ጂኦሜትሪ ውብ ነው ምክንያቱም ከአልጀብራ በተቃራኒ ሁል ጊዜ ምን እንደሚያስቡ እና ለምን እንደሆነ ግልጽ በማይሆንበት ጊዜ ለዕቃው ታይነት ይሰጣል። ይህ አስደናቂ የተለያየ አካል ያለው አለም በመደበኛ ፖሊሄድራ ያጌጠ ነው።
አጠቃላይ መረጃ ስለ መደበኛ ፖሊሄድራ
በብዙዎች ዘንድ መደበኛ ፖሊሄድራ ወይም ፕላቶኒክ ጠጣር ተብለው ስለሚጠሩት ልዩ ባህሪያት አሏቸው። ከእነዚህ ነገሮች ጋር በርካታ ሳይንሳዊ መላምቶች ተያይዘዋል። እነዚህን የጂኦሜትሪክ አካላት ማጥናት ሲጀምሩ, ስለ እንደዚህ አይነት ጽንሰ-ሀሳብ እንደ መደበኛ ፖሊሄድራ በተግባር ምንም እንደማያውቁ ይገባዎታል. በትምህርት ቤት ውስጥ የእነዚህ ነገሮች አቀራረብ ሁልጊዜ የሚስብ አይደለም, ስለዚህ ብዙዎች የሚጠሩትን እንኳን አያስታውሱም. ብዙ ሰዎች የሚያስታውሱት ኪዩብ ብቻ ነው። በጂኦሜትሪ ውስጥ ካሉት አካላት እንደ መደበኛ ፖሊሄድራ ፍጹም አይደሉም። የእነዚህ የጂኦሜትሪክ አካላት ስሞች በሙሉ ከጥንቷ ግሪክ የመጡ ናቸው. ፊቶች ብዛት ማለት ነው፡- ቴትራሄድሮን - ባለአራት ጎን፣ ሄክሳህድሮን - ባለ ስድስት ጎን፣ octahedron - octahedral ፣ dodecahedron - አስራ ሁለት ጎን ፣ ኢኮሳህድሮን - ሀያ-ጎን። እነዚህ ሁሉ የጂኦሜትሪክ አካላትበፕላቶ የአጽናፈ ሰማይ ፅንሰ-ሀሳብ ውስጥ ጠቃሚ ቦታን ተቆጣጠሩ። ከመካከላቸው አራቱ አካላትን ወይም አካላትን ይገልጻሉ-tetrahedron - እሳት ፣ ኢኮሳህድሮን - ውሃ ፣ ኩብ - ምድር ፣ ኦክታድሮን - አየር። Dodecahedron ያለውን ሁሉንም ነገር አካቷል. እሱ የአጽናፈ ሰማይ ምልክት ስለሆነ እንደ ዋና ይቆጠር ነበር።
የ polyhedron ጽንሰ-ሀሳብ አጠቃላይ
አንድ ፖሊሄድሮን የተወሰነ ቁጥር ያላቸው ፖሊጎኖች ስብስብ ነው እንደ፡
- የየትኛውም ፖሊጎን ጎን በተመሳሳይ ጊዜ የአንድ ሌላ ፖሊጎን ጎን በተመሳሳይ ጎን ነው፤
- ከእያንዳንዱ ፖሊጎኖች ከጎኑ ያሉትን ፖሊጎኖች በማለፍ ወደሌሎች መድረስ ይችላሉ።
polyhedronን የሚሠሩት ፖሊጎኖች ፊቶቹ ናቸው፣ ጎኖቻቸውም ጠርዝ ናቸው። የ polyhedra ጫፎች የ polygons ጫፎች ናቸው. የፖሊጎን ጽንሰ-ሀሳብ እንደ ጠፍጣፋ የተዘጉ የተሰበሩ መስመሮች ከተረዳ፣ አንድ ሰው የ polyhedron አንድ ፍቺ ላይ ይደርሳል። ይህ ጽንሰ-ሐሳብ በተሰበሩ መስመሮች የተገደበ የአውሮፕላኑ ክፍል ማለት ከሆነ, ባለ ብዙ ጎን ቁርጥራጮችን የያዘ ንጣፍ መረዳት አለበት. ኮንቬክስ ፖሊ ሄድሮን በአንድ አውሮፕላን ከፊቱ አጠገብ የተኛ አካል ነው።
ሌላ የ polyhedron እና ንጥረ ነገሮች ፍቺ
አንድ ፖሊ ሄድሮን የጂኦሜትሪክ አካልን የሚገድቡ ፖሊጎኖች ያሉት ወለል ነው። እነሱም፡
- ኮንቬክስ ያልሆነ፤
- ኮንቬክስ (ትክክል እና የተሳሳተ)።
መደበኛ ፖሊሄድሮን ከፍተኛ ሲሜትሪ ያለው ኮንቬክስ ፖሊሄድሮን ነው። የመደበኛ polyhedra አካላት፡
- tetrahedron፡ 6 ጠርዞች፣ 4 ፊት፣ 5 ጫፎች፤
- hexahedron (cube): 12, 6, 8;
- ዶዴካህድሮን፡ 30፣ 12፣ 20፤
