ውስብስብ ቁጥሮች፡ ፍቺ እና መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-17 05:15

የኳድራቲክ እኩልታ ባህሪያትን በሚያጠናበት ጊዜ ገደብ ተቀምጧል - ከዜሮ በታች ላለ አድልዎ ምንም መፍትሄ የለም። ስለ እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ እየተነጋገርን እንደሆነ ወዲያውኑ ተገለጸ። የሒሳብ ሊቅ ጠያቂው አእምሮ ፍላጎት ይኖረዋል - ስለ እውነተኛ እሴቶች በአንቀጽ ውስጥ ያለው ምስጢር ምንድን ነው?

በጊዜ ሂደት የሒሳብ ሊቃውንት የተወሳሰቡ ቁጥሮችን ፅንሰ-ሀሳብ አስተዋውቀዋል፣እዚያም የአንደኛው ሲቀነስ የሁለተኛው ስር ሁኔታዊ እሴት እንደ አንድ ክፍል ይወሰዳል።

ታሪካዊ ዳራ

የሒሳብ ቲዎሪ ከቀላል ወደ ውስብስብ በቅደም ተከተል ያድጋል። "ውስብስብ ቁጥር" የተባለው ጽንሰ-ሐሳብ እንዴት እንደተነሳ እና ለምን እንደሚያስፈልግ እንወቅ።

ከጥንት ጀምሮ የሂሳብ መሰረቱ የተለመደው መለያ ነበር። ተመራማሪዎቹ የሚያውቁት የተፈጥሮ እሴቶችን ብቻ ነው። መደመር እና መቀነስ ቀላል ነበሩ። ኢኮኖሚያዊ ግንኙነቶች ይበልጥ እየተወሳሰቡ ሲሄዱ፣ ተመሳሳይ እሴቶችን ከመጨመር ይልቅ ማባዛትን መጠቀም ጀመረ። የተገላቢጦሽ ክወና አለ።ማባዛት - ማካፈል።

የተፈጥሮ ቁጥር ጽንሰ-ሀሳብ የሂሳብ ስራዎችን አጠቃቀም ገድቧል። የኢንቲጀር እሴቶች ስብስብ ላይ ሁሉንም የመከፋፈል ችግሮችን ለመፍታት የማይቻል ነው. ከክፍልፋዮች ጋር መሥራት መጀመሪያ ወደ ምክንያታዊ እሴቶች ጽንሰ-ሀሳብ እና ከዚያም ወደ ምክንያታዊ ያልሆኑ እሴቶች አመራ። ለምክንያታዊነት ከሆነ በመስመሩ ላይ ያለውን ነጥብ ትክክለኛ ቦታ ለማመልከት ከተቻለ ምክንያታዊ ያልሆነው እንዲህ ያለውን ነጥብ ለማመልከት የማይቻል ነው. ክፍተቱን ብቻ መገመት ይችላሉ። የምክንያታዊ እና ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ጥምረት እውነተኛ ስብስብ ፈጠረ ፣ እሱም ከተሰጠው ሚዛን ጋር እንደ አንድ የተወሰነ መስመር ሊወከል ይችላል። በመስመሩ ላይ ያለው እያንዳንዱ እርምጃ ተፈጥሯዊ ቁጥር ነው፣ እና በመካከላቸው ምክንያታዊ እና ምክንያታዊ ያልሆኑ እሴቶች አሉ።

የቲዎሬቲካል ሂሳብ ዘመን ጀምሯል። የስነ ፈለክ, ሜካኒክስ, ፊዚክስ እድገት ይበልጥ ውስብስብ የሆኑ እኩልታዎች መፍትሄ ያስፈልገዋል. በአጠቃላይ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ተገኝተዋል. ይበልጥ ውስብስብ የሆነ ኪዩቢክ ፖሊኖሚል ሲፈቱ ሳይንቲስቶች ወደ ተቃርኖ ገቡ። ከአሉታዊ የኩብ ሥር ጽንሰ-ሐሳብ ትርጉም ያለው ነው ፣ ግን ለካሬ ሥር ፣ እርግጠኛ አለመሆን ተገኝቷል። ከዚህም በላይ የኳድራቲክ እኩልታ የኩቢክ አንድ ልዩ ጉዳይ ብቻ ነው።

