Logarithms፡ ምሳሌዎች እና መፍትሄዎች

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-02 17:40

እንደምታውቁት አገላለጾችን ከሀይሎች ጋር ሲያባዙ፣ ገላጭዎቻቸው ሁል ጊዜ ይጨምራሉ (a^ba^c=a^{b+ c)። ይህ የሂሳብ ህግ በአርኪሜዲስ የተገኘ ሲሆን በኋላም በ 8 ኛው ክፍለ ዘመን የሂሳብ ሊቅ ቪራሰን የኢንቲጀር አመልካቾችን ሰንጠረዥ ፈጠረ. ሎጋሪዝምን የበለጠ ለማግኘት ያገለገሉት እነሱ ነበሩ። ይህን ተግባር የመጠቀም ምሳሌዎች በቀላሉ መደመርን ለማቃለል በሚያስፈልግበት ቦታ ሁሉ ሊገኙ ይችላሉ። ይህን ጽሑፍ በማንበብ 10 ደቂቃዎችን ካሳለፉ, ሎጋሪዝም ምን እንደሆኑ እና ከእነሱ ጋር እንዴት እንደሚሠሩ እንገልፃለን. ቀላል እና ተደራሽ ቋንቋ።}

ፍቺ በሂሳብ

ሎጋሪዝም የሚከተለው ቅጽ መግለጫ ነው፡ log_ab=c c" በመጨረሻ ዋጋውን ለማግኘት "a"ን ከፍ ማድረግ ያስፈልግዎታል ለ" ምሳሌዎችን በመጠቀም ሎጋሪዝምን እንመርምር፣ የገለፃ መዝገብ አለ እንበል_{28። መልሱን እንዴት ማግኘት ይቻላል? በጣም ቀላል ነው, እንደዚህ አይነት ዲግሪ ማግኘት አለብዎት ከ 2 ወደ ተፈላጊው ዲግሪ 8. በአዕምሮዎ ውስጥ አንዳንድ ስሌቶችን ካደረጉ በኋላ, ቁጥር 3 እናገኛለን! እና እውነት ነው, ምክንያቱም2 ወደ 3 ኃይል ተነስቷል 8.መልሱን ይሰጣል}

የሎጋሪዝም ዓይነቶች

ለብዙ ተማሪዎች እና ተማሪዎች ይህ ርዕስ የተወሳሰበ እና ለመረዳት የሚያስቸግር ይመስላል፣ ግን እንደ እውነቱ ከሆነ ሎጋሪዝም በጣም አስፈሪ አይደለም፣ ዋናው ነገር አጠቃላይ ትርጉማቸውን መረዳት እና ንብረቶቻቸውን እና አንዳንድ ህጎችን ማስታወስ ነው። ሶስት የተለያዩ የሎጋሪዝም አገላለጾች አሉ፡

1. Natural Logarithm ln a፣ እዚያም የኡለር ቁጥር (e=2፣ 7) ነው።
2. የአስርዮሽ ሎጋሪዝም lg a፣መሰረዙ ቁጥር 10 በሆነበት።
3. ሎጋሪዝም የማንኛውም ቁጥር ለ a>1 መሠረት።

እያንዳንዳቸው መደበኛ በሆነ መንገድ ይፈታሉ፣የሎጋሪዝም ንድፈ ሃሳቦችን በመጠቀም ማቅለል፣መቀነስ እና በመቀጠል ወደ አንድ ሎጋሪዝም መቀነስን ጨምሮ። የሎጋሪዝም ትክክለኛ እሴቶችን ለማግኘት አንድ ሰው ንብረታቸውን እና እነሱን ለመፍታት የእርምጃዎችን ቅደም ተከተል ማስታወስ ይኖርበታል።