- octahedron፡ 12፣ 8፣ 6፤
- icosahedron፡ 30፣ 20፣ 12።
የኡለር ቲዎረም
ከሉል ጋር ተመሳሳይ በሆነ መልኩ በዳርቻዎች፣ ጫፎች እና ፊቶች መካከል ግንኙነትን ይመሰርታል። የተለያዩ የቋሚ ፖሊሄድራዎችን ጫፎች እና ፊቶች (B + D) ቁጥር በመጨመር እና ከጫፍ ብዛት ጋር በማነፃፀር አንድ ንድፍ ሊመሰረት ይችላል-የፊት እና ጫፎች ድምር የጠርዙን ብዛት (P) ጨምሯል በ 2. ቀላል ቀመር ማግኘት ይችላሉ፡
B + D=R + 2
ይህ ቀመር ለሁሉም convex polyhedra እውነት ነው።
መሠረታዊ ትርጓሜዎች
የመደበኛ polyhedron ጽንሰ-ሀሳብ በአንድ ዓረፍተ ነገር ሊገለጽ አይችልም። የበለጠ ትርጉም ያለው እና ሰፊ ነው። አንድ አካል እንደዚህ እንዲታወቅ፣ በርካታ ትርጓሜዎችን ማሟላት አለበት። ስለዚህ፣ የሚከተሉት ሁኔታዎች ከተሟሉ የጂኦሜትሪክ አካል መደበኛ ፖሊሄድሮን ይሆናል፡
- ኮንቬክስ ነው፤
- ተመሳሳይ የጠርዙ ብዛት በየእግሮቹ ይገናኛል፤
- ፊቶቹ ሁሉ ቋሚ ፖሊጎኖች ናቸው፣ እርስ በርሳቸው እኩል ናቸው፤
- ሁሉም ዳይሄድራል ማዕዘኖቹ እኩል ናቸው።
የመደበኛ ፖሊሄድራ ንብረቶች
5 የተለያዩ የመደበኛ ፖሊሄድራ ዓይነቶች አሉ፡
- Cube (hexahedron) - ከላይ 90° ጠፍጣፋ አንግል አለው።ባለ 3 ጎን አንግል አለው. ከላይ ያሉት የጠፍጣፋ ማዕዘኖች ድምር 270° ነው።
- Tetrahedron - ጠፍጣፋ አንግል ከላይ - 60°። ባለ 3 ጎን አንግል አለው. ከላይ ያሉት የጠፍጣፋ ማዕዘኖች ድምር 180° ነው።
- Octahedron - ጠፍጣፋ የወርድ አንግል - 60°። ባለ 4 ጎን ጥግ አለው. ከላይ ያሉት የጠፍጣፋ ማዕዘኖች ድምር 240° ነው።
- Dodecahedron - ጠፍጣፋ አንግል በ vertex 108°። ባለ 3 ጎን አንግል አለው. ከላይ ያሉት የጠፍጣፋ ማዕዘኖች ድምር 324° ነው።
- ኢኮሳህድሮን - ከላይ ጠፍጣፋ አንግል አለው - 60°። ባለ 5 ጎን አንግል አለው. ከላይ ያሉት የጠፍጣፋ ማዕዘኖች ድምር 300° ነው።
የመደበኛ ፖሊሄድራ አካባቢ
የእነዚህ የጂኦሜትሪክ አካላት (ኤስ) ስፋት ልክ እንደ መደበኛ ፖሊጎን ስፋት በፊቶቹ ቁጥር (ጂ) ተባዝቷል፡
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
የመደበኛ ፖሊሄድሮን መጠን
ይህ ዋጋ የሚሰላው የቋሚውን ፒራሚድ መጠን በማባዛት ሲሆን ከሥሩም መደበኛ ባለ ብዙ ጎን በፊቶች ብዛት ሲሆን ቁመቱም የተቀረጸው የሉል (r) ራዲየስ ነው::
V=1: 3rS
የመደበኛ polyhedra መጠኖች
እንደ ማንኛውም ሌላ የጂኦሜትሪክ አካል፣ መደበኛ ፖሊሄድራ የተለያየ መጠን አላቸው። ከታች ያሉት ቀመሮች እነሱን ማስላት ይችላሉ፡
- tetrahedron: α x 3√2: 12;
- ኦክታሄድሮን፡ α x 3√2፡ 3፤
- ikosahedron; α x 3;
- hexahedron (cube): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- ዶዴካህድሮን፡ α x 3 (15 + 7√5)፡ 4.