በ1545 ጣሊያናዊው ጄ.ካርዳኖ ምናባዊ ቁጥር የሚለውን ጽንሰ ሃሳብ ለማስተዋወቅ ሐሳብ አቀረበ።

ይህ ቁጥር የአንድ ሲቀነስ ሁለተኛው ሥር ነው። ውስብስብ ቁጥር የሚለው ቃል በመጨረሻ የተፈጠረው በታዋቂው የሒሳብ ሊቅ ጋውስ ሥራዎች ውስጥ ከሶስት መቶ ዓመታት በኋላ ብቻ ነው። ሁሉንም የአልጀብራ ህጎችን ወደ ምናባዊ ቁጥር ለማራዘም ሀሳብ አቅርቧል። ትክክለኛው መስመር ተዘርግቷል።አውሮፕላኖች. አለም ትልቅ ነች።

መሰረታዊ ጽንሰ-ሀሳቦች

በእውነተኛው ስብስብ ላይ ገደቦች ያላቸውን በርካታ ተግባራትን አስታውስ፡

• y=arcsin(x)፣ በአሉታዊ እና በአዎንታዊ 1 መካከል ይገለጻል።
• y=ln(x)፣ የአስርዮሽ ሎጋሪዝም በአዎንታዊ ነጋሪ እሴቶች ትርጉም ይሰጣል።
• square root y=√x፣ በ x ≧ 0 ብቻ ይሰላል።

በመግለጽ i=√(-1)፣ ይህን የመሰለ ፅንሰ-ሀሳብ እንደ ምናባዊ ቁጥር እናስተዋውቃቸዋለን፣ ይህ ከላይ ከተጠቀሱት ተግባራት ፍቺ ጎራ ሁሉንም ገደቦች ያስወግዳል። እንደ y=arcsin(2)፣ y=ln(-4)፣ y=√(-5) ያሉ አገላለጾች በተወሰኑ ውስብስብ ቁጥሮች ቦታ ላይ ትርጉም አላቸው።

የአልጀብራ ቅጹ z=x + i×y በእውነተኛ x እና y እሴቶች ስብስብ ላይ እና i² =-1. እንደ አገላለጽ ሊፃፍ ይችላል።

አዲሱ ፅንሰ-ሀሳብ ማንኛውንም የአልጀብራ ተግባር አጠቃቀም ላይ ያሉትን ሁሉንም ገደቦች ያስወግዳል እና በእውነተኛ እና ምናባዊ እሴቶች መጋጠሚያዎች ውስጥ የቀጥታ መስመር ግራፍ ይመስላል።

ውስብስብ አውሮፕላን

የተወሳሰቡ ቁጥሮች ጂኦሜትሪክ ቅርፅ በእይታ ብዙ ንብረቶቻቸውን እንድንወክል ያስችለናል። በ Re(z) ዘንግ ላይ ትክክለኛ x እሴቶችን ምልክት እናደርጋለን ፣ በ Im(z) - የ y ምናባዊ እሴቶች ፣ ከዚያ በአውሮፕላኑ ላይ ያለው የ z ነጥብ አስፈላጊውን ውስብስብ እሴት ያሳያል።

ትርጉሞች፡

• Re(z) - እውነተኛ ዘንግ።
• Im(z) - ማለት ምናባዊ ዘንግ ማለት ነው።
• z - የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሁኔታዊ ነጥብ።
• የቬክተሩ ርዝመት ከዜሮ እስከ z ያለው የቁጥር እሴት ይባላልሞጁል
• እውነተኛ እና ምናባዊ መጥረቢያዎች አውሮፕላኑን ወደ ሩብ ይከፍሉ። ከመጋጠሚያዎች አወንታዊ እሴት ጋር - I ሩብ. የእውነተኛው ዘንግ ክርክር ከ 0 ያነሰ ሲሆን, እና ምናባዊው ዘንግ ከ 0 - II ሩብ በላይ ነው. መጋጠሚያዎቹ አሉታዊ ሲሆኑ - III ሩብ. የመጨረሻው፣ አራተኛው ሩብ ዓመት ብዙ አዎንታዊ እውነተኛ እሴቶችን እና አሉታዊ ምናባዊ እሴቶችን ይዟል።

ስለሆነም x እና y አስተባባሪ እሴቶች ባለው አውሮፕላን ላይ አንድ ሰው ሁል ጊዜ የተወሳሰበ ቁጥርን ነጥብ በዓይነ ሕሊና ማየት ይችላል። እኔ የተዋወቀው ገጸ ባህሪ እውነተኛውን ክፍል ከምናባዊው ለመለየት ነው።