ህጎች እና አንዳንድ ገደቦች

በሂሳብ ውስጥ፣ እንደ አክሲየም የሚቀበሉ በርካታ ሕጎች-ገደቦች አሉ፣ ማለትም፣ ለድርድር የማይችሉ እና እውነት ናቸው። ለምሳሌ፣ ቁጥሮችን በዜሮ መከፋፈል አይቻልም፣ እና ከአሉታዊ ቁጥሮችም እኩል የሆነ ሥር መውሰድ አይቻልም። ሎጋሪዝምም የራሳቸው ህግጋት አሏቸው፣ከዚህ በመቀጠል ረጅም እና አቅም ባላቸው የሎጋሪዝም አገላለጾች እንዴት መስራት እንደሚችሉ በቀላሉ መማር ይችላሉ፡

• የ"a" መሰረት ምንጊዜም ከዜሮ በላይ መሆን አለበት እና በተመሳሳይ ጊዜ ከ 1 ጋር እኩል መሆን የለበትም አለበለዚያ አገላለጹ ትርጉሙን ያጣል ምክንያቱም "1" እና "0" በማንኛውም ዲግሪ ሁልጊዜ ናቸው. ከእሴቶቻቸው ጋር እኩል ነው፤
• ከሆነ > 0፣ ከዚያ ab>0፣"ሐ" ከዜሮ በላይ መሆን እንዳለበትም ለማወቅ ተችሏል።

ሎጋሪዝምን እንዴት መፍታት ይቻላል?

ለምሳሌ፣ 10^x=100 መልሱን ለማግኘት ከተሰጠው ተግባር። በጣም ቀላል ነው፣ እንደዚህ አይነት ሃይል መምረጥ ያስፈልግዎታል፣ አስር ቁጥርን ከፍ በማድረግ፣ እኛ ማግኘት 100. ይህ, እርግጥ ነው, quadratic ኃይል! 10^2=100።

አሁን ይህን አገላለጽ እንደ ሎጋሪዝም እንወክለው። ሎግ _{10100=2. ሎጋሪዝምን በሚፈታበት ጊዜ ሁሉም ድርጊቶች በተጨባጭ አንድ ላይ ሆነው የተሰጠውን ቁጥር ለማግኘት የሎጋሪዝም መሰረት ማስገባት ያለበትን ሃይል ለማግኘት ይጣመራሉ።}

የማይታወቅ ዲግሪ ዋጋን በትክክል ለመወሰን ከዲግሪ ሠንጠረዥ ጋር እንዴት እንደሚሰራ መማር ያስፈልግዎታል። ይህን ይመስላል፡

እንደምታየው፣ አንዳንድ ገላቢዎች ቴክኒካል አስተሳሰብ እና የማባዛት ሰንጠረዥ እውቀት ካሎት በማስተዋል ሊገመቱ ይችላሉ። ይሁን እንጂ ትላልቅ እሴቶች የኃይል ጠረጴዛ ያስፈልጋቸዋል. ውስብስብ በሆኑ የሂሳብ ርእሶች ውስጥ ምንም ነገር በማይረዱት እንኳን ሊጠቀሙበት ይችላሉ። የግራ ዓምድ ቁጥሮች (ቤዝ a) ይዟል, የቁጥሮች የላይኛው ረድፍ የኃይል ሐ እሴት ነው, ይህም ቁጥር a ይነሳል. በመስቀለኛ መንገድ፣ ሴሎቹ መልሱ የሆኑትን የቁጥሮችን ዋጋ ይገልፃሉ (ac=b)። ለምሳሌ የመጀመሪያውን ቁጥር 10 ያለውን ሴል እንውሰድ እና ስኩዌር ያድርጉት 100 እሴት እናገኛለን ይህም በሁለቱ ህዋሳችን መገናኛ ላይ ነው. ሁሉም ነገር በጣም ቀላል እና ቀላል ስለሆነ በጣም ትክክለኛ የሰው ልጅ እንኳን የሚረዳው!

