በመስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለውን አንግል አስላ። ችግሮችን ለመፍታት ዘዴን ማስተባበር

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-02 17:40

በስቴሪዮሜትሪ ውስጥ ካሉት የተለመዱ ችግሮች አንዱ ቀጥታ መስመሮችን እና አውሮፕላኖችን የማቋረጥ እና በመካከላቸው ያሉትን ማዕዘኖች የማስላት ተግባራት ናቸው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የማስተባበር ዘዴ የሚባለውን እና በመስመሩ እና በአውሮፕላኑ መካከል ያሉትን ማዕዘኖች በዝርዝር እንመልከት።

መስመር እና አውሮፕላን በጂኦሜትሪ

የመጋጠሚያ ዘዴውን እና በመስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለውን አንግል ከማጤንዎ በፊት ከተሰየሙት የጂኦሜትሪክ ዕቃዎች ጋር መተዋወቅ አለብዎት።

አንድ መስመር በህዋ ላይ ወይም በአውሮፕላን ላይ ያሉ የነጥቦች ስብስብ ሲሆን እያንዳንዱም የቀደመውን ወደ አንድ የተወሰነ ቬክተር በቀጥታ በማስተላለፍ ማግኘት ይቻላል። በሚከተለው ውስጥ፣ ይህንን ቬክተር በ u ምልክቱ እናሳያለን። ይህ ቬክተር ከዜሮ ጋር በማይመጣጠን በማንኛውም ቁጥር ከተባዛ፣ ከ u ጋር ትይዩ የሆነ ቬክተር እናገኛለን። መስመር መስመራዊ ማለቂያ የሌለው ነገር ነው።

አይሮፕላን እንዲሁ የተቀመጡ የነጥቦች ስብስብ ነው ከነሱ የዘፈቀደ ቬክተሮችን ከፈጠሩ ሁሉም ከአንዳንድ ቬክተር ኤንጂ ጋር ይዛመዳሉ። የኋለኛው መደበኛ ወይም በቀላሉ መደበኛ ይባላል።አውሮፕላን፣ ከቀጥታ መስመር በተቃራኒ ባለ ሁለት አቅጣጫ ማለቂያ የሌለው ነገር ነው።

የጂኦሜትሪ ችግሮችን ለመፍታት የማስተባበር ዘዴ

በስልቱ ስም ላይ በመመስረት ችግሮችን ለመፍታት ዘዴ እየተነጋገርን ነው ብለን መደምደም እንችላለን ይህም የትንታኔ ተከታታይ ስሌቶች አፈፃፀም ላይ የተመሰረተ ነው. በሌላ አነጋገር፣ የማስተባበር ዘዴው ሁለንተናዊ የአልጀብራ መሳሪያዎችን በመጠቀም የጂኦሜትሪክ ችግሮችን ለመፍታት ያስችላል፣ ዋናዎቹ እኩልታዎች ናቸው።

በግምት ላይ ያለው ዘዴ በዘመናዊ ጂኦሜትሪ እና አልጀብራ መባቻ ላይ እንደነበረ ልብ ሊባል ይገባል። በ17ኛው-18ኛው መቶ ክፍለ ዘመን በሬኔ ዴካርትስ፣ ፒየር ዴ ፌርማት፣ አይዛክ ኒውተን እና ሌብኒዝ ለእድገቱ ትልቅ አስተዋፅዖ አድርገዋል።

የዘዴው ይዘት የጂኦሜትሪክ አባሎችን ርቀቶች፣ ማዕዘኖች፣ አካባቢዎች እና መጠኖች በሚታወቁ ነጥቦች መጋጠሚያዎች ላይ ማስላት ነው። የተገኘው የመጨረሻ እኩልታዎች ቅርፅ በአስተባባሪ ስርዓቱ ላይ የተመሰረተ መሆኑን ልብ ይበሉ. ብዙውን ጊዜ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የካርቴዥያ ስርዓት በችግሮች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል, ምክንያቱም አብሮ መስራት በጣም ምቹ ስለሆነ.

የመስመር እኩልታ

የመጋጠሚያ ዘዴን እና በመስመሩ እና በአውሮፕላኑ መካከል ያሉትን ማዕዘኖች ግምት ውስጥ በማስገባት የመስመሩን እኩልታ በማዘጋጀት እንጀምር። መስመሮችን በአልጀብራ መልክ ለመወከል በርካታ መንገዶች አሉ። እዚህ ላይ የቬክተር እኩልታን ብቻ ነው የምንመለከተው ምክንያቱም ከእሱ በቀላሉ በማንኛውም መልኩ ሊገኝ ስለሚችል እና ለመስራት ቀላል ነው.

ሁለት ነጥቦች እንዳሉ አድርገህ አስብ፡- P እና Q፡ በነሱ መስመር መሳል እንደሚቻል ይታወቃል።ብቸኛው ይሆናል. የንብረቱ ተጓዳኝ የሂሳብ ውክልና ይህን ይመስላል፡

(x, y, z)=P + λPQN.

PQN መጋጠሚያዎቹ በሚከተለው መልኩ የተገኙበት ቬክተር የሆነበት፡

PQN=Q - P.

