Polyhedra በጥንት ጊዜ እንኳን የሂሳብ ሊቃውንትን እና ሳይንቲስቶችን ቀልብ ስቧል። ግብፃውያን ፒራሚዶችን ገነቡ። እና ግሪኮች "መደበኛ ፖሊሄድራ" ያጠኑ ነበር. አንዳንድ ጊዜ ፕላቶኒክ ጠጣር ተብለው ይጠራሉ. "ባህላዊ ፖሊሄድራ" ጠፍጣፋ ፊቶችን፣ ቀጥ ያሉ ጠርዞችን እና ጫፎችን ያካትታል። ነገር ግን ዋናው ጥያቄ እነዚህ የተለያዩ ክፍሎች ምን ዓይነት ሕጎችን ማሟላት እንዳለባቸው እንዲሁም አንድ ነገር እንደ ፖሊሄድሮን ብቁ ለመሆን ምን ተጨማሪ ዓለም አቀፍ ሁኔታዎች መሟላት አለባቸው የሚለው ጥያቄ ነው። የዚህ ጥያቄ መልስ በጽሁፉ ውስጥ ይቀርባል።
ችግሮች በትርጉም
ይህ አኃዝ ምንን ያካትታል? ፖሊሄድሮን ጠፍጣፋ ፊት እና ቀጥ ያለ ጠርዞች ያለው የተዘጋ ጠንካራ ቅርጽ ነው። ስለዚህ, የትርጓሜው የመጀመሪያ ችግር በትክክል የስዕሉ ጎኖች ተብሎ ሊጠራ ይችላል. ሁሉም ፊቶች በአውሮፕላኖች ውስጥ ተኝተው ሁልጊዜ የ polyhedron ምልክት አይደሉም. "የሶስት ማዕዘን ሲሊንደር" እንደ ምሳሌ እንውሰድ. ምንን ያካትታል? የገጽታው ክፍል ሦስት ጥንድ ጥንድየተጠላለፉ ቀጥ ያሉ አውሮፕላኖች እንደ ፖሊጎኖች ሊቆጠሩ አይችሉም። ምክንያቱ ምንም ጫፎች ስለሌለው ነው. የዚህ ዓይነቱ ምስል ገጽታ በአንድ ነጥብ ላይ በሚገናኙ ሶስት ጨረሮች ላይ የተመሰረተ ነው.
አንድ ተጨማሪ ችግር - አውሮፕላኖች። በ "ሶስት ማዕዘን ሲሊንደር" ውስጥ ያልተገደበ ክፍሎቻቸው ውስጥ ይተኛል. በስብስቡ ውስጥ ያሉትን ሁለት ነጥቦች የሚያገናኘው የመስመር ክፍል በውስጡ ካለ አሃዝ እንደ ኮንቬክስ ይቆጠራል። አንድ ጠቃሚ ባህሪያቸውን እናቅርብ. ለኮንቬክስ ስብስቦች, ለስብስቡ የተለመዱ የነጥቦች ስብስብ ተመሳሳይ ነው. ሌላ ዓይነት አሃዞች አሉ. እነዚህ ወይ ኖቶች ወይም ቀዳዳዎች ያሏቸው ኮንቬክስ ያልሆኑ 2D polyhedra ናቸው።
የፖሊሄድራ ያልሆኑ ቅርጾች
አንድ ጠፍጣፋ የነጥብ ስብስብ ሊለያይ ይችላል (ለምሳሌ፣ ኮንቬክስ ያልሆነ) እና የተለመደውን የ polyhedron ፍቺ አያረካም። በእሱ በኩል እንኳን, በመስመሮች ክፍሎች የተገደበ ነው. የኮንቬክስ ፖሊሄድሮን መስመሮች ሾጣጣ ቅርጾችን ያካትታሉ. ሆኖም፣ ይህ የትርጓሜው አቀራረብ ወደ ወሰን አልባነት የሚሄድ ምስልን አያካትትም። የዚህ ምሳሌ በአንድ ነጥብ ላይ የማይገናኙ ሶስት ጨረሮች ሊሆኑ ይችላሉ. ግን በተመሳሳይ ጊዜ, ከሌላ ምስል ጫፎች ጋር የተገናኙ ናቸው. በባህላዊ መንገድ, ለ polyhedron ጠፍጣፋ ንጣፎችን ያካተተ አስፈላጊ ነበር. ነገር ግን ከጊዜ በኋላ ሀሳቡ እየሰፋ ሄደ፣ ይህም የመጀመሪያውን "ጠባብ" የፖሊሄድራ ክፍል በመረዳት ላይ ከፍተኛ መሻሻልን አስገኝቷል፣ እንዲሁም አዲስ እና ሰፋ ያለ ትርጉም ብቅ አለ።