የመደበኛ ፖሊሄድራ አካላት
Hexahedron እና octahedron ባለሁለት ጂኦሜትሪ አካላት ናቸው። በሌላ አገላለጽ, የአንዱ ፊት የስበት ማእከል እንደ ሌላኛው ጫፍ ከተወሰደ እርስ በርስ ሊገኙ ይችላሉ, እና በተቃራኒው. Icosahedron እና dodecahedron እንዲሁ ድርብ ናቸው። tetrahedron ብቻ ለራሱ ሁለት ነው። በ Euclid ዘዴ መሠረት በአንድ ኪዩብ ፊት ላይ "ጣሪያዎችን" በመገንባት ከሄክሳሄድሮን dodecahedron ማግኘት ይችላሉ. የtetrahedron ጫፎች በጠርዙ በኩል ጥንድ ሆነው ያልተጠጉ 4 የኩብ ጫፎች ይሆናሉ። ከሄክሳሄድሮን (cube) ሌላ መደበኛ ፖሊሄድራ ማግኘት ይችላሉ። ምንም እንኳን ስፍር ቁጥር የሌላቸው ቋሚ ፖሊጎኖች ቢኖሩም 5 መደበኛ ፖሊሄድራ ብቻ አሉ።
የመደበኛ ፖሊጎኖች ራዲየስ
ከእያንዳንዱ ከእነዚህ የጂኦሜትሪክ አካላት ጋር የተቆራኙ 3 የተማከለ ሉልሎች አሉ፡
- ተገልጿል፣ በከፍታው ያልፋል፤
- የተፃፈ፣ እያንዳንዱን ፊቶቹን በመሃል እየነካ፣
- ሚዲያን፣ በመሃል ያሉትን ሁሉንም ጠርዞች መንካት።
የተገለጸው የሉል ራዲየስ በሚከተለው ቀመር ይሰላል፡
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
የተቀረጸው የሉል ራዲየስ በቀመር፡
ይሰላል
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
θ በአጎራባች ፊቶች መካከል ያለው አቅጣጫዊ ማዕዘን ነው።
የሚዲያን ሉል ራዲየስ በሚከተለው ቀመር ሊሰላ ይችላል፡
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h፣
የት h እሴት=4, 6, 6, 10 ወይም 10. የተከበቡ እና የተቀረጹ ራዲየስ ጥምርታ ከ p እና q ጋር ተመጣጣኝ ነው. እሱበቀመር የተሰላ፡
R/r=tg π/p x tg π/q
የፖሊሄድራ ሲምሜትሪ
የመደበኛ ፖሊሄድራ ሲምሜትሪ በእነዚህ የጂኦሜትሪክ አካላት ላይ ዋና ፍላጎትን ያስከትላል። ልክ እንደ ህዋ ውስጥ ያለ የሰውነት እንቅስቃሴ ተረድቷል ፣ እሱም ተመሳሳይ ቁጥር ያላቸውን ጫፎች ፣ ፊት እና ጠርዞች ይተዋል ። በሌላ አነጋገር፣ በሲሜትሪ ለውጥ ተጽእኖ ስር ጠርዝ፣ ወርድ፣ ፊት ወይ የመጀመሪያውን ቦታ ይይዛል ወይም ወደ ሌላ ጠርዝ፣ ወርድ ወይም ፊት የመጀመሪያ ቦታ ይንቀሳቀሳል።
የመደበኛ የ polyhedra የሲሜትሪ አካላት የሁሉም አይነት የጂኦሜትሪክ አካላት ባህሪያት ናቸው። እዚህ እየተነጋገርን ያለነው ማናቸውንም ነጥቦችን ወደ መጀመሪያው ቦታ ስለሚተው ተመሳሳይ ለውጥ ነው። ስለዚህ፣ ባለብዙ ጎን ፕሪዝምን ሲያዞሩ፣ ብዙ ሲሜትሮችን ማግኘት ይችላሉ። ማንኛቸውም እንደ ነጸብራቅ ውጤቶች ሊወከሉ ይችላሉ. የእኩል ብዛት ነጸብራቅ ውጤት የሆነው ሲሜትሪ ቀጥተኛ መስመር ይባላል። ያልተለመደ የነጸብራቅ ብዛት ውጤት ከሆነ ተገላቢጦሽ ይባላል። ስለዚህ፣ ስለ አንድ መስመር ሁሉም ሽክርክሪቶች ቀጥተኛ ሲሜትሪ ናቸው። የ polyhedron ማንኛውም ነጸብራቅ ተገላቢጦሽ ሲሜትሜት ነው።