ምልክቱ λ ማንኛውንም ቁጥር ሊወስድ የሚችል መለኪያን ያመለክታል።

በፅሁፍ አገላለጽ የቬክተሩን አቅጣጫ መቀየር እና እንዲሁም መጋጠሚያዎቹን Q ከነጥብ P ይልቅ መተካት ይችላሉ።

ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ አንዳንድ ጊዜ የተፃፈውን የቬክተር እኩልታ በግልፅ (ፓራሜትሪክ) መወከል እንደሚያስፈልግ ልብ ይበሉ።

አይሮፕላንን በጠፈር ማቀናበር

እንዲሁም ለቀጥታ መስመር፣ለአውሮፕላኑ በርካታ የሒሳብ እኩልታዎችም አሉ። ከነሱ መካከል, ቬክተር, እኩልታ በክፍሎች እና በአጠቃላይ ቅፅ ላይ እናስተውላለን. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ፣ ለመጨረሻው ቅጽ ልዩ ትኩረት እንሰጣለን።

የዘፈቀደ አውሮፕላን አጠቃላይ እኩልታ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡

Ax + By + Cz + D=0.

የላቲን አቢይ ሆሄያት አውሮፕላንን የሚወስኑ የተወሰኑ ቁጥሮች ናቸው።

የዚህ ማስታወሻ አመችነት ለአውሮፕላኑ መደበኛ የሆነ ቬክተር በግልፅ መያዙ ነው። እኩል ነው፡

nNG=(A, B, C)።

ይህን ቬክተር ማወቁ የአውሮፕላኑን እኩልነት በአጭሩ በመመልከት የኋለኛውን በአስተባባሪ ሲስተም ውስጥ የሚገኝበትን ቦታ ለመገመት ያስችላል።

የጋራ ዝግጅት በ ውስጥየመስመር እና የአውሮፕላን ቦታ

በጽሁፉ በሚቀጥለው አንቀጽ ወደ አስተባባሪ ዘዴ እና በመስመሩ እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለውን አንግል ግምት ውስጥ እናስገባለን። እዚህ ላይ ግምት ውስጥ የገቡት የጂኦሜትሪክ አካላት በጠፈር ውስጥ እንዴት እንደሚገኙ ለሚለው ጥያቄ መልስ እንሰጣለን. ሶስት መንገዶች አሉ፡

ቀጥታ መስመር አውሮፕላኑን ያቋርጣል። የማስተባበሪያ ዘዴውን በመጠቀም መስመሩ እና አውሮፕላኑ የሚገናኙበትን ነጥብ በየትኛው ነጥብ ላይ ማስላት ይችላሉ።
የቀጥታ መስመር አውሮፕላን ትይዩ ነው። በዚህ ሁኔታ የጂኦሜትሪክ አካላት እኩልታዎች ስርዓት ምንም መፍትሄ የለውም. ትይዩነትን ለማረጋገጥ የቀጥታ መስመር ዳይሬክተሩ ቬክተር እና የአውሮፕላኑ መደበኛው የስክላር ምርት ንብረት በአብዛኛው ጥቅም ላይ ይውላል።
አውሮፕላኑ መስመር ይዟል። በዚህ ጉዳይ ላይ የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት, ለማንኛውም የመለኪያ እሴት λ, ትክክለኛ እኩልነት ተገኝቷል ወደሚል መደምደሚያ ላይ እንደርሳለን.

በሁለተኛው እና በሶስተኛው አጋጣሚዎች በተገለጹት የጂኦሜትሪክ ነገሮች መካከል ያለው አንግል ከዜሮ ጋር እኩል ነው። በመጀመሪያው ሁኔታ፣ በ0 እና 90o. መካከል ይገኛል።

በመስመሮች እና በአውሮፕላኖች መካከል ያሉ ማዕዘኖች ስሌት

አሁን በቀጥታ ወደ መጣጥፉ ርዕስ እንሂድ። ማንኛውም የመስመር እና የአውሮፕላን መጋጠሚያ በተወሰነ ማዕዘን ላይ ይከሰታል። ይህ አንግል በራሱ ቀጥተኛ መስመር እና በአውሮፕላኑ ላይ ባለው ትንበያ የተሰራ ነው. ከየትኛውም የቀጥታ መስመር ነጥብ ወደ አውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ብሎ ከወረደ፣ ከዚያም በተገኘው የአውሮፕላኑ መገናኛ ነጥብ እና በቋሚው እና በአውሮፕላኑ መገናኛ ነጥብ እና በዋናው መስመር በኩል ከሆነ ትንበያ ሊገኝ ይችላል። ቀጥተኛ መስመር ትንበያ ይሆናል።

በመስመሮች እና በአውሮፕላኖች መካከል ያሉ ማዕዘኖችን ማስላት ከባድ ስራ አይደለም። እሱን ለመፍታት, ተዛማጅ የጂኦሜትሪክ ዕቃዎችን እኩልታዎች ማወቅ በቂ ነው. እነዚህ እኩልታዎች ይህን ይመስላሉ እንበል፡

(x, y, z)=(x₀, y₀, z_{0) + λ(a, b, c);}

Ax + By + Cz + D=0.

የሚፈለገው አንግል በቀላሉ የሚገኘው የስክላር ቬክተር ዩ እና n ንብረቱን በመጠቀም ነው። የመጨረሻው ቀመር ይህን ይመስላል፡

θ=አርክሲን(|(uḥnኤን)|/(|uቊ|| nኤን|)))።

ይህ ቀመር በመስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለው አንግል ሳይን ምልክት የተደረገባቸው የቬክተሮች የስክላር ምርት ሞጁል እና የርዝመታቸው ምርት ሬሾ ጋር እኩል ነው ይላል። ከኮሳይን ይልቅ ሳይን ለምን እንደመጣ ለመረዳት ከታች ወዳለው ምስል እንዞር።