ብዙዎች፣ ከ"የይቻላል ቲዎሪ" ፅንሰ-ሀሳብ ጋር ፊት ለፊት የተጋፈጡ፣ ይህ በጣም ከባድ፣ በጣም የተወሳሰበ ነገር ነው ብለው በማሰብ ፈርተዋል። ግን በእውነቱ ያ ሁሉ አሳዛኝ ነገር አይደለም። ዛሬ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብን እንመለከታለን፣ የተወሰኑ ምሳሌዎችን በመጠቀም ችግሮችን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ ይወቁ።
ሳይንስ
እንደ "የይቻላል ቲዎሪ" ያለ የሂሳብ ክፍል ምን ያጠናል? የዘፈቀደ ክስተቶችን እና መጠኖችን ንድፎችን ይጠቅሳል። ለመጀመሪያ ጊዜ ሳይንቲስቶች ቁማር ሲያጠኑ በአሥራ ስምንተኛው ክፍለ ዘመን በዚህ ጉዳይ ላይ ፍላጎት ነበራቸው. የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ ክስተት ነው። በልምድ ወይም በትዝብት የተረጋገጠ ማንኛውም እውነታ ነው። ግን ልምድ ምንድን ነው? ሌላው መሠረታዊ የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ. ይህ ማለት የሁኔታዎች ስብጥር በአጋጣሚ የተፈጠረ ሳይሆን ለተወሰነ ዓላማ ነው ማለት ነው። ስለ ምልከታ ፣ እዚህ ተመራማሪው እራሱ በሙከራው ውስጥ አይሳተፍም ፣ ግን በቀላሉ ለእነዚህ ክስተቶች ምስክር ነው ፣ እሱ በምንም መንገድ እየሆነ ባለው ነገር ላይ ተጽዕኖ አያሳድርም።
ክስተቶች
የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ ክስተት መሆኑን ተምረናል ነገርግን ምደባውን አላጤንነውም። ሁሉም በሚከተሉት ምድቦች ተከፍለዋል፡
- የሚታመን።
- የማይቻል።
- በዘፈቀደ።
ምንምበተሞክሮ ሂደት ውስጥ ምን አይነት ክስተቶች እንደተስተዋሉ ወይም እንደተፈጠሩ, ሁሉም ለዚህ ምድብ ተገዢ ናቸው. ከእያንዳንዱ ዝርያ ጋር ለየብቻ ለመተዋወቅ አቅርበናል።
የተወሰነ ክስተት
ይህ ከዚህ በፊት አስፈላጊው የእርምጃዎች ስብስብ የተወሰደበት ሁኔታ ነው። ምንነቱን በተሻለ ለመረዳት ጥቂት ምሳሌዎችን መስጠት የተሻለ ነው። ፊዚክስ፣ ኬሚስትሪ፣ ኢኮኖሚክስ እና ከፍተኛ ሂሳብ በዚህ ህግ ተገዢ ናቸው። ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ እንደ አንድ የተወሰነ ክስተት ይህን የመሰለ ጠቃሚ ጽንሰ-ሐሳብ ያካትታል. አንዳንድ ምሳሌዎች እነኚሁና፡
- እንሰራለን እና ክፍያ የምናገኘው በደመወዝ መልክ ነው።
- ፈተናውን በጥሩ ሁኔታ አልፈናል፣ውድድሩን አልፈናል፣ለዚህም ወደ ትምህርት ተቋም በመግባት ሽልማት እናገኛለን።
- ብር በባንክ ውስጥ አፍስሰናል፣ ካስፈለገም እንመልሰዋለን።
እንደዚህ አይነት ክስተቶች አስተማማኝ ናቸው። ሁሉንም አስፈላጊ ሁኔታዎች ካሟላን በእርግጠኝነት የሚጠበቀውን ውጤት እናገኛለን።
የማይቻሉ ክስተቶች
አሁን የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ክፍሎችን እያጤንን ነው። ወደ ቀጣዩ የዝግጅቱ አይነት ማለትም የማይቻል ወደ ማብራርያ ለመሄድ እንመክራለን. በመጀመሪያ፣ በጣም አስፈላጊ የሆነውን ህግ እንጥቀስ - የማይቻል ክስተት የመሆን እድሉ ዜሮ ነው።
ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ ከዚህ ቃል ማፈንገጥ አይችሉም። ለማብራራት የእንደዚህ አይነት ክስተቶች ምሳሌዎች እነሆ፡
- ውሃ በአስር ሲደመር (ይህ የማይቻል ነው።)
- የኤሌትሪክ እጦት ምርትን በምንም መልኩ አይጎዳውም (ልክ እንደ ቀደመው ምሳሌ የማይቻል)።
ተጨማሪ ምሳሌዎችከላይ የተገለጹት የዚህን ምድብ ፍሬ ነገር በግልፅ ስለሚያንፀባርቁ መጥቀስ ተገቢ አይደለም. የማይቻል ክስተት በማንኛውም ሁኔታ በተሞክሮ ጊዜ አይከሰትም።
የዘፈቀደ ክስተቶች
የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አካላትን በማጥናት ለዚህ ዓይነቱ ክስተት ልዩ ትኩረት ሊሰጠው ይገባል። ሳይንስ የሚያጠናው ይህንኑ ነው። በተሞክሮ ምክንያት የሆነ ነገር ሊከሰትም ላይሆንም ይችላል። በተጨማሪም, ፈተናው ያልተገደበ ቁጥር ሊደገም ይችላል. ግልጽ ምሳሌዎች፡
ናቸው።
- ሳንቲም መጣል ልምድ ነው፣ወይም ፈተና፣ ርዕስ መምራት ክስተት ነው።
- በጭፍን ኳስ ከቦርሳ ማውጣት ፈተና ነው፣ቀይ ኳስ መያዙ ክስተት ነው እና ሌሎችም።
የእነዚህ ምሳሌዎች ያልተገደበ ቁጥር ሊኖሩ ይችላሉ፣ነገር ግን፣ በአጠቃላይ፣ ዋናው ነገር ግልጽ መሆን አለበት። ስለ ክስተቶች የተገኘውን እውቀት ለማጠቃለል እና ለማደራጀት, ሰንጠረዥ ተሰጥቷል. የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ጥናት የቀረቡት የሁሉም የመጨረሻ አይነት ብቻ ነው።
| ርዕስ | ፍቺ | ምሳሌ |
| አስተማማኝ | ክስተቶች ከ100% ዋስትና ጋር በተወሰኑ ሁኔታዎች። | ጥሩ የመግቢያ ፈተና ወዳለው የትምህርት ተቋም መግባት። |
| የማይቻል | በምንም አይነት ሁኔታ የማይከሰቱ ክስተቶች። | በሰላሳ ዲግሪ ሴልሺየስ የሙቀት መጠን በረዶ እየጣለ ነው። |
| በዘፈቀደ | በሙከራ/በሙከራ ጊዜ ሊከሰት ወይም ላይሆን የሚችል ክስተት። | የቅርጫት ኳስ ወደ ሜዳ ሲወረውሩ ይምቱ ወይም አያምልጥዎ። |
ህጎች
የይቻላል ቲዎሪ ክስተት የመከሰት እድልን የሚያጠና ሳይንስ ነው። እንደ ሌሎቹ, አንዳንድ ደንቦች አሉት. የሚከተሉት የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ህጎች አሉ፡
- የነሲብ ተለዋዋጮች ተከታታይ ውህደት።
- የብዙ ቁጥር ህግ።
ውስብስብ የመሆን እድልን ሲያሰሉ ውስብስብ ቀላል ክስተቶችን በመጠቀም ውጤቱን ቀላል እና ፈጣን በሆነ መንገድ መጠቀም ይችላሉ። የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ሕጎች በቀላሉ በአንዳንድ ንድፈ ሐሳቦች እርዳታ እንደሚረጋገጡ ልብ ይበሉ. በመጀመሪያው ህግ እንጀምር።
የነሲብ ተለዋዋጮች ተከታታይ ውህደት
በርካታ የመገጣጠም ዓይነቶች እንዳሉ ልብ ይበሉ፡