ትክክል
አንድ ተጨማሪ ትርጉም እናስተዋውቅ። መደበኛ ፖሊሄድሮን እያንዳንዱ ፊት አንድ ወጥ የሆነ ቋሚ የሆነበት ነው።ኮንቬክስ ፖሊጎኖች፣ እና ሁሉም ጫፎች "ተመሳሳይ" ናቸው። ይህ ማለት እያንዳንዱ ጫፍ አንድ አይነት መደበኛ ፖሊጎኖች አሉት. ይህንን ትርጉም ተጠቀም። ስለዚህ አምስት መደበኛ ፖሊሄድራ ማግኘት ይችላሉ።
የመጀመሪያ ደረጃዎች ወደ የኡለር ቲዎረም ለፖሊሄድራ
ግሪኮች ስለ ፖሊጎን ያውቁ ነበር ይህም ዛሬ ፔንታግራም ይባላል። ይህ ፖሊጎን መደበኛ ተብሎ ሊጠራ ይችላል ምክንያቱም ሁሉም ጎኖቹ እኩል ርዝመት አላቸው. ሌላ ጠቃሚ ማስታወሻም አለ. በሁለት ተከታታይ ጎኖች መካከል ያለው አንግል ሁልጊዜ ተመሳሳይ ነው. ነገር ግን, በአውሮፕላን ውስጥ ሲሳል, ኮንቬክስ ስብስብን አይገልጽም, እና የ polyhedron ጎኖች እርስ በርስ ይገናኛሉ. ይሁን እንጂ ይህ ሁልጊዜ አልነበረም. የሂሳብ ሊቃውንት "ኮንቬክስ ያልሆነ" መደበኛ ፖሊሄድራ የሚለውን ሃሳብ ለረጅም ጊዜ ግምት ውስጥ ያስገባሉ. ፔንታግራም ከነሱ አንዱ ነበር። "ኮከብ ፖሊጎኖች" እንዲሁ ተፈቅዶላቸዋል. በርካታ አዳዲስ የ"መደበኛ ፖሊሄድራ" ምሳሌዎች ተገኝተዋል። አሁን ኬፕለር-ፖይንሶት ፖሊሄድራ ይባላሉ። በኋላ፣ G. S. M. Coxeter እና Branko Grünbaum ህጎቹን አስረዝመው ሌላ "መደበኛ ፖሊሄድራ" አግኝተዋል።
Polyhedral ቀመር
የእነዚህ አሃዞች ስልታዊ ጥናት የጀመረው በአንፃራዊነት በሂሳብ ታሪክ መጀመሪያ ላይ ነው። ሊዮናርድ ኡለር ከቁመቶቻቸው፣ ፊቶቻቸው እና ጫፎቻቸው ብዛት ጋር የተያያዘ ቀመር ለኮንቬክስ 3D ፖሊሄድራ እንደያዘ ያስተዋለ የመጀመሪያው ነው።
ይህን ትመስላለች፡
V + F - E=2፣
V የ polyhedral vertices ቁጥር፣ F የ polyhedra ጠርዝ ብዛት እና ኢ የፊት ብዛት ነው።
ሊዮንሃርድ ኡለር ስዊስ ነው።የሒሳብ ሊቅ፣ ከታላላቅ እና ምርታማ ሳይንቲስቶች አንዱ ተደርጎ የሚቆጠር። ለአብዛኛዎቹ ህይወቱ ዓይነ ስውር ሆኖ ቆይቷል፣ ነገር ግን የማየት ችሎታው ማጣት የበለጠ ውጤታማ እንዲሆን ምክንያት አድርጎታል። በእሱ ስም የተሰየሙ በርካታ ቀመሮች አሉ እና አሁን የተመለከትነው አንዳንድ ጊዜ የኡለር ፖሊሄድራ ቀመር ይባላል።
