ተለዋዋጮች ምንድናቸው? በሂሳብ ውስጥ ተለዋዋጭ

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-02 17:40

የተለዋዋጮች በሂሳብ ውስጥ ያለው ጠቀሜታ ትልቅ ነው፣ ምክንያቱም በኖረበት ዘመን ሳይንቲስቶች በዚህ አካባቢ ብዙ ግኝቶችን ለማድረግ ችለዋል፣ እና ይህንን ወይም ያንን ቲዎሬም በአጭሩ እና በግልፅ ለማስቀመጥ፣ ተለዋዋጮችን በመጠቀም ተጓዳኝ ቀመሮችን ለመፃፍ እንጠቀማለን።. ለምሳሌ፣ የፓይታጎሪያን ቲዎሬም በቀኝ ትሪያንግል ላይ፡- a² =b² + c^{2። ችግር በሚፈታበት ጊዜ ሁል ጊዜ እንዴት እንደሚፃፍ-በፓይታጎሪያን ቲዎረም መሠረት ፣ የ hypotenuse ካሬ ከእግሮቹ ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው - ይህንን በቀመር እንጽፋለን ፣ እና ሁሉም ነገር ወዲያውኑ ግልፅ ይሆናል ።}

ስለዚህ ይህ መጣጥፍ ተለዋዋጮች ምን እንደሆኑ፣ ዓይነቶቻቸው እና ንብረቶቻቸውን ያብራራል። የተለያዩ የሂሳብ አገላለጾችም ይታሰባሉ፡- አለመመጣጠኖች፣ ቀመሮች፣ ስርዓቶች እና ስልተ ቀመሮች ለመፍትሄያቸው።

ተለዋዋጭ ጽንሰ-ሀሳብ

በመጀመሪያ፣ ተለዋዋጭ ምንድን ነው? ይህ ብዙ እሴቶችን ሊወስድ የሚችል የቁጥር እሴት ነው። ቋሚ ሊሆን አይችልም, ምክንያቱም በተለያዩ ችግሮች እና እኩልታዎች ውስጥ, ለመመቻቸት, መፍትሄዎችን እንደ እንወስዳለንተለዋዋጭ የተለያዩ ቁጥሮች፣ ማለትም፣ ለምሳሌ፣ z ለእያንዳንዱ የሚወሰድባቸው መጠኖች አጠቃላይ ስያሜ ነው። ብዙውን ጊዜ የሚገለጹት በላቲን ወይም በግሪክ ፊደላት (x፣ y፣ a፣ b፣ እና የመሳሰሉት) ነው።

የተለያዩ አይነት ተለዋዋጮች አሉ። ሁለቱንም አንዳንድ አካላዊ መጠኖችን ያዘጋጃሉ - ዱካ (ኤስ)፣ ጊዜ (ቲ) እና በቀላሉ የማይታወቁ እሴቶችን በእኩል ፣ ተግባር እና ሌሎች መግለጫዎች።

ለምሳሌ ቀመር አለ፡ S=Vt. እዚህ ፣ ተለዋዋጮቹ ከእውነተኛው ዓለም ጋር የሚዛመዱ የተወሰኑ መጠኖችን ያመለክታሉ - መንገዱ ፣ ፍጥነት እና ጊዜ።

የቅጹም እኩልታ አለ፡ 3x - 16=12x። እዚህ፣ x አስቀድሞ በዚህ መግለጫ ላይ ትርጉም ያለው እንደ አብስትራክት ቁጥር ተወስዷል።

የብዛት ዓይነቶች

መጠን ማለት የአንድን ነገር፣ቁስ ወይም ክስተት ባህሪያት የሚገልጽ ነገር ነው። ለምሳሌ የአየር ሙቀት፣ የእንስሳት ክብደት፣ በጡባዊ ተኮ ውስጥ ያሉት የቪታሚኖች መቶኛ - እነዚህ ሁሉ መጠኖች ናቸው ቁጥራዊ እሴቶቻቸው ሊሰሉ የሚችሉት።

