ያልተወሰነ ውህደት። ያልተወሰነ ውህዶች ስሌት

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-15 17:20

ከማቲማቲካል ትንተና መሰረታዊ ክፍሎች አንዱ ውስጠ-ቁሳዊ ስሌት ነው። በጣም ሰፊ የሆነውን የነገሮችን መስክ ይሸፍናል, የመጀመሪያው ያልተወሰነ ውህደት ነው. በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ውስጥ እንኳን ቁጥራቸው እየጨመረ የሚሄድ አመለካከቶች እና እድሎች ከፍተኛ የሂሳብ መግለጫዎችን የሚያሳዩ እንደ ቁልፍ ማስቀመጥ ተገቢ ነው።

መልክ

በመጀመሪያው እይታ፣ ውህደቱ ሙሉ ለሙሉ ዘመናዊ፣ ተዛማጅነት ያለው ይመስላል፣ ግን በተግባር ግን ከ1800 ዓክልበ. በፊት ታየ። ቀደም ሲል የሕልውናዋ ማስረጃ ስላልደረሰን ግብፅ እንደ አገር ተቆጥራለች። እሱ፣ በመረጃ እጦት ምክንያት፣ ይህ ሁሉ ጊዜ በቀላሉ እንደ ክስተት ተቀምጧል። በእነዚያ ጊዜያት በነበሩት ህዝቦች መካከል የሳይንስ እድገት ደረጃን እንደገና አረጋግጧል. በመጨረሻም፣ ከክርስቶስ ልደት በፊት በ4ኛው ክፍለ ዘመን የነበሩ የጥንት ግሪክ የሂሳብ ሊቃውንት ሥራዎች ተገኝተዋል። ያልተወሰነ ውህድ ጥቅም ላይ የዋለበትን ዘዴ ገልፀዋል ፣ ዋናው ነገር የጠመዝማዛ ምስል መጠን ወይም ቦታ መፈለግ ነበር (ባለሶስት-ልኬት)።እና ባለ ሁለት አቅጣጫ አውሮፕላኖች). የስሌቱ መርህ የተመሰረተው ድምፃቸው (አካባቢ) አስቀድሞ የሚታወቅ ከሆነ ዋናውን ምስል ወደ ማለቂያ የሌላቸው ክፍሎች በመከፋፈል ላይ ነው። ከጊዜ በኋላ ዘዴው አድጓል, አርኪሜድስ የፓራቦላ ቦታን ለማግኘት ተጠቀመበት. ተመሳሳይ ስሌቶች በጥንቷ ቻይና ውስጥ በሳይንቲስቶች በተመሳሳይ ጊዜ ተካሂደዋል, እና ከግሪክ አቻዎቻቸው በሳይንስ ሙሉ በሙሉ ነፃ ነበሩ.

ልማት

የሚቀጥለው እመርታ በ11ኛው ክፍለ ዘመን ዓ.ም የአረብ ሳይንቲስት-"ሁለንተናዊ" አቡ አሊ አል-ባስሪ ቀድሞ ይታወቅ የነበረውን ድንበር በመግፋት ድምርን ለማስላት ዋና ላይ የተመሰረተ ቀመሮችን በማምጣት የተሰራ ስራ ነው። የረድፎች እና የኃይሎች ድምር ከመጀመሪያው እስከ አራተኛው ድረስ እኛ የምናውቀውን የሂሳብ ማስተዋወቂያ ዘዴን በመተግበር።

የዘመናችን አእምሮዎች የጥንት ግብፃውያን ምንም ልዩ መሳሪያ ሳይኖራቸው ምናልባትም እጃቸው ካልሆነ በቀር አስደናቂ የስነ-ህንፃ ሀውልቶችን እንዴት እንደፈጠሩ ያደንቃል፣ነገር ግን የዚያን ዘመን ሳይንቲስቶች አእምሮ ሃይል ተአምር አይደለምን? ከዛሬው ጋር ሲነፃፀሩ፣ ህይወታቸው ከሞላ ጎደል ጥንታዊ ይመስላል፣ ነገር ግን ላልተወሰነ ውህደቶች መፍትሄ በየቦታው የተገኘ እና በተግባር ለቀጣይ እድገት ጥቅም ላይ ይውላል።