- የነሲብ ተለዋዋጮች ቅደም ተከተል በይበልጥ ይሰበሰባል።
- የማይቻል ነው።
- አርኤምኤስ ውህደት።
- በስርጭት ላይ ያለው ውህደት።
ስለዚህ፣ በመብረር ላይ፣ ወደ ታችኛው ክፍል ለመድረስ በጣም ከባድ ነው። ይህንን ርዕስ ለመረዳት አንዳንድ ትርጓሜዎች እዚህ አሉ። በመጀመሪያ እይታ እንጀምር. የሚከተለው ሁኔታ ከተሟላ በቅደም ተከተል convergent ይባላል፡ n ወደ ወሰን አልባነት ያቀናል፣ ቅደም ተከተል ያለው ቁጥር ከዜሮ የሚበልጥ እና ወደ አንድ ይጠጋል።
ወደ ቀጣዩ እይታ እንሄዳለን፣ በእርግጠኝነት ማለት ይቻላል። እንዲህ ይላሉቅደም ተከተላቸው ከሞላ ጎደል ወደ አንድ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ከ n ወደ ማይታወቅ እና P ወደ አንድ የሚጠጋ እሴት ጋር ይሰበሰባል።
የሚቀጥለው አይነት ስርወ-አማካኝ-ስኩዌር ውህደት ነው። SC-convergenceን በሚጠቀሙበት ጊዜ የቬክተር የዘፈቀደ ሂደቶች ጥናት ወደ የተቀናጁ የዘፈቀደ ሂደቶቻቸው ጥናት ይቀንሳል።
የመጨረሻው አይነት ቀርቷል፣ችግሮችን ለመፍታት በቀጥታ ለመቀጠል በአጭሩ እንመልከተው። የስርጭት ውህደት ሌላ ስም አለው - "ደካማ", ለምን እንደሆነ ከዚህ በታች እናብራራለን. ደካማ መገጣጠም በሁሉም የገደብ ስርጭት ተግባር ቀጣይነት ነጥቦች ላይ የማከፋፈያ ተግባራት መገጣጠም ነው።
የተስፋውን ቃል መፈጸምዎን እርግጠኛ ይሁኑ፡ ደካማ ውህደቱ ከላይ ከተጠቀሱት ሁሉ ይለያል ምክንያቱም የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በይሆናል ቦታ ላይ አለመገለጹ። ይህ ሊሆን የቻለው ሁኔታው የስርጭት ተግባራትን በመጠቀም ብቻ ስለተፈጠረ ነው።
የትልቅ ቁጥሮች ህግ
ይህን ህግ የሚያረጋግጡ በጣም ጥሩ ረዳቶች እንደ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ንድፈ ሃሳቦች ይሆናሉ፣ ለምሳሌ፡
- የቼቢሼቭ እኩልነት።
- የቼቢሼቭ ቲዎሪ።
- የአጠቃላይ የ Chebyshev ቲዎሬም።
- የማርኮቭ ቲዎሪ።
እነዚህን ሁሉ ንድፈ ሃሳቦች ከተመለከትን ይህ ጥያቄ ለብዙ ደርዘን ሉሆች ሊጎተት ይችላል። ዋናው ተግባራችን የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሃሳብን በተግባር ላይ ማዋል ነው። አሁኑኑ እንዲያደርጉት እንጋብዝዎታለን። ከዚያ በፊት ግን የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አክሲሞችን እናስብ፣ ችግሮችን ለመፍታት ዋና ረዳቶች ይሆናሉ።
Axioms
የመጀመሪያውን ያገኘነው ስለ የማይቻል ክስተት ስንነጋገር ነው። እናስታውስ፡ የማይቻል ክስተት የመሆን እድሉ ዜሮ ነው። በጣም ግልጽ እና የማይረሳ ምሳሌ ሰጥተናል፡ በሠላሳ ዲግሪ ሴልሺየስ የአየር ሙቀት በረዶ ወረደ።
ሁለተኛው እንደዚህ ይመስላል፡- አስተማማኝ ክስተት ከአንድ እኩል እድል ጋር ይከሰታል። አሁን የሂሳብ ቋንቋን በመጠቀም እንዴት እንደሚፃፍ እናሳይ፡- P(B)=1.