አንድ ማብራሪያ አለ። የኡለር ቀመር ግን የተወሰኑ ሕጎችን ለሚከተሉ ፖሊሄድራ ብቻ ነው የሚሰራው። ቅጹ ምንም ቀዳዳዎች ሊኖረው አይገባም በሚለው እውነታ ላይ ይዋሻሉ. እና እራሱን መሻገር ተቀባይነት የለውም. ፖሊሄድሮን እንዲሁ ከተጣመሩ ሁለት ክፍሎች ሊሠራ አይችልም ፣ ለምሳሌ ሁለት ኪዩቦች አንድ አይነት ሽፋን ያላቸው። ኡለር የምርምር ውጤቱን በ1750 ለክርስቲያን ጎልድባክ በጻፈው ደብዳቤ ላይ ጠቅሷል። በኋላ፣ ለአዲሱ ግኝቱ ማረጋገጫ እንዴት ለማግኘት እንደሞከረ የሚገልጹ ሁለት ጽሑፎችን አሳትሟል። እንደ እውነቱ ከሆነ, ለ V + F - E የተለየ መልስ የሚሰጡ ቅጾች አሉ. ለድምሩ F + V - E=X መልሱ የኡለር ባህሪ ይባላል. ሌላ ገጽታ አላት። አንዳንድ ቅርጾች አሉታዊ የኡለር ባህሪ ሊኖራቸው ይችላል።
የግራፍ ቲዎሪ
አንዳንድ ጊዜ ዴካርት የኡለር ቲዎርን ቀደም ብሎ እንዳገኘው ይነገራል። ምንም እንኳን ይህ ሳይንቲስት የተፈለገውን ቀመር ለማውጣት የሚያስችለውን ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ፖሊሄድራ እውነታዎችን ቢያገኝም, ይህን ተጨማሪ እርምጃ አልወሰደም. ዛሬ ዩለር የግራፍ ቲዎሪ “አባት” ይባልለታል። የኮንጊስበርግ ድልድይ ችግር ሀሳቡን ተጠቅሞ ፈታው። ነገር ግን ሳይንቲስቱ ፖሊሄድሮንን በዐውደ-ጽሑፉ ላይ አልተመለከቱትም።የግራፍ ቲዎሪ. ኡለር የ polyhedron ወደ ቀላል ክፍሎች መበስበስ ላይ የተመሠረተ ቀመር ማረጋገጫ ለመስጠት ሞክሯል. ይህ ሙከራ ለማረጋገጫ ከዘመናዊ መስፈርቶች ያነሰ ነው. ምንም እንኳን ኡለር ለእሱ ቀመር የመጀመሪያውን ትክክለኛ ማረጋገጫ ባይሰጥም, አንድ ሰው ያልተደረጉ ግምቶችን ማረጋገጥ አይችልም. ይሁን እንጂ፣ በኋላ ላይ የተረጋገጡት ውጤቶች፣ በአሁኑ ጊዜ የኡለር ቲዎረምንም ለመጠቀም አስችለዋል። የመጀመሪያው ማስረጃ የተገኘው በሂሳብ ሊቅ አድሪያን ማሪ ሌጀንደር ነው።
የኡለር ቀመር ማረጋገጫ
ኡለር በመጀመሪያ የ polyhedral ፎርሙላውን በፖሊሄድራ ላይ እንደ ቲዎሪ ቀረፀው። ዛሬ ብዙውን ጊዜ በተያያዙ ግራፎች አጠቃላይ ሁኔታ ውስጥ ይታከማል። ለምሳሌ ፣ በተመሳሳይ ክፍል ውስጥ የሚገኙትን ነጥቦችን እና የመስመር ክፍሎችን ያካተቱ አወቃቀሮች። አውጉስቲን ሉዊስ ካውቺ ይህን ጠቃሚ ግንኙነት ያገኘ የመጀመሪያው