የሚቀጥለው እርምጃ የተካሄደው በ16ኛው መቶ ክፍለ ዘመን ነው፣ ጣሊያናዊው የሂሳብ ሊቅ ካቫሊየሪ የማይነጣጠሉበትን ዘዴ በማዘጋጀት በፒየር ፌርማት የተወሰደ። በአሁኑ ጊዜ የሚታወቀው ለዘመናዊው ውህደት ስሌት መሠረት የጣሉት እነዚህ ሁለት ስብዕናዎች ናቸው። ቀደም ሲል የነበሩትን የመለየት እና የመዋሃድ ጽንሰ-ሀሳቦችን አገናኝተዋልእንደ ገለልተኛ ክፍሎች ተደርገው ይወሰዳሉ። በአጠቃላይ ፣ የእነዚያ ጊዜያት የሂሳብ ትምህርቶች የተበታተኑ ነበሩ ፣ የመደምደሚያው ቅንጣቶች ውስን ወሰን ያላቸው በራሳቸው ነበሩ ። የወቅቱ የሒሳብ ትንተና የማደግ እና የማደግ እድልን ያገኘው የዚያን ጊዜ ብቸኛው እውነተኛው የመዋሃድ እና የጋራ መፈለጊያ መንገድ ነበር።

በጊዜ ሂደት ሁሉም ነገር ተለውጧል፣የተዋሃዱ መለያን ጨምሮ። በጥቅሉ፣ ሳይንቲስቶች ይህንን በማንኛውም መንገድ አመልክተውታል፣ ለምሳሌ፣ ኒውተን ሊዋሃድ የሚችል ተግባር ያስቀመጠበት ወይም በቀላሉ ከጎኑ ያስቀመጠውን ካሬ አዶ ተጠቅሟል።

ይህ አለመመጣጠን እስከ 17ኛው መቶ ክፍለ ዘመን ድረስ ቀጠለ፣ ሳይንቲስቱ ጎትፍሪድ ሌብኒዝ፣ ለጠቅላላው የሂሳብ ትንተና ፅንሰ-ሀሳብ መለያ ምልክት ለእኛ በጣም የተለመዱትን አስተዋውቀዋል። የተራዘመው "S" የፀረ-ተውሳኮች ድምርን ስለሚያመለክት በዚህ የላቲን ፊደላት ላይ የተመሰረተ ነው. ውህደቱ ስሙን ያገኘው ከ15 ዓመታት በኋላ ለያዕቆብ በርኑሊ ነው።

መደበኛ ትርጉም

ያልተወሰነ ውህደት በቀጥታ የሚወሰነው በፀረ-ተውጣጣው ፍቺ ላይ ነው፣ስለዚህ አስቀድመን እናስበው።

አንቲደርቭቲቭ የመነጩ ተገላቢጦሽ ተግባር ነው በተግባርም ፕሪምቲቭ ይባላል። ያለበለዚያ፡ የተግባር d አንቲደርይቭቲቭ ዲ ተግባር D ሲሆን ተወላጁ ከ v V'=v ጋር እኩል ነው። ፀረ-ተውጣጣው ፍለጋው ያልተወሰነ ውህደት ስሌት ነው, እና ይህ ሂደት እራሱ ውህደት ይባላል.

ምሳሌ፡

Function s(y)=y³፣ እና ፀረ-ተውጣጣው S(y)=(y^4/4)።

በግምት ውስጥ ያሉት የተግባሩ ሁሉ ፀረ ተዋጽኦዎች ስብስብ ያልተወሰነ ውህደት ነው፣ እሱም እንደሚከተለው ይገለጻል፡ ∫v(x)dx.