ሦስተኛ፡ የዘፈቀደ ክስተት ሊከሰትም ላይሆንም ይችላል፣ነገር ግን ዕድሉ ሁልጊዜ ከዜሮ ወደ አንድ ይደርሳል። እሴቱ ወደ አንድ ሲጠጋ እድሉ ይጨምራል; እሴቱ ወደ ዜሮ ከተቃረበ, እድሉ በጣም ዝቅተኛ ነው. ይህንን በሂሳብ ቋንቋ እንፃፍ፡ 0<Р(С)<1.
የመጨረሻውን፣ አራተኛውን አክሱም እናስብ፣ እሱም ይህን ይመስላል፡ የሁለት ክስተቶች ድምር እድላቸው ከችሎታቸው ድምር ጋር እኩል ነው። እኛ የምንጽፈው በሒሳብ ቋንቋ፡ P (A + B) u003d P (A) + P (B)።
የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አክሲሞች ለማስታወስ ቀላል የሆኑት ቀላሉ ህጎች ናቸው። ባገኘነው እውቀት መሰረት አንዳንድ ችግሮችን ለመፍታት እንሞክር።
የሎተሪ ቲኬት
መጀመሪያ፣ ቀላሉን ምሳሌ አስቡበት - ሎተሪው። ለመልካም እድል አንድ የሎተሪ ቲኬት እንደገዛህ አድርገህ አስብ። ቢያንስ ሃያ ሩብልስ የማሸነፍ ዕድሉ ምን ያህል ነው? በአጠቃላይ አንድ ሺህ ቲኬቶች በስርጭት ውስጥ ይሳተፋሉ, ከነዚህም አንዱ የአምስት መቶ ሩብሎች, ከአንድ መቶ ሩብሎች አሥር, ከሃምሳ ሃያ ሩብሎች እና አንድ መቶ አምስት ሽልማት አለው. በፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ውስጥ ያሉ ችግሮች እድሉን በማግኘት ላይ የተመሰረቱ ናቸውመልካም ምኞት. አሁን አንድ ላይ ከላይ የቀረበውን ተግባር መፍትሄ እንመረምራለን ።
በ ፊደል ሀ የአምስት መቶ ሩብል አሸናፊነትን ከገለፅን የማግኘት እድሉ 0.001 ይሆናል።እንዴት አገኘነው? የ"እድለኞች" ቲኬቶችን ቁጥር በጠቅላላ ቁጥራቸው ማካፈል ብቻ ያስፈልግዎታል (በዚህ ሁኔታ፡ 1/1000)።
B የአንድ መቶ ሩብሎች አሸናፊ ነው ፣ እድሉ 0.01 ይሆናል ። አሁን እኛ በቀደመው ተግባር (10/1000) ተመሳሳይ መርህ መሰረት ሠርተናል ።
C - አሸናፊዎቹ ከሃያ ሩብልስ ጋር እኩል ናቸው። እድሉን አግኝ፣ 0.05 እኩል ነው።
የተቀሩት ቲኬቶች ለእኛ ምንም ፍላጎት የላቸውም፣ ምክንያቱም የሽልማት ፈንድ በሁኔታው ከተገለፀው ያነሰ ነው። አራተኛውን አክሱም እንተገብረው፡ ቢያንስ ሃያ ሩብል የማሸነፍ እድሉ P(A)+P(B)+P(C) ነው። ፊደሉ ፒ የዚህ ክስተት የመከሰት እድልን ያመለክታል, ቀደም ባሉት ደረጃዎች ውስጥ አግኝተናል. አስፈላጊውን መረጃ ለመጨመር ብቻ ይቀራል, በመልሱ ውስጥ 0, 061 እናገኛለን. ይህ ቁጥር የምደባው ጥያቄ መልስ ይሆናል.
