በአውሮፕላኖች መካከል ያሉ ማዕዘኖች። በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል እንዴት እንደሚወስኑ

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-02 17:40

በህዋ ላይ የጂኦሜትሪክ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ በተለያዩ የቦታ ነገሮች መካከል ያሉትን ማዕዘኖች ማስላት የሚያስፈልግባቸው ብዙ ጊዜ ይኖራሉ። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ በአውሮፕላኖች እና በእነሱ መካከል እና ቀጥታ መስመር መካከል ማዕዘኖችን የማግኘት ጉዳይ እንመለከታለን።

መስመር በጠፈር

በፍፁም በአውሮፕላኑ ውስጥ ያለ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በሚከተለው እኩልነት ሊገለፅ እንደሚችል ይታወቃል፡

y=ax + b

እነሆ a እና b አንዳንድ ቁጥሮች ናቸው። ተመሳሳይ አገላለጽ ባለው ህዋ ላይ ቀጥ ያለ መስመርን የምንወክል ከሆነ ከዚ ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ አውሮፕላን እናገኛለን። የቦታ መስመርን ለማስላት የሂሳብ ፍቺ ከሁለት-ልኬት ሁኔታ የተለየ የመፍትሄ ዘዴ ጥቅም ላይ ይውላል። እሱ የ"አቅጣጫ ቬክተር" ጽንሰ-ሀሳብን ያካትታል።

የቀጥታ መስመር አቅጣጫ ጠቋሚው በጠፈር ላይ ያለውን አቅጣጫ ያሳያል። ይህ ግቤት የመስመሩ ነው። በጠፈር ላይ ትይዩ የሆነ ማለቂያ የለሽ የቬክተር ስብስብ ስላለ፣የታሰበውን የጂኦሜትሪክ ነገር በልዩ ሁኔታ ለማወቅ፣የእሱ የሆነውን ነጥብ መጋጠሚያዎች ማወቅም ያስፈልጋል።

እንዳለ አስቡትነጥብ P(x₀፤ y₀፤ z_{0 እና አቅጣጫ ቬክተር v (a; b; ሐ) ፣ ከዚያ የቀጥታ መስመር እኩልታ እንደሚከተለው ሊሰጥ ይችላል-}

(x; y; z)=P + αv ቪ ወይም

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

ይህ አገላለጽ የቀጥታ መስመር (parametric vector equation) ይባላል። Coefficient α ማንኛውንም ትክክለኛ እሴቶችን ሊወስድ የሚችል መለኪያ ነው። ይህንን እኩልነት በማስፋት የአንድ መስመር መጋጠሚያዎች በግልፅ ሊወከሉ ይችላሉ፡

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

የአውሮፕላኑ እኩልነት

በህዋ ላይ ላለ አይሮፕላን እኩልነት ለመፃፍ በርካታ መንገዶች አሉ። እዚህ ከመካከላቸው አንዱን እንመለከታለን, ይህም በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ወይም በአንደኛው እና በቀጥተኛ መስመር መካከል ያሉትን ማዕዘኖች ሲሰላ ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.

አንዳንድ ቬክተር n (A; B; C) የሚታወቅ ከሆነ ከተፈለገው አውሮፕላን ጋር ቀጥ ያለ ነው እና ነጥቡ P(x₀; y ₀ ፤ z_{0፣የእሱ የሆነው፣የኋለኛው አጠቃላይ እኩልታ፡ ነው።}

Ax + By + Cz + D=0 የት D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

የዚህን አገላለጽ አመጣጥ ትተናል፣ ይህም በጣም ቀላል ነው። እዚህ ላይ ብቻ እናስተውላለን, በአውሮፕላኑ እኩልነት ውስጥ የተለዋዋጮችን ጥምርታ ማወቅ, አንድ ሰው በእሱ ላይ ቀጥ ያሉ ሁሉንም ቬክተሮች በቀላሉ ማግኘት ይችላል. የኋለኞቹ መደበኛ ተብለው ይጠራሉ እና በዘንበል እና በአውሮፕላኑ መካከል እና በመካከላቸው ያሉትን ማዕዘኖች ለማስላት ያገለግላሉ ።የዘፈቀደ አናሎግ።