እያንዳንዱ መጠን የራሱ የመለኪያ አሃዶች አሏቸው፣ እነሱም በአንድ ላይ ስርዓት ይመሰርታሉ። የቁጥር ስርዓት (SI) ይባላል።

ተለዋዋጮች እና ቋሚዎች ምንድናቸው? በተወሰኑ ምሳሌዎች አስባቸው።

የተስተካከለ የደንብ ልብስ እንቅስቃሴን እንውሰድ። በጠፈር ውስጥ ያለ ነጥብ በእያንዳንዱ ጊዜ በተመሳሳይ ፍጥነት ይንቀሳቀሳል። ይህም ማለት ጊዜ እና ርቀት ይለወጣሉ, ነገር ግን ፍጥነቱ እንዳለ ይቆያል. በዚህ ምሳሌ፣ ጊዜ እና ርቀት ተለዋዋጮች ናቸው፣ እና ፍጥነቱ ቋሚ ነው።

ወይስ፣ ለምሳሌ "pi"። ይህ ሳይደጋገም የሚቀጥል ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው።የቁጥሮች ቅደም ተከተል እና ሙሉ በሙሉ ሊፃፍ አይችልም, ስለዚህ በሂሳብ ውስጥ በአጠቃላይ ተቀባይነት ባለው ምልክት ይገለጻል ይህም የተወሰነ ክፍልፋይ ዋጋ ብቻ ይወስዳል. ማለትም "pi" ቋሚ እሴት ነው።

ታሪክ

የተለዋዋጮች ማስታወሻ ታሪክ የሚጀምረው በአስራ ሰባተኛው ክፍለ ዘመን በሳይንቲስት ሬኔ ዴካርተስ ነው።

የታወቁትን እሴቶች በመጀመሪያዎቹ የፊደል ሆሄያት፡ a፣ b እና የመሳሰሉትን ሰይሟል፣ እና ለማያውቀው ደግሞ የመጨረሻዎቹን ፊደሎች፡ x፣ y፣ z እንዲጠቀሙ ሀሳብ አቅርቧል። ዴስካርት እንደነዚህ ያሉትን ተለዋዋጮች አሉታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች አድርጎ መቁጠሩ እና አሉታዊ መለኪያዎች ሲያጋጥሙት በተለዋዋጭ ፊት የመቀነስ ምልክት አደረገ ወይም ቁጥሩ ምን ምልክት እንደሆነ ካልታወቀ ellipsis ማድረጉ ትኩረት የሚስብ ነው። ነገር ግን ከጊዜ በኋላ የተለዋዋጮች ስሞች የማንኛውንም ምልክት ቁጥሮች ማመላከት ጀመሩ፣ እና ይህ የተጀመረው በሂሳብ ሊቅ ዮሃንስ ሁዴ ነው።

በተለዋዋጮች፣ በሂሳብ ውስጥ ያሉ ስሌቶች ለመፍታት ቀላል ናቸው፣ ምክንያቱም ለምሳሌ፣ አሁን ባለ ሁለትዮሽ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንችላለን? ተለዋዋጭ እናስገባለን. ለምሳሌ፡

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

ለ x2 የተወሰነ k እንወስዳለን፣ እና ስሌቱ ግልጽ ይሆናል፡

x2=k፣ ለ k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

ይህ ነው የተለዋዋጮች መግቢያ ወደ ሂሳብ የሚያመጣው።

እኩልነት፣ የመፍትሄዎች ምሳሌዎች

እኩልነት ሁለት የሂሳብ መግለጫዎች ወይም ሁለት ቁጥሮች በንፅፅር ምልክቶች የተገናኙበት መዝገብ ነው፡ ≦፣ ≧። እነሱ ጥብቅ ናቸው እና በምልክቶች ወይም ጥብቅ ያልሆኑ ምልክቶች ≦፣ ≧.