ንብረቶች

1. የምናባዊው ክርክር ዋጋ ዜሮ ሲሆን ቁጥር ብቻ እናገኛለን (z=x) እሱም በእውነተኛው ዘንግ ላይ የሚገኝ እና የእውነተኛው ስብስብ ነው።
2. ልዩ ጉዳይ የእውነተኛ ነጋሪ እሴት ዜሮ በሚሆንበት ጊዜ z=i×y የሚለው አገላለጽ በምናባዊው ዘንግ ላይ ካለው ነጥቡ ቦታ ጋር ይዛመዳል።
3. አጠቃላይ የ z=x + i×y ዜሮ ያልሆኑ እሴቶች ለነጋሪቶቹ ይሆናል። በአንድ ሩብ ውስጥ ያለውን ውስብስብ ቁጥር የሚያመለክት ነጥቡ የሚገኝበትን ቦታ ያመለክታል።

ትሪጎኖሜትሪክ ምልክት

የዋልታ መጋጠሚያ ስርዓቱን እና የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ኃጢአት እና ኮስን ትርጉም አስታውስ። በነዚህ ተግባራት እርዳታ በአውሮፕላኑ ላይ የትኛውንም ነጥብ ቦታ መግለጽ እንደሚቻል ግልጽ ነው. ይህንን ለማድረግ የዋልታ ጨረሩን ርዝመት እና ወደ ትክክለኛው ዘንግ የመዘንበሉን አንግል ማወቅ በቂ ነው።

ፍቺ። የቅጹ ∣z∣ በትሪግኖሜትሪክ ተግባራት cos(ϴ) ድምር ተባዝቶ እና ምናባዊው ክፍል i ×sin(ϴ) ትሪግኖሜትሪክ ኮምፕሌክስ ቁጥር ይባላል። እዚህ ስያሜው ወደ ትክክለኛው ዘንግ

የማዘንበል አንግል ነው።

ϴ=arg(z) እና r=∣z∣፣ የጨረር ርዝመት።

ከትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ትርጉም እና ባህሪያት፣ በጣም አስፈላጊ የሆነ የሞኢቭር ቀመር የሚከተለው ነው፡

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ))።

ይህን ቀመር በመጠቀም ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን የያዙ ብዙ የእኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት ምቹ ነው። በተለይ ወደ ስልጣን የማሳደግ ችግር በሚፈጠርበት ጊዜ።

ሞዱል እና ደረጃ

የውስብስብ ስብስብን መግለጫ ለማጠናቀቅ፣ሁለት አስፈላጊ ትርጓሜዎችን እናቀርባለን።

የፓይታጎሪያን ቲዎረምን በማወቅ የጨረራውን ርዝመት በዋልታ አስተባባሪ ስርዓት ለማስላት ቀላል ነው።

r=∣z∣=√(x² + y²)፣ ውስብስብ በሆነ ቦታ ላይ እንዲህ ያለ ምልክት "" ይባላል። ሞጁል" እና በአውሮፕላኑ ላይ ከ0 እስከ አንድ ነጥብ ያለውን ርቀት ይለያል።

ውስብስብ ምሰሶው ወደ ትክክለኛው መስመር ϴ የማዘንበል አንግል በተለምዶ ደረጃ ይባላል።

ትርጉሙ የሚያሳየው ትክክለኛ እና ምናባዊ ክፍሎቹ የሚገለጹት በሳይክል ተግባራት ነው። ማለትም፡

• x=r × cos(ϴ)፤
• y=r × sin(ϴ);