የአውሮፕላኖቹ መገኛ እና በመካከላቸው ላለው አንግል ቀመር

ሁለት አውሮፕላኖች አሉ እንበል። በጠፈር ውስጥ አንጻራዊ ቦታቸው ምን አማራጮች አሉ. አውሮፕላኑ ማለቂያ የሌላቸው ሁለት ልኬቶች እና አንድ ዜሮ ስላሉት ለጋራ አቅጣጫቸው ሁለት አማራጮች ብቻ ሊኖሩ ይችላሉ፡

እርስ በርስ ትይዩ ይሆናሉ፤
ሊደራረቡ ይችላሉ።

በአውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል በአቅጣጫቸው ቬክተር መካከል ያለው መረጃ ጠቋሚ ነው፣ ማለትም በመደበኛ ልማዶቻቸው መካከል n₁ሼ እና n_2.

በእርግጥ ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ከሆኑ የመገናኛው አንግል በመካከላቸው ዜሮ ነው። እርስ በርስ ከተገናኙ ዜሮ ያልሆነ ነው, ግን ሁልጊዜ ስለታም ነው. ልዩ የማቋረጫ ሁኔታ 90o ይሆናል፣ አውሮፕላኖቹ እርስ በእርሳቸው እርስ በርስ የሚደጋገፉ ሲሆኑ።

አንግል α በ n₁እና እና በ n_{2ኪ መካከል ያለው አንግል በቀላሉ የሚወሰነው በእነዚህ ቬክተር ውጤቶች ነው። ማለትም፣ ቀመሩ ይከናወናል፡}

α=አርኮስ((n₁መንn₂መን)/(|n_{1 ǹ| |n}2_ǹ|))

የእነዚህ የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የሚከተሉት ናቸው፡- n₁n(a₁; b₁፤ c₁)፣ n₂n(a₂; b₂፤ c_{2)። በመቀጠል የቬክተሮችን ስካላር ምርት እና ሞጁሎች በማስተባበሪያዎቻቸው ለማስላት ቀመሮቹን በመጠቀም ከላይ ያለው አገላለጽ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡}

α=አርክኮስ(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

በቁጥር ማዘዣው ውስጥ ያለው ሞጁሉ የታየ ምክንያቱም የተገለሉ ማዕዘኖችን እሴቶችን ለማስቀረት ነው።

የአውሮፕላኖችን መገናኛ አንግል ለማወቅ ችግሮችን የመፍታት ምሳሌዎች

በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል እንዴት ማግኘት እንደምንችል በማወቅ የሚከተለውን ችግር እንፈታዋለን። ሁለት አውሮፕላኖች ተሰጥተዋል፣ የእነሱ እኩልታዎች፡

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለው አንግል ምንድን ነው?

የችግሩን ጥያቄ ለመመለስ በአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልታ ውስጥ ያሉት የተለዋዋጮች ቅንጅቶች የመመሪያው ቬክተር መጋጠሚያዎች መሆናቸውን እናስታውስ። ለተጠቆሙት አውሮፕላኖች የሚከተሉት የመደበኛ መደበኛዎቻቸው መጋጠሚያዎች አሉን፡

_{1ǹ(3; 4; -1);}
_{2ǹ(-1; -2; 5)}

አሁን የእነዚህን ቬክተሮች እና ሞጁሎች ስኬር ምርት አግኝተናል፡

(n₁መንn_{2ǹ)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1ǹ|=√(9 + 16 + 1)=√26፤}

|n_{2ǹ|=√(1 + 4 + 25)=√30}

አሁን የተገኙትን ቁጥሮች በቀደመው አንቀጽ ላይ በተጠቀሰው ቀመር መተካት ይችላሉ። እናገኛለን:

α=አርክኮስ(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

የተገኘው እሴት በሁኔታው ላይ ከተጠቀሰው የአውሮፕላኖች መገናኛ ላይ ካለው አጣዳፊ አንግል ጋር ይዛመዳል።ተግባራት።

አሁን ሌላ ምሳሌ ተመልከት። ሁለት አውሮፕላኖች ተሰጥተዋል፡

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

ይገናኛሉ? የአቅጣጫቸውን ቬክተሮች መጋጠሚያዎች እሴቶችን እንፃፍ፣ scalar ምርታቸውን እና ሞጁሎቻቸውን እናሰላ፡

_{1ǹ(1; 1; 0);}
_{2ǹ(3፤ 3፤ 0)፤}

(n₁መንn_{2መን)=3 + 3 + 0=6፤}

|n_1ǹ|=√2;

|n_2ǹ|=√18

ከዚያም የመገናኛው አንግል፡ ነው።

α=አርክኮስ(|6| / (√2√18)=0o.

ይህ አንግል አውሮፕላኖቹ እንደማይገናኙ ነገር ግን ትይዩ መሆናቸውን ያመለክታል። እርስ በርስ የማይጣጣሙ መሆናቸው በቀላሉ ለማጣራት ቀላል ነው. ለዚህ የመጀመርያው የሆነ የዘፈቀደ ነጥብ እንውሰድ ለምሳሌ ፒ(0፤ 3፤ 2)። መጋጠሚያዎቹን ወደ ሁለተኛው እኩልታ በመቀየር የሚከተለውን እናገኛለን፡-

30 +33 + 8=17 ≠ 0

ይህም ነጥቡ P የመጀመሪያው አውሮፕላን ብቻ ነው።

ስለዚህ ሁለት አውሮፕላኖች መደበኛ ሲሆኑ ትይዩ ናቸው።

አይሮፕላን እና ቀጥታ መስመር

በአውሮፕላኑ እና ቀጥታ መስመር መካከል ያለውን አንጻራዊ ቦታ ግምት ውስጥ በማስገባት ከሁለት አውሮፕላኖች የበለጠ ብዙ አማራጮች አሉ። ይህ እውነታ ቀጥተኛ መስመር አንድ-ልኬት ነገር ከመሆኑ እውነታ ጋር የተያያዘ ነው. መስመር እና አይሮፕላን ሊሆኑ ይችላሉ፡

እርስ በርስ ትይዩ፣ በዚህ ሁኔታ አውሮፕላኑ መስመሩን አያቋርጥም፤
የኋለኛው የአውሮፕላኑ ሊሆን ይችላል፣ እሱ ደግሞ ከእሱ ጋር ትይዩ ይሆናል፤
ሁለቱም ነገሮች ይችላሉ።በተወሰነ ማዕዘን ያቋርጡ።

የመገናኛ አንግል ጽንሰ ሃሳብ ማስተዋወቅ ስለሚፈልግ በመጀመሪያ የመጨረሻውን ጉዳይ እናስብ።

መስመር እና አውሮፕላን፣ በመካከላቸው ያለው አንግል

ቀጥ ያለ መስመር አውሮፕላንን ካቋረጠ ወደ እሱ ዘንበል ተብሎ ይጠራል። የመስቀለኛ መንገዱ ነጥብ የዳገቱ መሠረት ተብሎ ይጠራል. በእነዚህ ጂኦሜትሪክ ነገሮች መካከል ያለውን አንግል ለመወሰን ከየትኛውም ቦታ ወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ያለ ቀጥ ያለ ዝቅ ማድረግ ያስፈልጋል. ከዚያም አውሮፕላን ጋር perpendicular ያለውን መገናኛ ነጥብ እና ከእርሱ ጋር ያዘመመበት መስመር መጋጠሚያ ቦታ አንድ ቀጥተኛ መስመር ይመሰረታል. የኋለኛው ደግሞ ግምት ውስጥ በማስገባት በአውሮፕላኑ ላይ ያለው የመነሻ መስመር ትንበያ ይባላል. በመስመሩ እና በግምገማው መካከል ያለው አጣዳፊ አንግል ያስፈልጋል።