ሰው ነው። የኡለር ቲዎሬም ማረጋገጫ ሆኖ አገልግሏል። እሱ፣ በመሰረቱ፣ የኮንቬክስ ፖሊሄድሮን ግራፍ (ወይም ዛሬ እንደዚህ ተብሎ የሚጠራው) ቶፖሎጂያዊ ሆሞሞርፊክ ወደ ሉል መሆኑን አስተውሏል፣ እቅድ የተያያዘ ግራፍ አለው። ምንድን ነው? ፕላኔር ግራፍ በአውሮፕላኑ ውስጥ ጠርዞቹ በሚገናኙበት መንገድ ወይም በወርድ ላይ ብቻ በሚገናኙበት መንገድ የተሳለ ነው. በኡለር ቲዎሪ እና ግራፎች መካከል ያለው ግንኙነት የተገኘው እዚ ነው።
የውጤቱ አስፈላጊነት አንዱ ማሳያ ዴቪድ ኤፕስታይን አስራ ሰባት የተለያዩ ማስረጃዎችን መሰብሰብ መቻሉ ነው። የኡለርን ፖሊሄድራላዊ ቀመር ለማጽደቅ ብዙ መንገዶች አሉ። በአንድ መልኩ፣ በጣም ግልጽ የሆኑት ማረጋገጫዎች የሂሳብ ኢንዳክሽን የሚጠቀሙ ዘዴዎች ናቸው። ውጤቱም ሊረጋገጥ ይችላልበግራፉ በሁለቱም ጠርዞች፣ ፊቶች ወይም ጫፎች ቁጥር ላይ ይሳሉት።
የRademacher እና Toeplitz ማረጋገጫ
በተለይ ማራኪ የሚከተለው የ Rademacher እና Toeplitz ማረጋገጫ ነው፣ በ Von Staudt አቀራረብ ላይ የተመሰረተ። የኡለርን ቲዎረም ትክክለኛነት ለማረጋገጥ ጂ በአውሮፕላን ውስጥ የተገጠመ የተገናኘ ግራፍ ነው እንበል። መርሃግብሮች ካሉት, ተያያዥነት ያለው ንብረቱን ለመጠበቅ በሚያስችል መንገድ ከእያንዳንዳቸው አንድ ጠርዝ ማስቀረት ይቻላል. ወደ የተገናኘው ግራፍ ሳይዘጋ እና ማለቂያ በሌለው ጠርዝ ለመሄድ በተወገዱት ክፍሎች መካከል የአንድ ለአንድ ደብዳቤ አለ. ይህ ጥናት የኡለር ባህሪ ተብሎ ከሚጠራው አንጻር "የሚያመቹ ንጣፎች" እንዲመደቡ አድርጓል።
የጆርዳን ኩርባ። ቲዎረም
በቀጥታም ሆነ በተዘዋዋሪ የ polyhedra ፎርሙላ ለግራፎች የዩለር ቲዎረም ማረጋገጫ ጥቅም ላይ የሚውለው ዋናው ተሲስ በዮርዳኖስ ከርቭ ላይ የተመሰረተ ነው። ይህ ሃሳብ ከአጠቃላይ ጋር የተያያዘ ነው. ማንኛውም ቀላል የተዘጋ ኩርባ አውሮፕላኑን በሦስት ስብስቦች ይከፍላል-ነጥቦቹ በእሱ ላይ, ከውስጥ እና ከውጪ. በአስራ ዘጠነኛው ክፍለ ዘመን የኡለር ፖሊሄድራል ፎርሙላ ላይ ፍላጎት እንደዳበረ፣ እሱን ለማጠቃለል ብዙ ሙከራዎች ተደርገዋል። ይህ ጥናት ለአልጀብራ ቶፖሎጂ እድገት መሰረት ጥሏል እና ከአልጀብራ እና ከቁጥር ቲዎሪ ጋር አያይዘውታል።
የሞኢቢየስ ቡድን
