የአውሮፕላን እኩልታዎች። በሁለት አውሮፕላኖች መካከል አንግል

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-02 17:40

አይሮፕላን ከነጥብ እና ቀጥታ መስመር ጋር መሰረታዊ የጂኦሜትሪክ አካል ነው። በአጠቃቀሙ, በቦታ ጂኦሜትሪ ውስጥ ብዙ አሃዞች ተገንብተዋል. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል እንዴት ማግኘት እንደሚቻል የሚለውን ጥያቄ በበለጠ ዝርዝር እንመለከታለን።

ፅንሰ-ሀሳብ

በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ስላለው አንግል ከማውራትህ በፊት በጂኦሜትሪ ውስጥ የምንናገረው ስለ የትኛው አካል እንደሆነ በሚገባ መረዳት አለብህ። ቃላቱን እንረዳ። አውሮፕላን ማለቂያ የለሽ የቦታ ስብስብ ነው፣ በማገናኘት ቬክተር እናገኛለን። የኋለኛው ወደ አንድ ቬክተር ቀጥ ያለ ይሆናል። በተለምዶ ለአውሮፕላኑ መደበኛ ተብሎ ይጠራል።

ከላይ ያለው ምስል አውሮፕላን እና ሁለት መደበኛ ቬክተሮችን ያሳያል። ሁለቱም ቬክተሮች በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ እንደሚተኛ ማየት ይቻላል. በመካከላቸው ያለው አንግል 180o ነው።

እኩልታዎች

በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል የሚገመተው የጂኦሜትሪክ አካል የሂሳብ ቀመር የሚታወቅ ከሆነ ሊታወቅ ይችላል። ብዙ ዓይነቶች እንደዚህ ያሉ እኩልታዎች አሉ-ስማቸው ከዚህ በታች ተዘርዝሯል፡

• አጠቃላይ ዓይነት፤
• ቬክተር፤
• በክፍሎች።

እነዚህ ሶስት ዓይነቶች የተለያዩ ችግሮችን ለመፍታት በጣም ምቹ በመሆናቸው ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ።

የአጠቃላይ አይነት እኩልታ ይህን ይመስላል፡

Ax + By + Cz + D=0.

እዚህ x፣ y፣ z የተሰጠው አውሮፕላን ንብረት የሆነ የዘፈቀደ ነጥብ መጋጠሚያዎች ናቸው። መለኪያዎች A፣ B፣ C እና D ቁጥሮች ናቸው። የዚህ ምልክት ምቾት ያለው ቁጥሮች A፣ B፣ C ለአውሮፕላኑ መደበኛ የቬክተር መጋጠሚያዎች በመሆናቸው ነው።

የአውሮፕላኑ የቬክተር ቅርፅ በሚከተለው መልኩ ሊወከል ይችላል፡

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀, z₀) + α(a₁፣ b₁፣ c₁) + β(a ₂፣ b_{2፣ c2።።}

እዚህ (a₂፣ b₂፣ c₂ እና (a_{) እና (a} 1_{፣ b}1_{፣ c}1_{) - የታሰበው አውሮፕላን የሆኑ የሁለት አስተባባሪ ቬክተሮች መለኪያዎች። ነጥቡ (x}0_{፣ y}0_{፣ z0) እንዲሁ በዚህ አውሮፕላን ውስጥ አለ። መለኪያዎች α እና β ነጻ እና የዘፈቀደ እሴቶችን ሊወስዱ ይችላሉ።}

በመጨረሻም የአውሮፕላኑ እኩልነት በክፍሎች በሚከተለው የሒሳብ ቅርጽ ተወክሏል፡

x/p + y/q + z/l=1.

እዚህ p, q, l የተወሰኑ ቁጥሮች ናቸው (አሉታዊዎችንም ጨምሮ)። ቁጥሩ p, q, l የመገናኛ ነጥቦችን ከ x, y እና z መጥረቢያዎች ጋር ስለሚያሳዩ የዚህ ዓይነቱ እኩልታ አውሮፕላንን በአራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው ቅንጅት ስርዓት ውስጥ ለማሳየት አስፈላጊ በሚሆንበት ጊዜ ጠቃሚ ነው.አውሮፕላን።

እያንዳንዱ አይነት እኩልታ ቀላል የሂሳብ ስራዎችን በመጠቀም ወደ ሌላ ሊቀየር እንደሚችል ልብ ይበሉ።

ፎርሙላ በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ላለው አንግል

አሁን የሚከተለውን ልዩነት አስቡበት። ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ, ሁለት አውሮፕላኖች በሁለት መንገዶች ብቻ ሊቀመጡ ይችላሉ. ወይ መቆራረጥ ወይም ትይዩ ይሁኑ። በሁለት አውሮፕላኖች መካከል, አንግል በመመሪያቸው ቬክተሮች (በተለመደው) መካከል ያለው ነው. እርስ በርስ የሚገናኙ, 2 ቬክተሮች 2 ማዕዘኖችን ይመሰርታሉ (በአጠቃላይ ሁኔታ አጣዳፊ እና ግልጽ ያልሆነ). በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለው አንግል አጣዳፊ እንደሆነ ይቆጠራል. እኩልታውን አስቡበት።

በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል ቀመር፡

θ=አርክኮስ(|(n₁መንn₂መን)|/(|n₁₎ መን||n_2ǹ|))።

ይህ አገላለጽ የመደበኛ ቬክተሮች ስኬር ውጤት ቀጥተኛ ውጤት እንደሆነ መገመት ቀላል ነው n₁ሼ እና n₂ ለተገመቱ አውሮፕላኖች። የነጥብ ምርቱ ሞጁሎች በቁጥር ማዘዣው ውስጥ ያለው አንግል θ እሴቶችን ከ0^o እስከ 90^{o ብቻ እንደሚወስድ ያሳያል። የመደበኛ ቬክተር ሞዱሊ ምርት ማለት የርዝመታቸው ውጤት ማለት ነው።}

ማስታወሻ፣ (n₁ǹn_{2ን)=0 ከሆነ አውሮፕላኖቹ በቀኝ ማዕዘን ይገናኛሉ።}

ችግር ምሳሌ

በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል የሚባለውን ካወቅን በኋላ የሚከተለውን ችግር እንፈታዋለን። እንደ ምሳሌ. ስለዚህ እንደዚህ ባሉ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ማስላት ያስፈልጋል፡

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3)።

ችግሩን ለመፍታት የአውሮፕላኖቹን አቅጣጫ ቬክተር ማወቅ አለብህ። ለመጀመሪያው አውሮፕላን መደበኛው ቬክተር፡ n₁ǹ=(2, -3, 0) ነው። የሁለተኛውን አውሮፕላን መደበኛ ቬክተር ለማግኘት ከ α እና β መለኪያዎች በኋላ ቬክተሮችን ማባዛት አለበት. ውጤቱ ቬክተር ነው፡ n_{2ǹ=(5, -3, 2)።}

አንግል θን ለመወሰን ከቀደመው አንቀጽ ላይ ያለውን ቀመር እንጠቀማለን። እናገኛለን:

θ=አርኮስ (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=አርኮስ (19/√(1338))=0.5455 ራድ።

በራዲያን ውስጥ ያለው የተሰላው አንግል ከ31.26^o ጋር ይዛመዳል። ስለዚህ ከችግሩ ሁኔታ የመጡ አውሮፕላኖች በ 31, 26^{o. አንግል ይገናኛሉ።}