በአውሮፕላኑ እና ገደላማ መካከል ያለው አንግል ትንሽ ግራ የሚያጋባ ፍቺ ከዚህ በታች ያለውን ምስል ግልጽ ያደርገዋል።

እዚህ ላይ ኤቢኦ ያለው አንግል በመስመሩ AB እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለው አንግል ነው።

ለእሱ ቀመሩን ለመጻፍ፣ አንድ ምሳሌ አስቡበት። በእኩልታዎች የሚገለጹት ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን ይሁን፡

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) +λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

የስካላር ምርቱን በመስመሩ እና በአውሮፕላኑ አቅጣጫ ቬክተር መካከል ካገኙ ለእነዚህ ነገሮች የሚፈለገውን ማዕዘን ማስላት ቀላል ነው። የተገኘው አጣዳፊ አንግል ከ90o መቀነስ አለበት፣ከዚያም የሚገኘው በቀጥታ መስመር እና በአውሮፕላን መካከል ነው።

ከላይ ያለው ምስል ለማግኘት የተገለጸውን አልጎሪዝም ያሳያልግምት ውስጥ የሚገባ ማዕዘን. እዚህ β በመደበኛ እና በመስመሩ መካከል ያለው አንግል ነው, እና α በመስመሩ እና በአውሮፕላኑ ላይ ባለው ትንበያ መካከል ነው. ድምራቸው 90o እንደሆነ ማየት ይቻላል።

ከላይ፣ በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ለሚለው ጥያቄ መልስ የሚሰጥ ቀመር ቀርቧል። አሁን ለቀጥታ መስመር እና ለአውሮፕላን ጉዳይ ተገቢውን አገላለጽ እንሰጣለን፡

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

በቀመር ውስጥ ያለው ሞጁል የሚፈቅደው አጣዳፊ ማዕዘኖችን ብቻ ነው። በትሪግኖሜትሪክ ተግባራት (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)) መካከል ባለው ተጓዳኝ የመቀነሻ ፎርሙላ ከአርክሴይን ይልቅ የአርሴይን ተግባር ታየ።

ችግር፡ አንድ አውሮፕላን ቀጥታ መስመር ያቋርጣል

አሁን ከላይ ባለው ቀመር እንዴት መስራት እንዳለብን እናሳይ። ችግሩን እንፈታው በ y-axis እና በአውሮፕላኑ መካከል ባለው ስሌት መካከል ያለውን አንግል ማስላት አስፈላጊ ነው:

y - z + 12=0

ይህ አውሮፕላን በምስሉ ላይ ይታያል።

የy እና z ዘንጎችን በነጥብ (0; -12; 0) እና (0; 0; 12) ላይ እንደሚያቋርጥ እና ከ x ዘንግ ጋር ትይዩ መሆኑን ማየት ትችላለህ።

የመስመሩ ቬክተር y መጋጠሚያዎች አሉት (0; 1; 0). ከተሰጠው አውሮፕላን ጋር ቀጥ ያለ ቬክተር በመጋጠሚያዎች (0; 1; -1) ይታወቃል. የቀጥታ መስመር እና የአውሮፕላን መገናኛ አንግል ቀመርን እንተገብራለን፡-እናገኛለን።

α=arcsin(|1| / (√1√2))=አርክሲን(1 / √2)=45o

ችግር፡ ቀጥታ መስመር ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ

አሁን እንወሰንከቀዳሚው ችግር ጋር ተመሳሳይነት ያለው, ጥያቄው በተለየ መንገድ የቀረበ ነው. የአውሮፕላኑ እና የቀጥታ መስመር እኩልታዎች ይታወቃሉ፡

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

እነዚህ ጂኦሜትሪክ ነገሮች እርስ በርስ ትይዩ መሆናቸውን ማወቅ ያስፈልጋል።

ሁለት ቬክተሮች አሉን፡የቀጥታ መስመር አቅጣጫ (0; 2; 2) እና የአውሮፕላኑ አቅጣጫ (1; 1; -1) ነው. የነጥብ ምርታቸውን ያግኙ፡