እነዚህ ምልክቶች ለመጀመሪያ ጊዜ አስተዋውቀዋልቶማስ ሃሪዮት። ከቶማስ ሞት በኋላ የሱ መጽሃፍ በእነዚህ ማስታወሻዎች ታትሟል፣ የሒሳብ ሊቃውንት ወደዷቸው እና ከጊዜ በኋላ በሒሳብ ስሌት ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ውለዋል።

ነጠላ ተለዋዋጭ አለመመጣጠን ሲፈታ መከተል ያለባቸው ብዙ ህጎች አሉ፡

ቁጥርን ከአንዱ ክፍል ወደ ሌላው ሲያስተላልፍ ምልክቱን ወደ ተቃራኒው ይቀይሩት።
የእኩልነት ክፍሎችን በአሉታዊ ቁጥር ሲባዙ ወይም ሲከፍሉ ምልክታቸው ይገለበጣል።
የእኩልነት ሁለቱን ወገኖች ካባዙ ወይም ቢያካፍሏቸው ከመጀመሪያው ጋር እኩል የሆነ እኩልነት ያገኛሉ።

እኩልነትን መፍታት ማለት ለተለዋዋጭ ሁሉንም ትክክለኛ እሴቶች ማግኘት ማለት ነው።

ነጠላ ተለዋዋጭ ምሳሌ፡

10x - 50 > 150

እንደ መደበኛ መስመራዊ እኩልታ እንፈታዋለን - ቃላቶቹን በተለዋዋጭ ወደ ግራ፣ ያለ ተለዋዋጭ - ወደ ቀኝ እናንቀሳቅሳለን እና ተመሳሳይ ቃላትን እንሰጣለን፡

10x > 200

የእኩልነት ሁለቱን ወገኖች በ10 ከፍለን፡ እናገኛለን።

x > 20

ለግልጽነት፣ እኩልነትን በአንድ ተለዋዋጭ ለመፍታት በምሳሌነት፣ የቁጥር መስመር ይሳሉ፣ የተወጋውን ነጥብ 20 በላዩ ላይ ምልክት ያድርጉበት፣ እኩልነቱ ጥብቅ ስለሆነ ይህ ቁጥር በመፍትሔዎቹ ስብስብ ውስጥ አልተካተተም።.

የዚህ አለመመጣጠን መፍትሄው የጊዜ ክፍተት ነው (20; +∞)።

ጥብቅ ያልሆነ እኩልነት መፍትሄ ልክ እንደ ጥብቅ በሆነ መንገድ ይከናወናል፡

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

ነገር ግን አንድ የተለየ ነገር አለ። የቅጹ x ≧ 5 መዝገብ እንደሚከተለው ሊገለጽ ይገባል፡ x ከአምስት ይበልጣል ወይም እኩል ነው፣ ይህም ማለት ነው።ቁጥር አምስት ለሁሉም እኩልነት መፍትሄዎች ስብስብ ውስጥ ተካትቷል, ማለትም, መልሱን ስንጽፍ, ከቁጥር አምስት ፊት ለፊት አንድ ካሬ ቅንፍ እናስቀምጣለን.

x ∈ [5; +∞)

የካሬ አለመመጣጠን

የቅጹን አክስ2 + bx +c=0 ከወሰድን እና እኩል ምልክቱን በውስጡ ወዳለው የእኩልነት ምልክት ከቀየርን በዚህ መሰረት አንድ ምልክት እናገኛለን። ባለአራት እኩልነት።

የኳድራቲክ አለመመጣጠን ለመፍታት፣ባለአራት እኩልታዎችን መፍታት መቻል አለቦት።

y=ax2 + bx + c ባለአራት ተግባር ነው። አድሎአዊውን በመጠቀም ወይም የቪዬታ ቲዎረምን በመጠቀም መፍታት እንችላለን። እነዚህ እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ አስታውስ፡