የመደበኛ ፖሊሄድራን የሲሜትሪ ክፍሎችን የበለጠ ለመረዳት፣የቴትራሄድሮን ምሳሌ መውሰድ እንችላለን። በዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል መሃል በአንዱ ጫፎች እና በአንደኛው በኩል የሚያልፍ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በተቃራኒው የፊት መሃከል በኩል ያልፋል። እያንዳንዱ የ120° እና 240° መዞሪያ መስመር ብዙ ነው።የ tetrahedron ሲምሜትሪ. 4 ጫፎች እና 4 ፊት ስላሉት ስምንት ቀጥተኛ ሲሜትሮች ብቻ አሉ። በጠርዙ መካከል የሚያልፉ ማናቸውም መስመሮች እና የዚህ አካል መሃከል በተቃራኒው ጠርዝ መካከል ያልፋሉ. ማንኛውም የ180° ሽክርክሪት፣ ግማሽ መዞር ተብሎ የሚጠራው፣ በቀጥተኛ መስመር ዙሪያ ሲሜትሜትሪ ነው። ቴትራሄድሮን ሶስት ጥንድ ጠርዞች ስላለው, ሶስት ተጨማሪ ቀጥተኛ ሲሜትሮች አሉ. ከላይ በተጠቀሰው መሰረት, ተመሳሳይ ለውጥን ጨምሮ አጠቃላይ የቀጥታ ሲሜትሮች ቁጥር አስራ ሁለት ይደርሳል ብለን መደምደም እንችላለን. ቴትራሄድሮን ሌላ ቀጥተኛ ሲሜትሮች የሉትም፣ ግን 12 ተገላቢጦሽ ሲሜትሮች አሉት። ስለዚህ, tetrahedron በጠቅላላው 24 ሲሜትሮች ይገለጻል. ግልፅ ለማድረግ የመደበኛ ቴትራሄድሮን ሞዴል ከካርቶን መገንባት እና ይህ የጂኦሜትሪክ አካል በእውነቱ 24 ሲሜትሮች ብቻ እንዳለው ያረጋግጡ።
ዶዲካህድሮን እና ኢኮሳህድሮን ለሰውነት ሉል በጣም ቅርብ ናቸው። Icosahedron ትልቁ ቁጥር ፊቶች፣ ትልቁ ዳይሄድራል አንግል አለው፣ እና በተቀረጸው ሉል ላይ በጣም በጥብቅ ሊጫን ይችላል። ዶዲካህድሮን በጣም ትንሹ የማዕዘን ጉድለት አለው, በአከርካሪው ላይ ትልቁ ጠንካራ ማዕዘን. የተገለጸውን ሉል በከፍተኛው መሙላት ይችላል።
የፖሊሄድራ ጠረገ
የተለመደ ያልታሸገ ፖሊሄድራ፣ ሁላችንም በልጅነት ጊዜ አንድ ላይ ተጣብቀን፣ ብዙ ፅንሰ-ሀሳቦች አሏቸው። የ polyhedron እያንዳንዱ ጎን አንድ ጎን ብቻ ተለይቶ የሚታወቅ የ polyhedron ስብስብ ካለ, የጎኖቹን መለየት ሁለት ሁኔታዎችን ማሟላት አለበት:
- ከእያንዳንዱ ፖሊጎን ፣ያላቸውን ፖሊጎኖች ማለፍ ይችላሉ።ተለይቶ የሚታወቅ ጎን፤
- የተለዩ ጎኖች ተመሳሳይ ርዝመት ሊኖራቸው ይገባል።
እነዚህን ሁኔታዎች የሚያሟሉ የፖሊጎኖች ስብስብ ነው የ polyhedron እድገት ተብሎ የሚጠራው። እያንዳንዳቸው እነዚህ አካላት በርካታ አሏቸው። ስለዚህ፣ ለምሳሌ፣ አንድ ኪዩብ 11ቱ አሉት።