እኩልታዎች እና አለመመጣጠን

መቼ ነው የሚሆነውበአንዳንድ ሁኔታዎች አርቢው ሎጋሪዝም ነው። ስለዚህ, ማንኛውም የሂሳብ አሃዛዊ መግለጫዎች እንደ ሎጋሪዝም እኩልነት ሊጻፉ ይችላሉ. ለምሳሌ 3⁴=81 እንደ ሎጋሪዝም ከ81 እስከ ቤዝ 3 ሊጻፍ ይችላል ይህም አራት ነው (ሎግ₃81=4)። ለአሉታዊ ዲግሪዎች ህጎቹ አንድ ናቸው፡ 2^-5=1/32 እንደ ሎጋሪዝም የተፃፈ ሎግ _{2 (1/32) እናገኛለን።)=-5 ። በጣም ከሚያስደንቁ የሂሳብ ክፍሎች አንዱ የ "ሎጋሪዝም" ርዕስ ነው. የእኩልታዎች ምሳሌዎችን እና መፍትሄዎችን በትንሹ ዝቅ እናደርጋለን ፣ ንብረታቸውን ካጠናን በኋላ ወዲያውኑ። ለአሁን፣ አለመመጣጠኖች ምን እንደሚመስሉ እና ከእኩልታ እንዴት እንደምንለይ እንይ።}

የሚከተለው አገላለጽ ተሰጥቷል፡ ሎግ_{2(x-1) > 3 - ያልታወቀ ዋጋ "x" በ ምልክት ስር ስለሆነ የሎጋሪዝም አለመመጣጠን ነው። ሎጋሪዝም አገላለጹ ሁለት እሴቶችንም ያወዳድራል፡ የሚፈለገው ቁጥር መነሻው ሁለት ሎጋሪዝም ከቁጥር ሶስት ይበልጣል።}

በሎጋሪዝም እኩልታዎች እና አለመመጣጠን መካከል ያለው በጣም አስፈላጊው ልዩነት ከሎጋሪዝም ጋር እኩልታዎች (ለምሳሌ - ሎጋሪዝም₂x=√9)_{ያመለክታሉ። በመልሱ አንድ ወይም ከዚያ በላይ የተወሰኑ የቁጥር እሴቶች ፣ እኩልነት በሚፈታበት ጊዜ ሁለቱም ተቀባይነት ያላቸው እሴቶች እና የዚህ ተግባር መግቻ ነጥቦች ይወሰናሉ። በውጤቱም ፣ መልሱ እንደ ቀመርው መልስ ቀላል የግለሰብ ቁጥሮች ስብስብ አይደለም ፣ ግን ተከታታይ ተከታታይ ወይም የቁጥሮች ስብስብ።}

መሰረታዊ ንድፈ ሃሳቦች በሎጋሪዝም ላይ

የሎጋሪዝም እሴቶችን ለማግኘት ቀዳሚ ተግባራትን ሲፈቱ ንብረቶቹን ላያውቁ ይችላሉ። ነገር ግን, ወደ ሎጋሪዝም እኩልነት ወይም እኩልነት ሲመጣ, በመጀመሪያ, ሁሉንም የሎጋሪዝም መሰረታዊ ባህሪያት በግልፅ መረዳት እና በተግባር ላይ ማዋል አስፈላጊ ነው. የእኩልታዎች ምሳሌዎችን በኋላ እናውቃቸዋለን፣ መጀመሪያ እያንዳንዱን ንብረት በበለጠ ዝርዝር እንመርምር።