በተቃራኒው፣ ምእራፉ ከአልጀብራ እሴቶች ጋር የሚዛመደው በቀመር ነው፡

ϴ=አርክታን(x / y) + µ፣ እርማት µ የጂኦሜትሪክ ተግባራትን ወቅታዊነት ግምት ውስጥ በማስገባት አስተዋውቋል።

የኡለር ቀመር

የሂሳብ ሊቃውንት ብዙውን ጊዜ ገላጭ ፎርሙን ይጠቀማሉ። ውስብስብ የአውሮፕላን ቁጥሮች እንደ መግለጫዎች ተጽፈዋል

z=r × e^i×ϴ ፣ ይህም ከኡለር ቀመር ይከተላል።

ይህ መዝገብ ለአካላዊ መጠኖች ተግባራዊ ስሌት በስፋት ጥቅም ላይ ይውላል። በቅጹ ውስጥ የማቅረቢያ ቅጽገላጭ ውስብስብ ቁጥሮች በተለይ ለኤንጂነሪንግ ስሌቶች በጣም ምቹ ናቸው, ወረዳዎችን በ sinusoidal currents ለማስላት አስፈላጊ ሆኖ ሲገኝ እና ከተጠቀሰው ጊዜ ጋር የተግባር ውህደቶችን ዋጋ ማወቅ ያስፈልጋል. ስሌቶቹ እራሳቸው ለተለያዩ ማሽኖች እና ስልቶች ዲዛይን እንደ መሳሪያ ያገለግላሉ።

ክዋኔዎችን ይግለጹ

ቀደም ሲል እንደተገለፀው ሁሉም የአልጀብራ ህጎች ከመሰረታዊ ሒሳባዊ ተግባራት ጋር የሚሰሩት ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ነው።

የድምር ክወና

ውስብስብ እሴቶችን ሲጨምሩ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸውም ይታከላሉ።

z=z₁ + z₂ የት z₁ እና z2 _{- አጠቃላይ ውስብስብ ቁጥሮች። አገላለጹን በመቀየር፣ ቅንፎችን ከከፈትን እና ኖታውን ቀለል ካደረግን በኋላ፣ ትክክለኛውን መከራከሪያ እናገኛለን x=(x}1 _{+ x}2_{)፣ ምናባዊው መከራከሪያ y=(y 1} + y₂)።_።

በግራፉ ላይ በታዋቂው ትይዩ ህግ መሰረት የሁለት ቬክተር መጨመር ይመስላል።

የመቀነስ ተግባር

እንደ ልዩ የመደመር ጉዳይ ይቆጠራል፣ አንድ ቁጥር አዎንታዊ ሲሆን ሌላኛው ደግሞ አሉታዊ ነው፣ ማለትም በመስታወት ሩብ ውስጥ ይገኛል። አልጀብራ ማስታወሻ በእውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች መካከል ያለውን ልዩነት ይመስላል።

z=z₁ - z₂፣ ወይም የክርክርን ዋጋ ግምት ውስጥ በማስገባት ልክ ከመደመር ጋር ተመሳሳይ ነው። ክወና፣ ለትክክለኛዎቹ እሴቶች እናገኛለን x=(x₁ - x₂) እና ምናባዊ y=(y₁- y₂)።

በውስብስብ አውሮፕላን ላይ ማባዛት

ከፖሊኖሚሎች ጋር ለመስራት ህጎቹን በመጠቀም፣ ቀመሩን እናገኘዋለንውስብስብ ቁጥሮችን ለመፍታት።

አጠቃላይ የአልጀብራ ህጎችን በመከተል z=z₁×z₂፣ እያንዳንዱን ነጋሪ እሴት ይግለጹ እና ተመሳሳይ የሆኑትን ይዘርዝሩ። እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቹ እንደሚከተለው ሊፃፉ ይችላሉ፡

• x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂፣
• y=x₁ × y₂ + x₂ × y _1.

አራቢ ውስብስብ ቁጥሮችን ከተጠቀምን የበለጠ የሚያምር ይመስላል።

አገላለጹ ይህን ይመስላል፡ z=z₁ × z₂ =r₁ × e^iϴ1 × r₂ × eiϴ2^=r1 _{× r2} × e_i(^ϴ1+ϴ2).

በቀላሉ፣ ሞጁሎቹ ተባዝተው ደረጃዎቹ ተጨምረዋል።

ክፍል

የክፍፍልን አሠራር እንደ ማባዛት ተቃራኒ ስናስብ ቀላል አገላለጽ በገለጻ ምልክት እናገኛለን። እሴቱን z₁ በ z₂ ማካፈል የእነሱን ሞጁሎች እና የደረጃ ልዩነታቸውን የመከፋፈል ውጤት ነው። በመደበኛነት፣ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ገላጭ ቅርፅ ሲጠቀሙ፣ ይህን ይመስላል፡

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ^iϴ1 / r₂ × e^{i ϴ2}=r₁ / r₂ × e^{i(ϴ1-ϴ 2)}.