V(x) ከዋናው ተግባር የተወሰነ ፀረ-ተመጣጣኝ ብቻ በመሆኑ አገላለጹ ይከናወናል፡- ∫v(x)dx=V(x) + C፣ ሐ ቋሚ የሆነበት። የዘፈቀደ ቋሚ ማንኛውም ቋሚ ነው፣ምክንያቱም ተዋጽኦው ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

ንብረቶች

ያልተወሰነ ውህደት ያለው ባህሪያቶቹ በዋናው ፍቺ እና በመነሻ ባህሪያት ላይ የተመሰረቱ ናቸው።

ቁልፍ ነጥቦችን እንይ፡

• ከፀረ-ተውሳሽ ተዋፅኦው ዋናው ፀረ-ተውሳሽ እራሱ እና የዘፈቀደ ቋሚ С ∫V'(x)dx=V(x) + C; ነው
• የተግባሩ ውህደት መነሻው የመጀመሪያው ተግባር ነው (∫v(x)dx)'=v(x);
• ቋሚው የሚወሰደው ከዋናው ምልክት ስር ነው ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx፣ k የዘፈቀደ ከሆነ፤
• ከድምሩ የተወሰደው ውህድ በተመሳሳይ መልኩ ከተዋህዶች ድምር ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.

ከመጨረሻዎቹ ሁለት ንብረቶች፣ ያልተወሰነው ውህደት መስመራዊ ነው ብለን መደምደም እንችላለን። ለዚህም ምስጋና ይግባውና፡ ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.

ለመጠናከር፣ያልተወሰነ ውህደቶችን የመፍታት ምሳሌዎችን አስቡባቸው።

ዋናውን ማግኘት ያስፈልጋል ∫(3sinx + 4cosx)dx:

∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C

ከምሳሌው የሚከተሉትን መደምደም እንችላለን፡-ያልተወሰነ ውህዶችን እንዴት እንደሚፈቱ አታውቁም? ሁሉንም ፕሪሚቲቭ ብቻ ያግኙ! ግን የፍለጋው መርሆች ከታች ይታሰባሉ።

ዘዴዎች እና ምሳሌዎች

ዋናውን ለመፍታት የሚከተሉትን ዘዴዎች መጠቀም ይችላሉ፡

• የተዘጋጀውን ጠረጴዛ ይጠቀሙ፤
• በክፍሎች የተዋሃዱ፤
• ተለዋዋጩን በመቀየር ያዋህዱ፤
• በልዩነት ምልክት በማምጣት ላይ።

ጠረጴዛዎች

ቀላሉ እና በጣም አስደሳች መንገድ። በአሁኑ ጊዜ ፣የሂሣብ ትንተና ያልተገደቡ ውህደቶች መሰረታዊ ቀመሮች የተፃፉባቸው በጣም ሰፊ ሰንጠረዦችን ይመካል። በሌላ አነጋገር፣ ከእርስዎ በፊት የተዘጋጁ አብነቶች አሉ እና ለእርስዎ፣ እነሱን ለመጠቀም ብቻ ይቀራል። መፍትሄ ያለው እያንዳንዱን ምሳሌ ከሞላ ጎደል ማግኘት የምትችልባቸው የዋና የሰንጠረዥ አቀማመጦች ዝርዝር እነሆ፡