የካርድ ወለል
የይቻላል ቲዎሪ ችግሮች የበለጠ ውስብስብ ሊሆኑ ይችላሉ፣ ለምሳሌ የሚከተለውን ተግባር ይውሰዱ። ከአንተ በፊት የሠላሳ ስድስት ካርዶች ወለል አለ. የእርስዎ ተግባር ክምርን ሳይቀላቀሉ ሁለት ካርዶችን በተከታታይ መሳል ነው, የመጀመሪያው እና ሁለተኛ ካርዶች አሴስ መሆን አለባቸው, ጉዳዩ ምንም አይደለም.
በመጀመሪያ፣ የመጀመሪያው ካርድ ኤሴ የመሆን እድሉን እንፈልግ፣ ለዚህም አራት ለሰላሳ ስድስት እናካፍላለን። ወደ ጎን አስቀመጡት። ሁለተኛውን ካርድ እናወጣለን, ሶስት ሠላሳ አምስተኛ ሊሆን የሚችል ኤሲ ይሆናል. የሁለተኛው ክስተት ዕድል በመጀመሪያ በየትኛው ካርድ እንደተሳልን ይወሰናል, እኛ ፍላጎት አለንኤሲ ነበር ወይስ አይደለም. ይህ ክስተት B በክስተት A ላይ ይወሰናል።
የሚቀጥለው እርምጃ በአንድ ጊዜ የመተግበር እድሎችን መፈለግ ነው ፣ ማለትም ፣ ሀ እና ለ እናባዛቸዋለን ። ምርታቸው እንደሚከተለው ይገኛል-የአንድ ክስተት ዕድል በሌላ ሁኔታዊ ዕድል ተባዝቷል ፣ እኛ እናሰላለን። የመጀመሪያው ክስተት እንደተከሰተ በማሰብ ማለትም በመጀመሪያው ካርድ አሴን ሳብን።
ሁሉንም ነገር ግልጽ ለማድረግ፣ ለእንዲህ ዓይነቱ አካል እንደ የክስተቱ ሁኔታዊ ዕድል መለያ እንስጥ። ክስተት ሀ እንደተከሰተ በማሰብ ይሰላል። እንደሚከተለው ይሰላል፡ P(B/A)።
ችግራችንን መፍታት ቀጥል፡ P(AB)=P(A)P(B/A) ወይም P (አB)=P(B)P(A/B)። ፕሮባቢሊቲው (4/36)((3/35)/(4/36) ነው። ወደ መቶኛ በማጠጋጋት አስላ። እኛ አለን: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. ሁለት አሴዎችን በተከታታይ የመሳል እድላችን ዘጠኝ መቶኛ ነው። እሴቱ በጣም ትንሽ ነው፣ከዚህም ተከትሎ የክስተቱ የመከሰት እድሉ እጅግ በጣም ትንሽ ነው።
የተረሳ ቁጥር
በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ለሚጠኑ ተግባራት ጥቂት ተጨማሪ አማራጮችን ለመተንተን ሀሳብ አቅርበናል። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ አንዳንዶቹን የመፍታት ምሳሌዎችን አስቀድመው አይተሃል, የሚከተለውን ችግር ለመፍታት እንሞክር: ልጁ የጓደኛውን የስልክ ቁጥር የመጨረሻውን አሃዝ ረሳው, ነገር ግን ጥሪው በጣም አስፈላጊ ስለሆነ ሁሉንም ነገር በተራው መደወል ጀመረ. ከሶስት እጥፍ ያልበለጠ የመደወል እድልን ማስላት ያስፈልገናል. የችግሩ መፍትሄ በጣም ቀላል የሆነው የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ህጎች፣ህጎች እና አክሶሞች የሚታወቁ ከሆነ ነው።