በአልጀብራዊ ኖታ መልክ የተወሳሰቡ አውሮፕላኖችን ቁጥሮች የመከፋፈል ስራ በትንሹ የተወሳሰበ ነው፡

z=z₁ / z_2.

ክርክሮችን በመግለጽ እና በርካታ ለውጦችን ማድረግ፣ እሴቶችን ማግኘት ቀላል ነው።x=x₁ × x₂ + y₁ × y₂ ፣ በቅደም ተከተል y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ ነገር ግን በተገለጸው ቦታ ውስጥ ይህ አገላለጽ z₂ ≠ 0 ከሆነ ይህ አገላለጽ ትርጉም ይሰጣል።

ሥሩን ያውጡ

ከላይ ያሉት ሁሉ የተወሳሰቡ የአልጀብራ ተግባራትን ሲገልጹ ሊተገበሩ ይችላሉ - ወደ የትኛውም ኃይል ከፍ በማድረግ እና በተቃራኒው - ሥሩን ማውጣት።

ወደ ኃይሉ የማሳደግ አጠቃላይ ጽንሰ-ሀሳብን በመጠቀም፣ ትርጉሙን እናገኛለን፡

zⁿ =(r × e^iϴ).

የተለመዱ ንብረቶችን በመጠቀም፣እንደገና ይፃፉ፡

zⁿ =አርⁿ × e^iϴ.

ውስብስብ ቁጥርን ወደ ሃይል ለማሳደግ የሚያስችል ቀላል ቀመር አግኝተናል።

ከዲግሪው ትርጓሜ በጣም አስፈላጊ የሆነ ውጤት እናገኛለን። የምናባዊው አሀድ እኩል ሃይል ሁሌም 1. ማንኛውም ጎዶሎ ሃይል ሁሌም -1.

ነው።

አሁን ደግሞ የተገላቢጦሹን ተግባር እናጠና - ሥሩን ማውጣት።

ለመረዳት ቀላል n=2ን እንውሰድ። በውስብስብ አውሮፕላን C ላይ ያለው የውስብስብ እሴት z ካሬ ሥረ-ወ እንደ z=± አገላለጽ ይቆጠራል፣ ለማንኛውም ትክክለኛ መከራከሪያ የበለጠ ወይም እኩል ይሆናል። ዜሮ. ለ w ≦ 0 ምንም መፍትሄ የለም።

ቀላሉን ባለአራት እኩልታ እንይ z² =1. የተወሳሰቡ የቁጥር ቀመሮችን በመጠቀም r² × e^i2ϴ =r² × e^i2ϴ=ei0^{። r}2 ^{=1 እና ϴ=0 ስለዚህ ከ 1 ጋር እኩል የሆነ ልዩ መፍትሄ እንዳለን ከመዝገቡ መረዳት ይቻላል።ነገር ግን ይህ z=-1 ለካሬ ሥር ፍቺም ይስማማል ከሚለው አስተሳሰብ ጋር ይቃረናል።}

የማናደርገውን እንወቅ። የትሪግኖሜትሪክ ምልክትን ካስታወስን, መግለጫውን ወደነበረበት እንመልሳለን - በክፍል ϴ ውስጥ በየጊዜው ለውጥ, ውስብስብ ቁጥሩ አይለወጥም. ፒ የፔሬድ እሴቱን እናሳይ፣ ከዚያ r² × e^i2ϴ =e አለንi(0+p)^{፣ ከየት 2ϴ=0 + p, or ϴ=p / 2. ስለዚህ e}i0 ^{=1 እና e}i^p/2 =-1። ሁለተኛው መፍትሔ አግኝተናል፣ ይህም ከካሬ ሥር ካለው አጠቃላይ ግንዛቤ ጋር ይዛመዳል።

ስለዚህ፣ የተወሳሰበ ቁጥር የዘፈቀደ ስር ለማግኘት፣ ሂደቱን እንከተላለን።

• አራቢ ቅጹን ይጻፉ w=∣w∣ × e^i(arg (w) + pk)፣ k የዘፈቀደ ኢንቲጀር ነው።
• የሚፈለገው ቁጥር እንዲሁ በኡለር ቅጽ z=r × e^iϴ።