• ∫0dy=C፣ ሲ ቋሚ የሆነበት፤
• ∫dy=y + C፣ C ቋሚ የሆነበት፤
• ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + ሲ፣ ሐ ቋሚ እና n - አንድ ያልሆነ ቁጥር፤
• ∫(1/y)dy=ln|y| + C፣ C ቋሚ የሆነበት፤
• ∫e^ydy=e^{y + C፣ ሐ ቋሚ የሆነበት፤}
• ∫k^ydy=(k^{y/ln k) + C፣ ሐ ቋሚ የሆነበት፤}
• ∫cosydy=siny + C፣ ሐ ቋሚ የሆነበት፤
• ∫sinydy=-cosy + C፣ ሐ ቋሚ የሆነበት፤
• ∫dy/cos2y=tgy + C፣ ሐ ቋሚ የሆነበት፤
• ∫dy/sin2y=-ctgy + C፣ ሐ ቋሚ የሆነበት፤
• ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C፣ ሐ ቋሚ የሆነበት፤
• ∫chydy=ዓይናፋር + ሲ፣ ሲ -ቋሚ፤
• ∫shydy=chy + C፣ ሐ ቋሚ የሆነበት።

ካስፈለገ፣ ሁለት እርምጃዎችን ይውሰዱ፣ ውህደቱን ወደ ሰንጠረዥ ቅርጽ አምጥተው በድሉ ይደሰቱ። ምሳሌ፡ ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.

በመፍትሔው መሠረት ለሠንጠረዡ ምሳሌ ኢንተክተሪዱ 5 ነጥብ እንደሚጎድለው ግልጽ ነው።እኛ ጨምረን በ1/5 በማባዛት አጠቃላይ አገላለጽ እንዳይለወጥ።

በክፍሎች ውህደት

ሁለት ተግባራትን አስቡ - z(y) እና x(y)። በጠቅላላው የትርጉም ጎራ ላይ ያለማቋረጥ የሚለያዩ መሆን አለባቸው። እንደ አንዱ ልዩነት ባህሪያት, እኛ አለን: d (xz)=xdz + zdx. ሁለቱንም የእኩልታ ክፍሎች በማዋሃድ፡- ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz. እናገኛለን።

የተገኘውን እኩልነት እንደገና ስንጽፍ የውህደት ዘዴን በክፍሎች የሚገልጽ ቀመር እናገኛለን፡ ∫zdx=zx - ∫xdz.

ለምን አስፈለገ? ነጥቡ አንዳንድ ምሳሌዎችን ማቃለል፣ ሁኔታዊ በሆነ መልኩ፣ ∫zdxን ወደ ∫xdz መቀነስ ይቻላል የኋለኛው ወደ ሠንጠረዥ ቅርጽ ከተጠጋ። እንዲሁም፣ ይህ ፎርሙላ ከአንድ ጊዜ በላይ ሊተገበር ይችላል፣ ይህም ጥሩ ውጤቶችን በማምጣት።

ያልተወሰነ ውህዶችን በዚህ መንገድ እንዴት መፍታት እንደሚቻል፡

ማስላት ያስፈልጋል ∫(ዎች + 1)e2sds

∫(x + 1)e^2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e^2s, dy=e^2xds}=((s+1)e^2s) / 2-1/2∫e^2s dx=((s+1)e^2s) / 2-e^2s/4+ C;

ማስላት ያስፈልጋል ∫lnsds

∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + ሲ.

ተለዋዋጭ ምትክ

ይህ ያልተወሰነ ውህደቶችን የመፍታት መርህ ከቀደምቶቹ ሁለቱ ፍላጎት ያነሰ አይደለም፣ ምንም እንኳን የበለጠ የተወሳሰበ ቢሆንም። ዘዴው እንደሚከተለው ነው፡ V(x) የአንዳንድ ተግባር v(x) ዋና አካል ይሁን። በምሳሌው ውስጥ ያለው ውህደት ራሱ ውስብስብ ሆኖ ከተገኘ ግራ የመጋባት እና የተሳሳተ የመፍትሄ መንገድ የመውሰድ እድሉ ከፍተኛ ነው። ይህንን ለማስቀረት ከተለዋዋጭ x ወደ z የሚደረገው ሽግግር ተግባራዊ ሲሆን አጠቃላይ አገላለጹ በምስል የቀለለ ሲሆን የz ጥገኝነት በ x.

