በሂሳብ ውስጥ ሞዱላር አርቲሜቲክ የኢንቲጀር ስሌት ሲስተም ሲሆን የተወሰነ እሴት ላይ ሲደርሱ "በሚያገላብጡበት" እርዳታ - ሞጁል (ወይ የነሱ ብዛት)። የዚህ ዓይነቱ ሳይንስ ዘመናዊ አቀራረብ በካርል ፍሬድሪች ጋውስ በ 1801 ባሳተመው Disquisitiones Arithmetice. የኮምፒዩተር ሳይንቲስቶች ይህን ዘዴ መጠቀም በጣም ይወዳሉ፣ ምክንያቱም በጣም አስደሳች እና የተወሰኑ አዳዲስ አማራጮችን በኦፕሬሽኖች በቁጥር ይከፍታል።
ማንነት
የሰዓቱ ቁጥር 12 ከደረሰ በኋላ እንደገና ስለሚጀምር፣ የሂሳብ ሞዱሎ 12 ነው። ከዚህ በታች በተገለጸው ትርጉም 12 ከ 12 ጋር ብቻ ሳይሆን ከ 0 ጋር ይዛመዳል ስለዚህ አንድ ሰው "" ተብሎ የሚጠራውን ጊዜ ሊሰይም ይችላል። 12:00" "0:00" ለነገሩ 12 ከ 0 ሞዱሎ 12 ጋር አንድ ነው።
ሞዱላር ሒሳብ ከኢንቲጀር ጋር ተኳሃኝ የሆነ ግንኙነትን በማስተዋወቅ በሂሳብ ሊሰራ ይችላል።ቁጥሮች: መደመር, መቀነስ እና ማባዛት. ለአዎንታዊ ኢንቲጀር n፣ ሁለት ቁጥሮች ሀ እና ለ የተጣጣሙ ሞዱሎ n ይባላሉ ልዩነታቸው a - b የ n ብዜት ከሆነ (ማለትም፣ ኢንቲጀር k ካለ እንደ a - b=kn)።
ቅናሾች
በቲዎሬቲካል ሒሳብ ሞዱላር አርቲሜቲክ የቁጥር ፅንሰ-ሀሳብ አንዱ መሰረት ሲሆን ሁሉንም የጥናት ዘርፎች ከሞላ ጎደል የሚነካ ሲሆን በቡድን ፣ቀለበት ፣ኖት እና አብስትራክት አልጀብራ ፅንሰ-ሀሳብ በስፋት ጥቅም ላይ ይውላል። በተግባራዊ ሂሳብ ዘርፍ በኮምፒውተር አልጀብራ፣ ክሪፕቶግራፊ፣ ኮምፒውተር ሳይንስ፣ ኬሚስትሪ፣ ቪዥዋል አርት እና ሙዚቃ ላይ ጥቅም ላይ ይውላል።
ተለማመዱ
በጣም ተግባራዊ የሆነ አፕሊኬሽን የመለያ ቁጥር መለያዎች የቼክሰም ስሌት ነው። ለምሳሌ አንዳንድ የተለመዱ የመጽሐፍት ደረጃዎች የሂሳብ ሞዱሎ 11ን (ከጃንዋሪ 1 ቀን 2007 በፊት ከተለቀቀ) ወይም ሞዱሎ 10 (ከጃንዋሪ 1, 2007 በፊት ወይም በኋላ ከተለቀቀ) ይጠቀማሉ። በተመሳሳይ, ለምሳሌ, በአለም አቀፍ የባንክ ሂሳብ ቁጥሮች (IBANs). ይህ በባንክ ሂሳብ ቁጥሮች የተጠቃሚ ግቤት ስህተቶችን ለመለየት ሞዱሎ 97 ሂሳብ ይጠቀማል።
በኬሚስትሪ ውስጥ፣ የCAS ምዝገባ ቁጥር የመጨረሻው አሃዝ (የእያንዳንዱ የኬሚካል ውህድ ልዩ መለያ ቁጥር) የቼክ አሃዝ ነው። የ CAS መመዝገቢያ ቁጥር የመጀመሪያዎቹን ሁለት ክፍሎች የመጨረሻ አሃዝ በማባዛት በ 1 ፣ ያለፈውን አሃዝ 2 ጊዜ ፣ የቀደመውን አሃዝ 3 ጊዜ ፣ ወዘተ ወስዶ ሁሉንም በመጨመር እና ድምር ሞዱሎ 10. በማስላት ይሰላል።