ይወከላል።

• የስር ማውጣት ተግባርን አጠቃላይ ትርጉም ተጠቀም re^{i ϴ} =∣w∣ × e^{i(arg( w) + pk)}.
• ከአጠቃላይ የሞጁሎች እና የመከራከሪያዎች እኩልነት ባህሪያት rⁿ =∣w∣ እና nϴ=arg (w) + p×k. እንጽፋለን።
• የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሥር የመጨረሻ መዝገብ z=√∣w∣ × eⁱ⁽ ይገለጻል ^arg (w) + pk ^{) /} .
• ማስታወሻ። የ∣w∣ ዋጋ፣ በትርጉሙ፣አወንታዊ ትክክለኛ ቁጥር ነው፣ ስለዚህ የየትኛውም ዲግሪ ሥር ትርጉም ይሰጣል።

መስክ እና ውህደት

በማጠቃለያ፣ የተተገበሩ ችግሮችን በውስብስብ ቁጥሮች ለመፍታት ብዙም ጠቀሜታ የሌላቸውን ነገር ግን ለተጨማሪ የሂሳብ ንድፈ ሃሳብ እድገት አስፈላጊ የሆኑ ሁለት ጠቃሚ ትርጓሜዎችን እንሰጣለን።

የመደመር እና የማባዛት አገላለጾች ሜዳ ይመሰርታሉ ተብሏል ለማንኛውም ውስብስብ አውሮፕላን z:

አክሲዮኖችን ካሟሉ

1. ውስብስብ ድምር ከተወሳሰቡ የቃላቶች ቦታዎች አይቀየርም።
2. አረፍተ ነገሩ እውነት ነው - በውስብስብ አገላለጽ ማንኛውም የሁለት ቁጥሮች ድምር በእነሱ ዋጋ ሊተካ ይችላል።
3. የገለልተኛ እሴት 0 አለ ለዚህም z + 0=0 + z=z እውነት ነው።
4. ለማንኛውም z ተቃራኒ -z አለ፣በተጨማሪም ዜሮ ይሰጣል።
5. የተወሳሰቡ ሁኔታዎችን በሚቀይሩበት ጊዜ ውስብስብ ምርቱ አይለወጥም።
6. የሁለቱም ቁጥሮች ማባዛት በእነሱ ዋጋ ሊተካ ይችላል።
7. ገለልተኛ እሴት 1 አለ፣ ውስብስብ ቁጥሩን የማይለውጥ ማባዛት።
8. ለእያንዳንዱ z ≠ 0 የz^-1 ተገላቢጦሽ አለ ይህም በ1.

ይጨመራል።

9. የሁለት ቁጥሮች ድምርን በሲሶ ማባዛት እያንዳንዳቸውን በዚህ ቁጥር ማባዛትና ውጤቱን ከመደመር ጋር እኩል ነው።
10. 0 ≠ 1.

ቁጥሮቹ z₁ =x + i×y እና z₂ =x - i×y conjugate ይባላሉ።

ቲዎሬም። ለግንኙነት መግለጫው እውነት ነው፡

• የድምሩ ውህደት ከተጣመሩ ንጥረ ነገሮች ድምር ጋር እኩል ነው።
• የምርቱ ተያያዥ ነው።የጥምረቶች ውጤት።
• የግንኙነት ውህደት ከራሱ ቁጥር ጋር እኩል ነው።

በአጠቃላይ አልጀብራ እንደዚህ ያሉ ንብረቶች የመስክ አውቶሞርፊዝም ይባላሉ።

ምሳሌዎች

የተሰጡትን የተወሳሰቡ ቁጥሮች ህጎች እና ቀመሮችን በመከተል በቀላሉ ከእነሱ ጋር መስራት ይችላሉ።

ቀላል የሆኑትን ምሳሌዎችን እንመልከት።

ችግር 1. 3y +5 x i=15 - 7i ቀመርን በመጠቀም x እና yን ይወስኑ።

ውሳኔ። የተወሳሰቡ የእኩልነቶችን ፍቺ አስታውስ፣ ከዚያ 3y=15፣ 5x=-7። ስለዚህ፣ x=-7/5፣ y=5.

ተግባር 2. እሴቶቹን አስላ 2 + i²⁸ እና 1 + i¹³⁵።

ውሳኔ። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው 28 እኩል ቁጥር ነው፣ በኃይሉ ውስጥ ካለው ውስብስብ ቁጥር ፍቺ ውጤት የተነሳ i²⁸ =1 አገላለጽ 2 + i ²⁸ =3. ሁለተኛው እሴት፣ i¹³⁵ =-1፣ በመቀጠል 1 + i¹³⁵ =0.