በቅርቡ አንዳንድ ንጣፎች በዓለም አቀፍ ደረጃ ሳይሆን በአገር ውስጥ ወጥ በሆነ መንገድ "ተኮር" ብቻ ሊሆኑ እንደሚችሉ ታወቀ። ታዋቂው የሞቢየስ ቡድን እንደ ምሳሌ ሆኖ ያገለግላልገጽታዎች. በጆሃን ሊቲንግ ትንሽ ቀደም ብሎ ተገኝቷል። ይህ ጽንሰ-ሐሳብ የግራፍ ጂነስ ጽንሰ-ሀሳብን ያጠቃልላል-ትንሹ ገላጭ ሰ. ወደ ሉሉ ወለል ላይ መጨመር አለበት, እና በተዘረጋው ገጽ ላይ ጠርዞቹ በጫፍ ላይ ብቻ በሚገናኙበት መንገድ ሊከተት ይችላል. በEuclidean ቦታ ላይ ያለ ማንኛውም አቅጣጫዊ ወለል የተወሰነ እጀታ ያለው እንደ ሉል ሊወሰድ ይችላል።
የኡለር ሥዕላዊ መግለጫ
ሳይንቲስቱ ሌላ ግኝት አደረጉ፣ ይህም ዛሬም ጥቅም ላይ ይውላል። ይህ የኡለር ሥዕላዊ መግለጫ ተብሎ የሚጠራው የክበቦች ሥዕላዊ መግለጫ ነው፣ አብዛኛው ጊዜ በቡድን ወይም በቡድኖች መካከል ያለውን ግንኙነት ለማሳየት ነው። ሰንጠረዦቹ ብዙውን ጊዜ ክበቦቹ በተደራረቡባቸው ቦታዎች ላይ የሚዋሃዱ ቀለሞችን ያካትታሉ። ስብስቦች በትክክል በክበቦች ወይም በኦቫሎች ይወከላሉ፣ ምንም እንኳን ሌሎች አሃዞች ለእነሱ ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ። ማካተት የሚወከለው ዩለር ክበቦች በሚባል ሞላላ መደራረብ ነው።
ስብስቦችን እና ንዑስ ስብስቦችን ይወክላሉ። ልዩነቱ የማይደራረቡ ክበቦች ነው። የኡለር ሥዕላዊ መግለጫዎች ከሌሎች ሥዕላዊ መግለጫዎች ጋር በቅርበት የተሳሰሩ ናቸው። ብዙውን ጊዜ ግራ ይጋባሉ. ይህ ስዕላዊ መግለጫ የቬን ዲያግራም ይባላል። በጥያቄ ውስጥ ባሉት ስብስቦች ላይ በመመስረት, ሁለቱም ስሪቶች ተመሳሳይ ሊመስሉ ይችላሉ. ነገር ግን፣ በቬን ሥዕላዊ መግለጫዎች፣ ተደራራቢ ክበቦች የግድ በስብስቦች መካከል ያለውን የጋራነት አያመለክቱም፣ ነገር ግን መለያዎቻቸው በሌሉበት ሊኖር የሚችለውን ምክንያታዊ ግንኙነት ብቻ ነው።የተጠላለፈ ክበብ. ሁለቱም አማራጮች የ1960ዎቹ አዲሱ የሒሳብ እንቅስቃሴ አካል አድርገው ስብስብ ንድፈ ሐሳብ ለማስተማር ተቀባይነት አግኝተዋል።
የፌርማት እና የኡለር ቲዎረሞች
Euler በሂሳብ ሳይንስ ውስጥ ጉልህ የሆነ ምልክት ትቶ ወጥቷል። የአልጀብራ ቁጥር ንድፈ ሐሳብ በእሱ ስም በተሰየመ ቲዎሪ የበለፀገ ነው። እንዲሁም የሌላ ጠቃሚ ግኝት ውጤት ነው። ይህ አጠቃላይ አልጀብራ Lagrange ቲዎረም ተብሎ የሚጠራው ነው። የኡለር ስምም ከፌርማት ትንሽ ቲዎሪ ጋር የተያያዘ ነው። p ዋና ቁጥር ከሆነ እና ኢንቲጀር በp የማይከፋፈል ከሆነ፡
ap-1 - 1 በ p. ይከፈላል