ክሪፕቶግራፊ ምንድን ነው? እውነታው ይህ ነው።እየተወያየበት ካለው ርዕስ ጋር በጣም ጠንካራ ግንኙነት አለው. በክሪፕቶግራፊ ውስጥ፣ የሞዱላር አርቲሜቲክ ህጎች እንደ RSA እና Diffie-Hellman ያሉ የህዝብ ቁልፍ ስርዓቶችን በቀጥታ ይከተላሉ። እዚህ ኤሊፕቲክ ኩርባዎችን የሚይዙትን የመጨረሻ መስኮችን ያቀርባል. የላቀ የኢንክሪፕሽን ስታንዳርድ (AES)፣ አለምአቀፍ የውሂብ ምስጠራ አልጎሪዝም እና RC4 ጨምሮ በተለያዩ የሲሜትሪክ ቁልፍ ስልተ ቀመሮች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል።
መተግበሪያ
ይህ ዘዴ ቁጥሮችን ለማንበብ በሚፈልጉባቸው አካባቢዎች ጥቅም ላይ ይውላል። የተሰራው በሂሳብ ሊቃውንት ነው, እና ሁሉም ሰው ይጠቀማል, በተለይም የኮምፒተር ሳይንቲስቶች. ይህ እንደ ሞዱላር አርቲሜቲክ ፎር ዱሚዎች ባሉ መጽሃፎች ውስጥ በደንብ ተመዝግቧል። ይሁን እንጂ ብዙ ባለሙያዎች እንደነዚህ ያሉትን ጽሑፎች በቁም ነገር እንዳይመለከቱ ይመክራሉ።
በኮምፒዩተር ሳይንስ ሞዱላር አርቲሜቲክ በቢትዊዝ እና ሌሎች ቋሚ ወርድ ክብ ዳታ አወቃቀሮችን በሚያካትቱ ኦፕሬሽኖች ውስጥ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል። ተንታኞች እሱን መጠቀም ይወዳሉ። የሞዱሎ አሠራሩ በብዙ የፕሮግራም አወጣጥ ቋንቋዎች እና ካልኩሌተሮች ተተግብሯል። በዚህ ሁኔታ, የእንደዚህ አይነት መተግበሪያ አንዱ ምሳሌ ነው. የሞዱሎ ንጽጽር፣ ከቀሪው ጋር መከፋፈል እና ሌሎች ዘዴዎች እንዲሁ በፕሮግራም አወጣጥ ላይ ጥቅም ላይ ይውላሉ።
በሙዚቃ ውስጥ፣ አርቲሜቲክ ሞዱሎ 12 ጥቅም ላይ የሚውለው የአስራ ሁለት ቶን እኩል የሆነ የቁጣ ስርዓት ሲታሰብ ሲሆን እነዚህም ኦክታቭ እና ኢንሃርሞኒክ እኩል ናቸው። በሌላ አነጋገር በ1-2 ወይም 2-1 ሬሾ ውስጥ ያሉት ቁልፎች እኩል ናቸው። በሙዚቃ እና በሌሎች ሰብአዊነት ፣ አርቲሜቲክስ ጉልህ ሚና ይጫወታል ፣ ግን በመማሪያ መጽሐፍት።የኮምፒውተር ሳይንቲስቶች ስለ እሱ ብዙ ጊዜ አይጽፉም።
ዘጠኞችን የመቀነስ ዘዴ
የ9ዎቹ የመቀየሪያ ዘዴ በእጅ የአስርዮሽ የሂሳብ ስሌቶችን ፈጣን ፍተሻ ያቀርባል። በሞዱል አርቲሜቲክ ሞዱሎ 9 እና በተለይም በወሳኙ ንብረት ላይ የተመሰረተ 10 10 1.
ሌሎች ምሳሌዎች አሉ። አርቲሜቲክ ሞዱሎ 7 ለአንድ የተወሰነ ቀን የሳምንቱን ቀን በሚወስኑ ስልተ ቀመሮች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል። በተለይም የዜለር መስማማት እና የ Doomsday ስልተ ቀመር የሂሳብ ሞዱሎ 7.
ን በብዛት ይጠቀማሉ።
ሌሎች መተግበሪያዎች
ስለ ሞዱላር አርቲሜቲክ ምስጠራ አስቀድሞ ተነግሯል። በዚህ አካባቢ እሷ በቀላሉ መተካት አይቻልም. በአጠቃላይ፣ ሞዱላር አርቲሜቲክስ እንደ ህግ፣ ኢኮኖሚክስ (እንደ ጨዋታ ቲዎሪ ያሉ) እና ሌሎች የማህበራዊ ሳይንስ ዘርፎች ባሉ ዘርፎች ውስጥ መተግበሪያዎችን ያገኛል። በሌላ አነጋገር የተመጣጠነ የሃብት ክፍፍል እና ስርጭት ትልቅ ሚና የሚጫወትበት።
ሞዱላር አርቲሜቲክ በጣም ሰፊ አጠቃቀሞች ስላለው የንፅፅር ስርዓትን ለመፍታት ምን ያህል ከባድ እንደሆነ ማወቅ አስፈላጊ ነው። የመገጣጠሚያዎች መስመራዊ ስርዓት በጋውሲያን መወገድ መልክ በፖሊኖሚካል ጊዜ ውስጥ ሊፈታ ይችላል። ይህ በመስመራዊ congruence ቲዎሬም በበለጠ ዝርዝር ይገለጻል። ቀላል የሂሳብ ስራዎች በብቃት እንዲከናወኑ ለማስቻል እንደ ሞንትጎመሪ ቅነሳ ያሉ አልጎሪዝም አሉ። ለምሳሌ፣ ማባዛትና ገላጭ ሞዱሎ n፣ ለትልቅ ቁጥሮች። ምን እንደሆነ ለመረዳት ይህ ማወቅ በጣም አስፈላጊ ነውክሪፕቶግራፊ ከሁሉም በኋላ፣ ልክ ከተመሳሳይ ክዋኔዎች ጋር ይሰራል።
መስማማት
እንደ ልዩ የሆነውን ሎጋሪዝም ማግኘት ወይም ኳድራቲክ ውህድ (quadratic congruence) የመሳሰሉ ኦፕሬሽኖች የኢንቲጀር ፋክተርላይዜሽን ያክል የተወሳሰቡ ስለሚመስሉ የክሪፕቶግራፊክ ስልተ ቀመሮች እና ምስጠራ መነሻዎች ናቸው። እነዚህ ችግሮች NP-መካከለኛ ሊሆኑ ይችላሉ።
ምሳሌዎች
የሚከተሉት ሶስት ትክክለኛ ፈጣን C ተግባራት ናቸው - ሁለቱ ሞጁል ማባዛትን ለማከናወን እና አንድ ላልተመዘገቡ ኢንቲጀር እስከ 63 ቢት ወደ ሞጁል ቁጥሮች ከፍ ለማድረግ፣ ያለጊዜያዊ ፍሰት።
ኢንቲጀር ከተገኘ በኋላ ብዙም ሳይቆይ (1፣ 2፣ 3፣ 4፣ 5…) በሁለት ቡድን መከፈላቸው ግልጽ ይሆናል።
- እንኳን፡ በ2 የሚካፈል (0፣ 2፣ 4፣ 6 …)።
- Odd፡ በ2 የማይከፋፈል (1፣ 3፣ 5፣ 7…)።
ለምንድን ነው ይህ ልዩነት አስፈላጊ የሆነው? ይህ የአብስትራክት መጀመሪያ ነው። የቁጥሩን ባህሪያት እናስተውላለን (ለምሳሌ፣ እንኳን ወይም እንግዳ) እና ቁጥሩ ራሱ ("37") ብቻ አይደለም።
ይህ ሒሳብን በጥልቀት እንድንመረምር እና ከተወሰኑት ይልቅ በቁጥር አይነቶች መካከል ግንኙነቶችን እንድናገኝ ያስችለናል።
የቁጥር ባህሪያት
"ሶስት" መሆን የቁጥር ሌላ ንብረት ነው። ምናልባት እንደ እንኳን / ያልተለመደ ወዲያውኑ ጠቃሚ ላይሆን ይችላል ፣ ግን እዚያ አለ። እንደ "አስራ ሶስት x ሶስት ደም መላሽ=አስራ ሶስት" እና የመሳሰሉትን ህጎች መፍጠር እንችላለን. ግን እብድ ነው። ሁልጊዜ አዳዲስ ቃላትን መፍጠር አንችልም።
የሞዱሎ ኦፕሬሽኑ (በአህጽሮት ሞድ ወይም "%" በብዙ የፕሮግራሚንግ ቋንቋዎች) ቀሪው ሲሆንመከፋፈል. ለምሳሌ "5 mod 3=2" ማለትም 2 ቀሪው 5 ን በ3 ሲካፈል ነው።
የእለት ቃላቶችን ወደ ሂሳብ ሲቀይሩ "Even number" የሚለው ቦታ "0 mod 2" ሲሆን ይህም ማለት በ 2 ሲካፈል የቀረው 0 ይሆናል። ያልተለመደ ቁጥር "1 mod 2" ነው (ቀሪ አለው ከ 1)።
እንኳን እና ያልተለመዱ ቁጥሮች
ምን እንኳን x even x odd x ጎዶሎ ነው? ደህና፣ 0 x 0 x 1 x 1=0 ነው። በእውነቱ፣ አንድ እኩል ቁጥር በየትኛውም ቦታ ቢባዛ፣ ውጤቱም ዜሮ የሚሆንበት እንደሆነ ማየት ይችላሉ።
በሞዱላር ሒሳብ ያለው ብልሃቱ ጊዜን ለማከማቸት ቀደም ብለን የተጠቀምነው ነው - አንዳንድ ጊዜ "የሰዓት ስሌት" ይባላል።
ለምሳሌ፡ 7፡00 ጥዋት (ጠዋት/ከሰአት - ምንም አይደለም)። የሰዓቱ እጅ በ7 ሰአታት ውስጥ የት ይሆናል?