ተግባር 3. የእሴቶቹን ምርት አስላ 2 + 5i እና 4 + 3i።

ውሳኔ። ከተወሳሰቡ ቁጥሮች ማባዛት አጠቃላይ ባህሪያት (2 + 5i) X (4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20) እናገኛለን። አዲሱ ዋጋ -7 + 26i.

ይሆናል.

ተግባር 4. የእኩልታውን ሥሮች አስላ z³ =-i.

ውሳኔ። ውስብስብ ቁጥር ለማግኘት ብዙ መንገዶች አሉ። ከሚቻሉት አንዱን እናስብ። በትርጓሜ፣ ∣ - i∣=1፣ ደረጃ ለ -i ነው -p / 4። ዋናው እኩልታ እንደ r³e^{i ተብሎ ሊጻፍ ይችላል።}3ϴ ^=e-p/4+pk^{, ከየት z=e}-p / 12 + pk/3^{፣ ለማንኛውም ኢንቲጀር k.}

የመፍትሄው ስብስብ ቅጽ አለው (e^-ip/12፣ኢ^ip/4፣ e^{i2 ገጽ/3})።

ለምን ውስብስብ ቁጥሮችን እንፈልጋለን

ታሪክ ብዙ ምሳሌዎችን ያውቃል ሳይንቲስቶች በንድፈ ሀሳብ ላይ ሲሰሩ ውጤቶቻቸውን ተግባራዊ አተገባበር እንኳን ሳያስቡ። ሒሳብ በመጀመሪያ ደረጃ የአዕምሮ ጨዋታ ነው, መንስኤ-እና-ውጤት ግንኙነቶችን በጥብቅ መከተል. ከሞላ ጎደል ሁሉም የሒሳብ ግንባታዎች የተዋሃዱ እና ልዩነቶቻቸውን እኩልታዎችን ወደ መፍታት ይቀንሳሉ ፣ እና እነዚያ ፣ በተራው ፣ ከአንዳንድ ግምታዊ ጋር ፣ የ polynomials ሥሮችን በማግኘት ይፈታሉ። እዚህ መጀመሪያ የምናገኛቸው ምናባዊ ቁጥሮች አያዎ (ፓራዶክስ) ነው።

የሳይንቲስቶች የተፈጥሮ ተመራማሪዎች፣ ሙሉ ለሙሉ ተግባራዊ ችግሮችን በመፍታት፣ ለተለያዩ እኩልታዎች መፍትሄዎችን መጠቀም፣ የሂሳብ አያዎ (ፓራዶክስ) ያገኙታል። የእነዚህ አያዎ (ፓራዶክስ) ትርጓሜ ወደ ፍጹም አስገራሚ ግኝቶች ይመራል. የኤሌክትሮማግኔቲክ ሞገዶች ጥምር ተፈጥሮ አንዱ ምሳሌ ነው። ውስብስብ ቁጥሮች ንብረታቸውን ለመረዳት ወሳኝ ሚና ይጫወታሉ።

ይህ ደግሞ በኦፕቲክስ፣ በራዲዮ ኤሌክትሮኒክስ፣ በኢነርጂ እና በሌሎች በርካታ የቴክኖሎጂ መስኮች ተግባራዊ አተገባበር አግኝቷል። ሌላ ምሳሌ፣ አካላዊ ክስተቶችን ለመረዳት በጣም ከባድ። አንቲሜትተር በብዕር ጫፍ ላይ ተንብዮ ነበር። እና ከብዙ አመታት በኋላ፣ እሱን በአካል ለማዋሃድ ሙከራዎች ጀመሩ።

በፊዚክስ ውስጥ ብቻ እንደዚህ አይነት ሁኔታዎች እንዳሉ እንዳታስብ። በሰው ሰራሽ የማሰብ ችሎታ ጥናት ወቅት በዱር አራዊት ውስጥ ፣ በማክሮ ሞለኪውሎች ውህደት ውስጥ ምንም ያነሰ አስደሳች ግኝቶች ተደርገዋል። እና ሁሉም ምስጋናዎች ናቸውየንቃተ ህሊናችን መስፋፋት፣ ከቀላል መደመር እና የተፈጥሮ እሴቶችን መቀነስ።