በሂሳብ ይህን ይመስላል፡ ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y^{-1(x))፣ x=y(z) ምትክ ነው። እና፣ በእርግጥ፣ የተገላቢጦሹ ተግባር z=y}-1^{(x) የተለዋዋጮችን ጥገኝነት እና ግንኙነት ሙሉ በሙሉ ይገልጻል። ጠቃሚ ማሳሰቢያ -ልዩነት dx የግድ በአዲስ ልዩነት dz ተተክቷል፣ተለዋዋጭ ላልተወሰነ ውህድ መተካቱ የሚያመለክተው በመዋሃዱ ውስጥ ብቻ ሳይሆን በሁሉም ቦታ ነው።}

ምሳሌ፡

ማግኘት ያስፈልጋል ∫(ዎች + 1) / (s2 + 2s - 5)ds

ተተኪውን ተግብር z=(s+1)/(s2+2s-5)። ከዚያ dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2። በውጤቱም, የሚከተለውን አገላለጽ እናገኛለን, ይህም ለማስላት በጣም ቀላል ነው:

∫(s+1)/(s²+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s^2+2s-5|+C;

ዋናውን ማግኘት ያስፈልጋል∫2^se^sdx

ለመፍታት፣ አገላለጹን በሚከተለው ቅጽ እንደገና እንጽፋዋለን፡

∫2^se^sds=∫(2e)^sds.^ds

በ a=2e አመልክት (ይህ እርምጃ የክርክሩ ምትክ አይደለም፣ አሁንም s ነው)፣ ውስብስብ የሚመስለውን ውህደታችንን ወደ አንደኛ ደረጃ ሰንጠረዥ እናመጣዋለን፡

∫(2e)^sds=∫a^sds=a^s / lna + C=(2e)^s / ln(2e) + C=2^se^s / ln(2 + lne) + C=2^se^{s / (ln2 + 1) + C.}

በልዩነት ምልክት በማምጣት

በአጠቃላይ ይህ ያልተወሰነ ውህደት ዘዴ የተለዋዋጭ የለውጥ መርህ መንታ ወንድም ነው፣ነገር ግን በንድፍ ሂደት ውስጥ ልዩነቶች አሉ። ጠጋ ብለን እንመልከተው።

ከሆነ ∫v(x)dx=V(x) + C እና y=z(x)፣ ከዚያ ∫v(y)dy=V(y) + C.

በዚህ አጋጣሚ አንድ ሰው ቀላል የማይባሉትን ወሳኝ ለውጦችን መርሳት የለበትም ከነዚህም መካከል፡

• dx=d(x + a)፣ ማንኛውም ቋሚ የሆነበት፣
• dx=(1/a)d(ax + b)፣ ሀ እንደገና ቋሚ የሆነ፣ ግን ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ፣
• xdx=1/2d(x2 + b);
• sinxdx=-d(cosx);
• cosxdx=d(sinx)።

ያልተወሰነውን ውህድ ስናሰላ አጠቃላይ ሁኔታን ካጤንን፣ ምሳሌዎች በአጠቃላይ ቀመር w'(x)dx=dw(x) ስር ሊጠቃለሉ ይችላሉ።

ምሳሌዎች፡

ማግኘት ያስፈልጋል ∫(2s + 3)²ds, ds=1/2d(2s + 3)

∫(2s + 3)²ds=1/2∫(2s + 3)²d(2s + 3)=(1/2) x ((2ሰ +3)²) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)^{2 + C;}

∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.

የመስመር ላይ እገዛ

በአንዳንድ አጋጣሚዎች ስህተቱ ስንፍና ወይም አስቸኳይ ፍላጎት ሊሆን ይችላል፣የኦንላይን ምክሮችን መጠቀም ትችላለህ፣ይልቁንስ ላልተወሰነ ውህድ ካልኩሌተር ተጠቀም። ምንም እንኳን ሁሉም ግልጽ ውስብስብነት እና የመዋሃድ አለመግባባቶች ቢኖሩም, መፍትሄቸው ለተወሰነ አልጎሪዝም ተገዥ ነው, እሱም "ካልሆነ …, ከዚያም …" በሚለው መርህ ላይ የተመሰረተ ነው.