1) y=x2 + 12x + 11 - ተግባሩ ፓራቦላ ነው። የ"a" ምልክት ምልክት አዎንታዊ ስለሆነ ቅርንጫፎቹ ወደ ላይ ይመራሉ::

2) x2 + 12x + 11=0 - ከዜሮ ጋር ያመሳስሉ እና አድሎአዊውን በመጠቀም ይፍቱ።

a=1፣ b=12፣ c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 roots

እንደ ኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር፡ እናገኛለን።

x₁ =-1፣ x_2=-11

ወይም ይህን እኩልታ የቪዬታ ቲዎረምን በመጠቀም መፍታት ይችላሉ፡

x₁ + x₂ =-b/a፣ x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a፣ x₁x₂₌₁₁

የመምረጫ ዘዴን በመጠቀም፣የቀመርውን ተመሳሳይ ሥሮች እናገኛለን።

ፓራቦላ

ስለዚህ የኳድራቲክ አለመመጣጠን ለመፍታት የመጀመሪያው መንገድ ፓራቦላ ነው። የመፍታት ስልተ ቀመር እንደሚከተለው ነው፡

1። የፓራቦላ ቅርንጫፎች የት እንደሚመሩ ይወስኑ።

2።ተግባሩን ከዜሮ ጋር ያመሳስሉት እና የእኩልቱን ስር ያግኙ።

3። የቁጥር መስመርን እንገነባለን ፣ ሥሮቹን በላዩ ላይ ምልክት እናደርጋለን ፣ ፓራቦላ ይሳሉ እና የምንፈልገውን ክፍተት እናገኛለን ፣ እንደ አለመመጣጠን ምልክት።

እኩልነትን መፍታት x2 + x - 12 > 0

እንደ ተግባር ይፃፉ፡

1) y=x2 + x - 12 - ፓራቦላ፣ ቅርንጫፎች ወደላይ።

ወደ ዜሮ አቀናብር።

2) x2 + x -12=0

በመቀጠል እንደ ኳድራቲክ እኩልታ እንፈታዋለን እና የተግባሩን ዜሮዎች እናገኛለን፡

x₁ =3፣ x_2=-4

3) በላዩ ላይ ነጥብ 3 እና -4 ያለው የቁጥር መስመር ይሳሉ። ፓራቦላ በእነሱ ውስጥ ያልፋል ፣ ቅርንጫፎች ይከፈታሉ እና ለእኩልነት መልሱ የአዎንታዊ እሴቶች ስብስብ ይሆናል ፣ ማለትም (-∞; -4) ፣ (3; +∞)።

የመሃከል ዘዴ

ሁለተኛው መንገድ የክፍተት ዘዴ ነው። እሱን ለመፍታት አልጎሪዝም፡

1። እኩልነት ከዜሮ ጋር እኩል የሆነበትን የእኩልታ ስር ያግኙ።

2። በቁጥር መስመር ላይ ምልክት እናደርጋለን. ስለዚህም፣ ወደ ብዙ ክፍተቶች ተከፍሏል።

3። የማንኛውንም ክፍተት ምልክቱን ይወስኑ።

4። ምልክቶችን በቀሪዎቹ ክፍተቶች ላይ እናስቀምጣለን፣ከአንድ በኋላ እንቀይራቸዋለን።

እኩልነትን መፍታት (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) አለመመጣጠን ዜሮዎች፡ 4፣ 5 እና -7።

2) በቁጥር መስመር ላይ ይሳቧቸው።

3) የጊዜ ክፍተቶችን ምልክቶች ይወስኑ።

መልስ፡ (-∞; -7]፤ [4; 5]።

አንድ ተጨማሪ አለመመጣጠን ይፍቱ፡ x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1። የእኩልነት ዜሮዎች፡ 0፣ 2፣ -2 እና 1።

2። በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ያድርጉባቸው።

3።የጊዜ ክፍተቶችን ይወስኑ።

መስመሩ በየእረፍተ ነገሮች ይከፈላል - ከ -2 እስከ 0፣ ከ 0 ወደ 1፣ ከ 1 እስከ 2።

በመጀመሪያው ክፍተት እሴቱን ይውሰዱ - (-1)። በእኩልነት ውስጥ ምትክ. በዚህ እሴት፣ አለመመጣጠን አዎንታዊ ይሆናል፣ ይህ ማለት በዚህ የጊዜ ክፍተት ላይ ያለው ምልክት +. ይሆናል ማለት ነው።

በተጨማሪ፣ ከመጀመሪያው ክፍተት ጀምሮ፣ ምልክቶቹን እናስተካክላለን፣ ከአንድ በኋላ እንቀይራቸዋለን።

ኢ-እኩልነቱ ከዜሮ ይበልጣል፣ ማለትም በመስመሩ ላይ የአዎንታዊ እሴቶች ስብስብ ማግኘት ያስፈልግዎታል።

መልስ፡ (-2; 0)፣ (1፤ 2)።

የእኩልታዎች ስርዓት

የእኩልታዎች ስርዓት ሁለት ተለዋዋጮች ያሉት ሁለት እኩልታዎች በጥምጥም ቅንፍ የተቀላቀሉ ሲሆን ለዚህም የጋራ መፍትሄ መፈለግ አስፈላጊ ነው።

ስርአቶች የአንዳቸው አጠቃላይ መፍትሄ የሌላኛው መፍትሄ ከሆነ ወይም ሁለቱም መፍትሄ ካላገኙ እኩል ሊሆኑ ይችላሉ።

የእኩልታዎች ስርዓቶችን መፍትሄ በሁለት ተለዋዋጮች እናጠናለን። እነሱን ለመፍታት ሁለት መንገዶች አሉ - የመተካት ዘዴ ወይም የአልጀብራ ዘዴ።

አልጀብራ ዘዴ

በምስሉ ላይ የሚታየውን ዘዴ ይህን ዘዴ በመጠቀም ለመፍታት በመጀመሪያ ከክፍሎቹ አንዱን በእንደዚህ አይነት ቁጥር ማባዛት አለባችሁ።በኋላም ከሁለቱም የእኩልታ ክፍሎች አንድ ተለዋዋጭ መሰረዝ ትችላላችሁ። እዚህ በሶስት እጥፍ እናባዛለን, በስርአቱ ስር አንድ መስመር ይሳሉ እና ክፍሎቹን እንጨምራለን. በውጤቱም, x በሞጁሎች ውስጥ አንድ አይነት ነው, ነገር ግን በምልክት ተቃራኒ ነው, እና እኛ እንቀንሳቸዋለን. በመቀጠል፣ መስመራዊ እኩልታ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር አግኝተን እንፈታዋለን።

Yን አግኝተናል፣ ግን እዚያ ማቆም አንችልም፣ ምክንያቱም እስካሁን X አላገኘንም። ምትክY Xን ለመውጣት ወደሚመችበት ክፍል ለምሳሌ፡

-x + 5y=8፣ በy=1

-x + 5=8

የተገኘውን እኩልታ ይፍቱ እና x. ያግኙ

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

በስርአቱ መፍትሄ ውስጥ ዋናው ነገር መልሱን በትክክል መፃፍ ነው። ብዙ ተማሪዎች የሚከተለውን ሲጽፉ ተሳስተዋል፡

መልስ፡-3፣ 1.

ግን ይህ የተሳሳተ ግቤት ነው። ከሁሉም በላይ, ቀደም ሲል እንደተጠቀሰው, የእኩልታዎችን ስርዓት ሲፈታ, ለክፍሎቹ አጠቃላይ መፍትሄ እንፈልጋለን. ትክክለኛው መልስ፡ ይሆናል

(-3; 1)