01 + 12 - 12=0

ውጤቱም ዜሮ በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል 90o መሆኑን ያሳያል፣ይህም መስመሩ እና አውሮፕላኑ ትይዩ መሆናቸውን ያረጋግጣል።

አሁን ይህ መስመር ትይዩ መሆኑን ወይም በአውሮፕላኑ ውስጥ እንዳለ እንፈትሽ። ይህንን ለማድረግ በመስመሩ ላይ የዘፈቀደ ነጥብ ይምረጡ እና የአውሮፕላኑ መሆን አለመሆኑን ያረጋግጡ። ለምሳሌ፣ λ=0ን እንውሰድ፣ ከዚያም ነጥቡ P(1; 0; 0) የመስመሩ ነው። በአውሮፕላኑ እኩልታ P: ይተኩ

1 - 3=-2 ≠ 0

ነጥቡ P የአውሮፕላኑ አይደለም ይህም ማለት ሙሉው መስመር በውስጡም አይተኛም ማለት ነው።

በሚታዩ ጂኦሜትሪክ ነገሮች መካከል ያሉትን ማዕዘኖች ማወቅ አስፈላጊ የሆነው የት ነው?

ከላይ ያሉት ቀመሮች እና የችግር አፈታት ምሳሌዎች የንድፈ ሃሳብ ፍላጎት ብቻ አይደሉም። ብዙውን ጊዜ እንደ ፕሪዝም ወይም ፒራሚዶች ያሉ የእውነተኛ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ አሃዞችን አስፈላጊ አካላዊ መጠኖችን ለመወሰን ያገለግላሉ። የአሃዞችን መጠኖች እና የቦታዎቻቸውን ቦታዎች ሲያሰሉ በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል መወሰን መቻል አስፈላጊ ነው. ከዚህም በላይ ቀጥ ያለ ፕሪዝም ከሆነ እነዚህን ቀመሮች ለመወሰን መጠቀም አይቻልምየተገለጹ እሴቶች፣ ከዚያ ለማንኛውም አይነት ፒራሚድ መጠቀማቸው የማይቀር ነው።

ከታች፣ የፒራሚድ አንግሎችን ካሬ መሰረት ለመወሰን ከላይ ያለውን ንድፈ ሃሳብ የመጠቀም ምሳሌን አስቡበት።

ፒራሚድ እና ማዕዘኖቹ

ከታች ያለው ምስል ፒራሚድ ያሳያል፣ ከሥሩ ደግሞ ከጎን ሀ ጋር አንድ ካሬ ይገኛል። የምስሉ ቁመት ሸ. ሁለት ማዕዘኖችን ማግኘት ያስፈልጋል፡

በጎን ወለል እና በመሠረት መካከል፤
በጎን የጎድን አጥንት እና ቤዝ መካከል።

ችግሩን ለመፍታት በመጀመሪያ ወደ መጋጠሚያ ስርዓቱ ማስገባት እና የተጓዳኙን ጫፎች መለኪያዎች መወሰን አለብዎት። ስዕሉ እንደሚያሳየው የመጋጠሚያዎች አመጣጥ በካሬው መሠረት መሃል ላይ ካለው ነጥብ ጋር ይጣጣማል። በዚህ አጋጣሚ የመሠረት አውሮፕላኑ በቀመር ይገለጻል፡

z=0

ይህም ለማንኛውም x እና y የሦስተኛው መጋጠሚያ ዋጋ ሁል ጊዜ ዜሮ ነው። የጎን አውሮፕላን ኤቢሲ የዜድ ዘንግ በነጥብ B (0; 0; h) እና y-ዘንጉ ነጥቡ ላይ መጋጠሚያዎች (0; a/2; 0) ያቋርጣል። የ x-ዘንግ አያልፍም. ይህ ማለት የኤቢሲ አውሮፕላን እኩልነት እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡-