብን። ስለዚህ፣ MA የኛ ትሪያንግል KMN ባለ ሁለት አቅጣጫ ነው እንበል። የኤምሲኤ ትሪያንግል የመጀመሪያውን የእኩልነት ምልክት ከግምት ውስጥ በማስገባት ከኤምሲኤ ትሪያንግል ጋር እኩል ነው። ይኸውም በቅድመ ሁኔታ KM=NM፣ MA የጋራ ጎን ነው፣ ∟1=∟2፣ MA ሁለትዮሽ ስለሆነ። እነዚህ ሁለት ትሪያንግሎች እኩል መሆናቸውን በመጠቀም ∟K=∟Н. ስለዚህ ቲዎሬም ተረጋግጧል።
ነገር ግን የሶስት ማዕዘን (isosceles) ማዕዘኖች ድምር ምን እንደሆነ ለማወቅ እንፈልጋለን። በዚህ ረገድ የራሱ ባህሪያት ስለሌለው, ቀደም ሲል ከተገመተው ቲዎሪ እንጀምራለን. ማለትም፡ ∟K + ∟M + ∟H=180° ወይም 2 x ∟K + ∟M=180° (ከ∟K=∟H) ማለት እንችላለን። የሶስት ማዕዘን ድምር ቲዎረም ራሱ ቀደም ብሎ ስለተረጋገጠ ይህንን ንብረት አናረጋግጥም።
ከተገለጸው በስተቀርስለ ትሪያንግል ማዕዘኖች ያሉ ንብረቶች፣እንዲሁም ጠቃሚ መግለጫዎች አሉ፡
- በአይዞሴሌስ ትሪያንግል ውስጥ፣ ወደ መሰረቱ ዝቅ የተደረገው ቁመት ሁለቱም መካከለኛ፣ በእኩል ጎኖች መካከል ያለው ባለ ሁለት ማእዘን፣ እንዲሁም የመሠረቱ የሲሜትሪ ዘንግ ነው፤
- ሚዲያን (ቢሴክተሮች፣ ቁመቶች) ወደዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ጎን የሚሳሉት እኩል ናቸው።
Equilateral triangle
ትክክለኛ ተብሎም ይጠራል፣ ሁሉም ጎኖች እኩል ያሉት ሶስት ማዕዘን ነው። ስለዚህ, ማዕዘኖቹም እኩል ናቸው. እያንዳንዳቸው 60 ዲግሪዎች ናቸው. ይህንን ንብረት እናረጋግጥ።
ሦስት ማዕዘን KMN እንዳለን አስብ። እኛ እናውቃለን KM=NM=KN. እና ይህ ማለት በ isosceles triangle ውስጥ በመሠረቱ ላይ በሚገኙት ማዕዘኖች ንብረት መሠረት ∟К=∟М=∟Н. በንድፈ ሀሳቡ መሰረት የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር ∟К + ∟М + ∟Н=180 °, ከዚያም 3 x ∟К=180 ° ወይም ∟К=60 °, ∟М=60 °, ∟М=60 °, ∟. Н=60 °. ስለዚህ መግለጫው ተረጋግጧል።
ከላይ ካለው ማስረጃ በንድፈ ሀሳቡ ላይ እንደተመሠረተው፣የእኩልተራ ትሪያንግል ማዕዘናት ድምር ልክ እንደሌሎች ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር 180 ዲግሪ ነው። ይህን ቲዎሪ እንደገና ማረጋገጥ አያስፈልግም።
እንዲሁም እንደዚህ ያሉ ንብረቶችም አሉ የተመጣጣኝ ትሪያንግል ባህሪያት፡
- ሚዲያን፣ ቢሴክተር፣ ቁመታቸው በእንደዚህ አይነት ጂኦሜትሪክ አሃዝ ተመሳሳይ ነው፣ እና ርዝመታቸው በ(a x √3) ይሰላል፡ 2;
- በአንድ ባለ ፖሊጎን ዙሪያ ያለ ክበብ ከገለጹ፣ ራዲየስ ይሆናል።እኩል (a x √3): 3;
- ክበብ ወደ ሚዛናዊ ትሪያንግል ከጻፉት ራዲየስ (a x √3) ይሆናል፡ 6;
- የዚህ ጂኦሜትሪክ ምስል ስፋት በቀመር ይሰላል፡(a2 x √3): 4.
የቅርብ-ማዕዘን ሶስት ማዕዘን
እንደ ግልጽ ያልሆነ ትሪያንግል ትርጓሜ፣ አንደኛው ማዕዘኑ በ90 እና 180 ዲግሪዎች መካከል ነው። ነገር ግን የዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ሌሎች ሁለት ማዕዘኖች አጣዳፊ ከመሆናቸው አንጻር ከ 90 ዲግሪ አይበልጥም ብለን መደምደም እንችላለን. ስለዚህ, የሶስት ማዕዘን ድምር የአንግሎች ቲዎረም የሚሠራው በድብቅ ትሪያንግል ውስጥ ያሉትን የማዕዘን ድምር ሲሰላ ነው። ከላይ በተጠቀሰው ንድፈ ሃሳብ ላይ በመመስረት, የድብደባ ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር 180 ዲግሪ ነው ብለን በእርግጠኝነት መናገር እንችላለን. እንደገና፣ ይህ ቲዎሪ እንደገና መረጋገጥ አያስፈልገውም።