ሞጁሎች
(7 + 7) mod 12=(14) mod 12=2 mod 12 [2 ቀሪው 14 ለ 12 ሲካፈል ነው። በ 12-ሰዓት ሰዓት ላይ ተመሳሳይ. ተጓዳኝ ናቸው፣ በሦስት እጥፍ እኩል ምልክት ይገለጻሉ፡ 14 ≡ 2 mod 12.
ሌላ ምሳሌ፡ ከቀኑ 8፡00 ሰዓት ነው። በ25 ሰአት ውስጥ ትልቁ እጅ የት ይሆናል?
25 ወደ 8 ከመጨመር ይልቅ 25 ሰአታት "1 ቀን + 1 ሰአት" እንደሆነ መረዳት ትችላላችሁ። መልሱ ቀላል ነው። ስለዚህ ሰዓቱ ከ1 ሰአት በፊት ያበቃል - በ9:00።
(8 + 25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (1) mod 12 ≡ 9 mod 12. እርስዎ በማስተዋል 25 ወደ 1 ቀይረው ይህን አክለዋል ወደ 8.
ሰዓቱን እንደ ምሳሌ በመጠቀም፣ ይህ እንደሆነ ማወቅ እንችላለንየሞዱላር አርቲሜቲክ ህጎች፣ እና ይሰራሉ።
መደመር/መቀነስ
በእኛ ሰዓታችን ("2:00" እና "14:00") ላይ ሁለት ጊዜ ተመሳሳይ ናቸው እንበል። ለሁለቱም ተመሳሳይ x ሰአታት ከጨመርን ምን ይሆናል? ደህና, በሰዓቱ ላይ በተመሳሳይ መጠን ይለወጣሉ! 2፡00 + 5 ሰአት ≡ 14፡00 + 5 ሰአት - ሁለቱም 7፡00 ያሳያሉ።
ለምን? በቀላሉ 5 ቱን ወደ 2 ቀሪዎች እንጨምራለን እና በተመሳሳይ መንገድ ይራመዳሉ። ለሁሉም ተመሳሳይ ቁጥሮች (2 እና 14) መደመር እና መቀነስ አንድ አይነት ውጤት አላቸው።
ማባዛቱ እንዳለ መቆየቱን ማወቅ በጣም ከባድ ነው። 14 ≡ 2 (ሞድ 12) ከሆነ ሁለቱንም ቁጥሮች ማባዛት እና ተመሳሳይ ውጤት ማግኘት እንችላለን? በ3 ስንባዛ ምን እንደሚፈጠር እንይ።
መልካም፣ 2:003 × 6:00። ግን 14:003?
ምንድነው?
አስታውስ፣ 14=12 + 2. ስለዚህ
ማለት እንችላለን።
143=(12 + 2)3=(123) + (23)
የመጀመሪያው ክፍል (123) ችላ ሊባል ይችላል! 14 የሚፈጀው የ12 ሰአታት መብዛት በቀላሉ እራሱን ብዙ ጊዜ ይደግማል። ግን ማን ያስባል? ለማንኛውም የተትረፈረፈ ፍሰትን ችላ እንላለን።
ማባዛት
ሲባዙ ቀሪዎቹ ጉዳዮች ብቻ ማለትም ያው 2 ሰአት ለ14፡00 እና 2፡00። በማስተዋል፣ ማባዛት ከሞዱላር ሂሳብ ጋር ያለውን ግንኙነት እንደማይለውጥ የማየው በዚህ መንገድ ነው (የሞዱላር ግንኙነት ሁለቱንም ጎኖች ማባዛትና ተመሳሳይ ውጤት ማግኘት ይችላሉ።)
በግንዛቤ ነው የምናደርገው ግን ስም መስጠቱ ጥሩ ነው። ምሽት 3 ሰአት ላይ የሚደርስ በረራ አለህ። እሱበ 14 ሰዓታት ዘግይቷል. ስንት ሰአት ያርፋል?
14 ≡ 2 mod 12.ስለዚህ 2 ሰአት እንደሆነ አስቡት ስለዚህ አውሮፕላኑ ከጠዋቱ 5 ሰአት ላይ ያርፋል። መፍትሄው ቀላል ነው: 3 + 2=5 am. ይህ ከቀላል ሞዱሎ አሠራር ትንሽ የበለጠ የተወሳሰበ ነው፣ ግን መርሆው አንድ ነው።