ከማየትዎ በፊትመፍትሄ, እራስዎን ለመፍታት ይሞክሩ. የመጨረሻው አሃዝ ከዜሮ ወደ ዘጠኝ ሊሆን እንደሚችል እናውቃለን, ማለትም በአጠቃላይ አሥር እሴቶች አሉ. ትክክለኛውን የማግኘት እድሉ 1/10 ነው።
በመቀጠል ለክስተቱ አመጣጥ አማራጮችን ማጤን አለብን፣ልጁ በትክክል ገምቶ ወዲያውኑ ትክክለኛውን ውጤት አስመዝግቦ ከሆነ፣እንዲህ ያለ ክስተት የመሆን እድሉ 1/10 ነው። ሁለተኛው አማራጭ፡ የመጀመሪያው ጥሪ መቅረት ነው፣ ሁለተኛው ደግሞ ዒላማው ላይ ነው። የእንደዚህ አይነት ክስተት እድልን እናሰላለን: 9/10 በ 1/9 ማባዛት, በውጤቱም 1/10 እናገኛለን. ሦስተኛው አማራጭ የመጀመሪያው እና ሁለተኛ ጥሪው የተሳሳተ አድራሻ ሆኖ ተገኝቷል ፣ ከሦስተኛው ብቻ ልጁ ወደፈለገበት ቦታ ደረሰ። የእንደዚህ አይነት ክስተት እድልን እናሰላለን: 9/10 በ 8/9 እና በ 1/8 እናባዛለን, በውጤቱም 1/10 እናገኛለን. እንደ ችግሩ ሁኔታ ሌሎች አማራጮች ላይ ፍላጎት የለንም, ስለዚህ ውጤቱን ለመደመር ይቀራል, በዚህም ምክንያት 3/10 አለን. መልስ፡ ልጁ ከሶስት ጊዜ የማይበልጥ የመደወል እድሉ 0.3 ነው።
ከቁጥሮች ጋር ካርዶች
ከፊት ለፊትዎ ዘጠኝ ካርዶች አሉ በእያንዳንዳቸው ላይ ከአንድ እስከ ዘጠኝ ያለው ቁጥር የተጻፈባቸው ቁጥሮች አይደጋገሙም. በሳጥን ውስጥ ተቀምጠዋል እና በደንብ ተቀላቅለዋል. የ
እድል ማስላት አለቦት
- አንድ እኩል ቁጥር ይመጣል፤
- ባለሁለት-አሃዝ።
ወደ መፍትሄው ከመቀጠላችን በፊት m የተሳካላቸው ጉዳዮች ብዛት እና n አጠቃላይ የአማራጭ ቁጥር መሆኑን እንገልፃለን። ቁጥሩ እኩል የመሆኑን እድል ይፈልጉ። አራት እኩል ቁጥሮች እንዳሉ ለማስላት አስቸጋሪ አይሆንም, ይህ የእኛ m ይሆናል, በአጠቃላይ ዘጠኝ አማራጮች አሉ, ማለትም m=9. ከዚያም ዕድሉ0፣ 44 ወይም 4/9 እኩል ነው።
ሁለተኛውን ጉዳይ አስቡ፡ የአማራጮች ቁጥር ዘጠኝ ነው፣ እና ምንም አይነት የተሳካ ውጤት ሊኖር አይችልም ማለትም m ከዜሮ ጋር እኩል ነው። የተሳለው ካርዱ ባለ ሁለት አሃዝ ቁጥር የመያዙ እድሉ ዜሮ ነው።