በእርግጥ እንዲህ ዓይነቱ ካልኩሌተር በተለይ ውስብስብ ምሳሌዎችን አይቆጣጠርም ምክንያቱም መፍትሄው ሰው ሰራሽ በሆነ መንገድ መፈለግ ያለበት በሂደቱ ውስጥ የተወሰኑ ንጥረ ነገሮችን "በግዳጅ" በማስተዋወቅ ውጤቱ ግልጽ በሆነ መንገድ ሊገኝ ስለማይችል ነው. መንገዶች. ምንም እንኳን የዚህ አባባል ውዝግብ ቢኖርም ፣ እውነት ነው ፣ ምክንያቱም ሂሳብ ፣ በመርህ ደረጃ ፣ ረቂቅ ሳይንስ ነው ፣ እና የእድሎችን ድንበሮች የማስፋት አስፈላጊነት እንደ ተቀዳሚ ተግባሩ ይቆጥራል። በእርግጥም ወደ ላይ መንቀሳቀስ እና ማዳበር እጅግ በጣም ከባድ ነው ፣በተለሳለሰ እና በሂደት ላይ ያሉ ንድፈ ሀሳቦችን ፣ስለዚህ እኛ የሰጠናቸው ያልተወሰነ ውህዶችን የመፍታት ምሳሌዎች የችሎታ ቁመት ናቸው ብለው ማሰብ የለብዎትም። ግን ወደ ቴክኒካል ጉዳዮቹ እንመለስ። ቢያንስ ስሌቶችን ለመፈተሽ, ከእኛ በፊት ሁሉም ነገር የተጻፈባቸውን አገልግሎቶች መጠቀም ይችላሉ. ውስብስብ አገላለጽ አውቶማቲክ ስሌት የሚያስፈልግ ከሆነ እነሱን ማሰራጨት አይችሉም ፣ ወደ ከባድ ሶፍትዌር መሄድ አለብዎት። በመጀመሪያ ደረጃ ለማትላብ አካባቢ ትኩረት መስጠት ተገቢ ነው።

መተግበሪያ

የማይታወቁ ጥረዛዎች መፍትሄ በመጀመሪያ እይታ ሙሉ ለሙሉ ከእውነታው የራቀ ይመስላል፣ ምክንያቱም ግልጽ የሆኑ የአተገባበር ቦታዎችን ለማየት አስቸጋሪ ነው። በእርግጥ, በቀጥታ በየትኛውም ቦታ ጥቅም ላይ ሊውሉ አይችሉም, ነገር ግን በተግባር ጥቅም ላይ የሚውሉ መፍትሄዎችን በማውጣት ሂደት ውስጥ እንደ አስፈላጊ መካከለኛ አካል ይቆጠራሉ. ስለዚህ፣ ውህደት ወደ መለያየት የተገላቢጦሽ ነው፣ በዚህም ምክንያት እኩልታዎችን በመፍታት ሂደት ውስጥ በንቃት ይሳተፋል።

በምላሹ እነዚህ እኩልታዎች በሜካኒካል ችግሮች መፍትሄ ላይ ቀጥተኛ ተጽእኖ ይኖራቸዋል, የትራክተሮች ስሌት እና የሙቀት መቆጣጠሪያ - በአጭሩ, የአሁኑን እና የወደፊቱን የሚቀርጹ ነገሮች ሁሉ. ከላይ የመረመርንባቸው ላልተወሰነ ውህደቶች፣ በአንደኛው እይታ ብቻ ተራ ነገር ነው፣ ምክንያቱም ከጊዜ ወደ ጊዜ አዳዲስ ግኝቶችን ለማድረግ መሰረት ነው።