1. መሰረታዊ ማንነት ይህን ይመስላል፡ alogaB=B. የሚተገበረው ሀ ከ0 በላይ ከሆነ፣ ከአንድ እኩል ካልሆነ እና B ከዜሮ በላይ ከሆነ ብቻ ነው።
2. የምርቱ ሎጋሪዝም በሚከተለው ቀመር ሊወከል ይችላል፡ log_d(s₁s_{2)=መዝገብ}d_s1 _{+ ሎግ}d_s2። _{በዚህ ሁኔታ የግዴታ ሁኔታው፡- d,s}1 _{እና s}2 _{> 0; a≠1. ለዚህ የሎጋሪዝም ቀመር ማስረጃዎችን በምሳሌዎች እና መፍትሄ መስጠት ይችላሉ. ይመዝገቡ}a_s1 _=f1 _{እና ይመዝገቡ}a_{s ይመዝገቡ።} 2_=f2_{፣ ከዚያ አ}f1^=s1_{፣ a} f2^=s2። _{እኛ s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(የዲግሪ ንብረቶች)፣ እና በተጨማሪ በትርጉሙ፡ ሎግ}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=ሎግ a_{s1 + log}a_s2፣ _{የተረጋገጠ።}
3. የዋጋው ሎጋሪዝም ይህን ይመስላል፡ log_a(s_1/s₂)=መዝገብ _as₁- log_as_2።
4. በቀመር መልክ ያለው ቲዎሬም የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል፡ ሎግ_a^qbⁿ =n/q log_ab.

ይህ ቀመር "የሎጋሪዝም ደረጃ ንብረት" ይባላል። እሱ ከተራ ዲግሪዎች ባህሪያት ጋር ይመሳሰላል, እና ምንም አያስገርምም, ምክንያቱም ሁሉም የሂሳብ ትምህርቶች በመደበኛ ፖስቶች ላይ ያርፋሉ. ማስረጃውን እንይ።

እንግባ_ab=t፣^t=b እናገኛለን። ሁለቱንም ወገኖች ወደ m ሃይል ካነሱ፡ a^tn=b^;

ነገር ግን a^tn=(a^q)^nt/q=b^{፣ ስለዚህ መዝገብ}aq_bn=(nt)/t ከዚያ ይግቡ^a_q b_n=n/q log^ab. ቲዎሬም ተረጋግጧል።

የችግሮች እና የእኩልነት ምሳሌዎች

በጣም የተለመዱ የሎጋሪዝም ችግሮች የእኩልታ እና የእኩልነት ምሳሌዎች ናቸው። በሁሉም የችግር መጽሃፍቶች ውስጥ ይገኛሉ, እና በሂሳብ ውስጥ በፈተናዎች አስገዳጅ ክፍል ውስጥም ተካትተዋል. ዩንቨርስቲ ለመግባት ወይም የመግቢያ ፈተናዎችን በሂሳብ ለማለፍ እንደዚህ አይነት ችግሮችን እንዴት በትክክል መፍታት እንዳለቦት ማወቅ አለቦት።

እንደ አለመታደል ሆኖ የሎጋሪዝምን ያልታወቀ ዋጋ ለመፍታት እና ለመወሰን አንድም እቅድ ወይም እቅድ የለም፣ነገር ግን የተወሰኑ ህጎች በእያንዳንዱ የሂሳብ እኩልነት ወይም የሎጋሪዝም እኩልነት ላይ ሊተገበሩ ይችላሉ። በመጀመሪያ ደረጃ, አገላለጹን ወደ አጠቃላይ ቅፅ ማቅለል ወይም መቀነስ ይቻል እንደሆነ ማወቅ አለብዎት. ንብረቶቻቸውን በትክክል ከተጠቀሙ ረጅም የሎጋሪዝም መግለጫዎችን ማቃለል ይችላሉ. በቅርቡ እናውቃቸው።

የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ሲፈታ፣ከኛ በፊት ምን አይነት ሎጋሪዝም እንዳለን መወሰን ያስፈልጋል፡ የአገላለጽ ምሳሌ የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ወይም አስርዮሽ ሊይዝ ይችላል።

የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ምሳሌዎች እነሆ፡ ln100፣ ln1026። የእነሱ መፍትሄ የሚወሰነው በመሠረቱ 10 መሠረት ከ 100 እና 1026 ጋር እኩል የሆነበትን ደረጃ መወሰን ያስፈልግዎታል. ለተፈጥሮ ሎጋሪዝም መፍትሄዎች አንድ ሰው የሎጋሪዝም ማንነቶችን ወይም ንብረቶቻቸውን ማመልከት አለበት. የተለያዩ የሎጋሪዝም ችግሮችን የመፍታት ምሳሌዎችን እንመልከት።

የሎጋሪዝም ቀመሮችን እንዴት መጠቀም እንደሚቻል፡ በምሳሌዎች እና መፍትሄዎች

ስለዚህ፣ ስለ ሎጋሪዝም ዋና ዋና ንድፈ ሃሳቦችን የመጠቀም ምሳሌዎችን እንመልከት።

1. የምርቱ ሎጋሪዝም ንብረት ከፍተኛ መጠን ያለው የቁጥር bን ወደ ቀላል ምክንያቶች መበስበስ በሚያስፈልግባቸው ተግባራት ውስጥ ሊያገለግል ይችላል። ለምሳሌ ሎግ₂4 +ሎግ₂128=ሎግ₂(4128)=ሎግ_{2512። መልሱ 9 ነው።}
2. ሎግ₄8=ሎግ_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - እንደምታዩት የሎጋሪዝምን ደረጃ አራተኛውን ንብረት በመተግበር በመጀመሪያ እይታ መፍታት ችለናል ውስብስብ እና የማይፈታ አገላለጽ. እርስዎ ማድረግ የሚጠበቅብዎት መሰረቱን ያስተካክሉ እና ከዚያ ኃይሉን ከሎጋሪዝም ምልክት ያውጡ።}

የፈተና ምደባዎች

ሎጋሪዝም ብዙውን ጊዜ በመግቢያ ፈተናዎች ውስጥ ይገኛል፣በተለይም በተባበሩት መንግስታት ፈተና (የመንግስት ፈተና ለሁሉም የትምህርት ቤት ተመራቂዎች) ብዙ የሎጋሪዝም ችግሮች አሉ። ብዙውን ጊዜ እነዚህ ተግባራት በክፍል A ውስጥ ብቻ አይደሉም (በጣምቀላል የፈተና ክፍል)፣ ነገር ግን በክፍል ሐ (በጣም ከባድ እና ከፍተኛ መጠን ያላቸው ተግባራት)። ፈተናው ስለ "ተፈጥሮአዊ ሎጋሪዝም" ርዕስ ትክክለኛ እና ፍጹም እውቀት ይፈልጋል።

ምሳሌዎች እና የችግር መፍትሄዎች የተወሰዱት ከኦፊሴላዊው የፈተና ስሪቶች ነው። እንደዚህ አይነት ስራዎች እንዴት እንደሚፈቱ እንይ።

የተሰጠው መዝገብ₂(2x-1)=4. መፍትሄ፡

አገላለጹን እንደገና ይፃፉ፣ ትንሽ ሎግ በማድረግ ቀላል ያድርጉት_2(2x-1)=22^{፣ በሎጋሪዝም ትርጉም 2x-1=2}4^{፣ስለዚህ 2x እናገኛለን።=17; x=8, 5.}

ጥቂት መመሪያዎችን በመከተል በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያሉትን ሁሉንም እኩልታዎች በቀላሉ መፍታት ይችላሉ።

• መፍትሄው አስቸጋሪ እና ግራ የሚያጋባ እንዳይሆን ሁሉንም ሎጋሪዝም ወደ ተመሳሳይ መሰረት መቀነስ ጥሩ ነው።
• በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያሉ ሁሉም አገላለጾች አወንታዊ ሆነው ይገለፃሉ፣ስለዚህ በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለውን የቃላት አገላለጽ ገላጭ ሲባዛ እና እንደ መነሻው በሎጋሪዝም ስር የሚቀረው አገላለጽ አዎንታዊ መሆን አለበት።