አንዳንድ ጊዜ ተመሳሳይ ግኝት የተለየ ስም አለው፣ ብዙ ጊዜ በውጭ አገር ጽሑፎች ውስጥ ይገኛል። የፌርማት የገና ቲዎሬም ይመስላል። ነገሩ ግኝቱ የታወቀው በታኅሣሥ 25, 1640 ዋዜማ በተላከ አንድ ሳይንቲስት ደብዳቤ ነው። ነገር ግን መግለጫው ራሱ ከዚህ በፊት አጋጥሞታል. አልበርት ጊራርድ በተባለ ሌላ ሳይንቲስት ተጠቅሞበታል። Fermat የእሱን ንድፈ ሐሳብ ለማረጋገጥ ብቻ ሞክሯል. ደራሲው ማለቂያ በሌለው የትውልድ ዘዴ መነሳሳቱን በሌላ ደብዳቤ ላይ ጠቁሟል። ነገር ግን ምንም አይነት ማስረጃ አላቀረበም። በኋላ, ኢድርም ወደ ተመሳሳይ ዘዴ ተለወጠ. እና ከእሱ በኋላ - ላግራንጅ, ጋውስ እና ሚንኮስኪን ጨምሮ ሌሎች ታዋቂ ሳይንቲስቶች.
የማንነት ባህሪያት
Fermat's Little Theorem በኡለር ምክንያት ከቁጥር ንድፈ ሃሳብ የቲዎሬም ልዩ ጉዳይ ተብሎም ይጠራል። በዚህ ፅንሰ-ሀሳብ፣ የኡለር ማንነት ተግባር እስከ የተሰጠ ኢንቲጀር n ድረስ አወንታዊ ኢንቲጀሮችን ይቆጥራል። ጋር በተያያዘ ኮፕሪም ናቸው።n. የኡለር ቲዎረም በቁጥር ቲዎሪ የተጻፈው የግሪክ ፊደል φ ሲሆን φ(n) ይመስላል። በይበልጥ በመደበኛነት ሊገለጽ የሚችለው በክልል 1 ≦ k ≦ n ውስጥ ያለው የኢንቲጀር ኪ ብዛት ሲሆን ለዚህም ትልቁ የጋራ አካፋይ gcd (n, k) 1. ማስታወሻ φ(n) የEuler's phi ተግባር ተብሎም ሊጠራ ይችላል። የዚህ ቅጽ ኢንቲጀር ኪ አንዳንድ ጊዜ ድምር ይባላል። በቁጥር ፅንሰ-ሀሳብ እምብርት የኡለር ማንነት ተግባር ተባዝቷል፣ ማለትም ሁለት ቁጥሮች m እና n ኮፕሪም ከሆኑ φ(mn)=φ(m)φ(n) ናቸው። እንዲሁም የRSA ምስጠራ ስርዓትን በመግለጽ ቁልፍ ሚና ይጫወታል።
የዩለር ተግባር በ1763 ተጀመረ።ነገር ግን በዚያን ጊዜ የሂሳብ ሊቃውንቱ ምንም አይነት ምልክት አልመረጡለትም። እ.ኤ.አ. በ 1784 በወጣው እትም ኡለር ይህንን ተግባር በበለጠ ዝርዝር አጥንቶ እሱን ለመወከል π የሚለውን የግሪክ ፊደል መረጠ። ጄምስ ሲልቬስተር ለዚህ ባህሪ “ጠቅላላ” የሚለውን ቃል ፈጠረ። ስለዚህም የኡለር ድምር ተብሎም ይጠራል። አጠቃላይ φ(n) ከ 1 የሚበልጥ አዎንታዊ ኢንቲጀር ከ n ያነሱ በአንጻራዊነት ዋና እስከ n.φ(1) ይገለጻል 1. የኡለር ተግባር ወይም phi(φ) ተግባር ነው በጣም አስፈላጊ ቁጥር - ቲዎሬቲክ ከዋና ቁጥሮች እና የኢንቲጀር ቅደም ተከተል ተብሎ ከሚጠራው ጋር በጣም የተያያዘ ተግባር።
