የእኩልነት ስርዓት መፍትሄ ነው። የመስመር አለመመጣጠን ስርዓት

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-17 05:15

የእኩልነቶች እና የእኩልነት ስርአቶች በሁለተኛ ደረጃ አልጀብራ ከሚማሩት ርእሶች አንዱ ነው። ከችግር አንፃር, በጣም አስቸጋሪ አይደለም, ምክንያቱም ቀላል ደንቦች ስላሉት (ስለ እነርሱ ትንሽ ቆይተው). እንደ ደንቡ ፣ የትምህርት ቤት ልጆች የእኩልነት ስርዓቶችን መፍትሄ በቀላሉ ይማራሉ ። ይህ የሆነበት ምክንያትም መምህራን በቀላሉ ተማሪዎቻቸውን በዚህ ርዕስ ላይ "አሰልጥነዋል" በመሆናቸው ነው። እና ይህን ከማድረግ በቀር አይችሉም፣ ምክንያቱም ወደፊት በሌሎች የሒሳብ መጠኖች ስለሚጠና፣ እንዲሁም ለ OGE እና ለተዋሃዱ የግዛት ፈተናዎች ስለሚረጋገጥ። በትምህርት ቤት የመማሪያ መጽሃፍት ውስጥ የእኩልነት እና የእኩልነት ስርዓቶች ርዕሰ ጉዳይ በዝርዝር ተሸፍኗል ፣ ስለሆነም እሱን ለማጥናት ከፈለጉ እነሱን መጠቀም የተሻለ ነው። ይህ መጣጥፍ የበርካታ ነገሮች ትርጉም ብቻ ነው እና አንዳንድ ግድፈቶችን ሊይዝ ይችላል።

የእኩልነት ስርዓት ጽንሰ-ሀሳብ

ወደ ሳይንሳዊ ቋንቋ ብንዞር "ስርዓት" የሚለውን ጽንሰ ሃሳብ መግለፅ እንችላለንኢ-equalities ". ይህ በርካታ አለመመጣጠኖችን የሚወክል እንዲህ ያለ የሂሳብ ሞዴል ነው. እርግጥ ነው, ይህ ሞዴል መፍትሔ ያስፈልገዋል, እና ተግባር ውስጥ የቀረበው ሥርዓት ሁሉ እኩልነት አጠቃላይ መልስ ይሆናል (ብዙውን ጊዜ እንዲህ ነው የተጻፈው, ለ). ምሳሌ: "የእኩልነቶችን ስርዓት 4 x + 1 > 2 እና 30 - x > 6…" ን ይፍቱ።

የእኩልነቶች እና የእኩልታዎች ስርዓቶች

አዲስ ርዕስ በመማር ሂደት ውስጥ ብዙ ጊዜ አለመግባባቶች ይፈጠራሉ። በአንድ በኩል, ሁሉም ነገር ግልጽ ነው እና ስራዎችን መፍታት እመርጣለሁ, በሌላ በኩል ግን አንዳንድ ጊዜዎች በ "ጥላ" ውስጥ ይቀራሉ, እነሱ በደንብ አልተረዱም. እንዲሁም፣ ቀደም ሲል የተገኙ ዕውቀት አንዳንድ አካላት ከአዲሶቹ ጋር ሊጣመሩ ይችላሉ። በዚህ መደራረብ ምክንያት ብዙ ጊዜ ስህተቶች ይከሰታሉ።

ስለዚህ ወደ ርዕሳችን ትንተና ከመቀጠላችን በፊት በእኩልነት እና በእኩልነት መካከል ያለውን ልዩነት፣ ስርዓቶቻቸውን እናስታውስ። ይህንን ለማድረግ, እነዚህ የሂሳብ ፅንሰ-ሀሳቦች ምን እንደሆኑ እንደገና ማብራራት አስፈላጊ ነው. እኩልነት ሁል ጊዜ እኩልነት ነው ፣ እና እሱ ሁል ጊዜ ከአንድ ነገር ጋር እኩል ነው (በሂሳብ ፣ ይህ ቃል በ ምልክት) ይገለጻል። አለመመጣጠን አንድ እሴት ከሌላው የሚበልጥ ወይም ያነሰ ወይም ተመሳሳይ እንዳልሆኑ ማረጋገጫ የያዘ ሞዴል ነው። ስለዚህ, በመጀመሪያ, ስለ እኩልነት መናገር ተገቢ ነው, በሁለተኛው ውስጥ, ምንም ያህል ግልጽ ቢመስልም.ስሙ ራሱ, ስለ መጀመሪያው መረጃ እኩልነት. የእኩልታዎች እና የእኩልታዎች ስርዓቶች በተግባር አንዳቸው ከሌላው አይለያዩም እና የመፍትሄዎቻቸው ዘዴዎች ተመሳሳይ ናቸው። ብቸኛው ልዩነት የቀደመው እኩልነትን ሲጠቀም የኋለኛው ደግሞ አለመመጣጠኖችን ይጠቀማል።

የእኩልነት ዓይነቶች

ሁለት አይነት አለመመጣጠኖች አሉ፡ቁጥር እና ከማይታወቅ ተለዋዋጭ ጋር። የመጀመሪያው ዓይነት እርስ በርስ እኩል ያልሆኑ እሴቶች (ቁጥሮች) ቀርበዋል, ለምሳሌ, 8 > 10. ሁለተኛው ዓይነት የማይታወቅ ተለዋዋጭ (በአንዳንድ የላቲን ፊደላት, ብዙውን ጊዜ X) የያዙ አለመመጣጠን ነው. ይህ ተለዋዋጭ መገኘት ያስፈልገዋል. እንደ ብዛቱ መጠን የሒሳብ ሞዴል ከአንዱ ጋር እኩል አለመሆንን ይለያል (የእነሱ እኩልነት ስርዓት ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ይመሰርታሉ) ወይም ብዙ ተለዋዋጮች (የእነሱ እኩልነት ስርዓት ከብዙ ተለዋዋጮች ጋር ይመሰርታሉ)።

የመጨረሻዎቹ ሁለት ዓይነቶች እንደ የግንባታቸው ደረጃ እና እንደ የመፍትሄው ውስብስብነት ደረጃ ቀላል እና ውስብስብ ተከፍለዋል። ቀላል የሆኑት ደግሞ የመስመር አለመመጣጠን ተብለው ይጠራሉ. እነሱ በተራው, ጥብቅ እና ጥብቅ ያልሆኑ ተከፋፍለዋል. አንድ እሴት ያነሰ ወይም የበለጠ መሆን እንዳለበት በጥብቅ በተለይ “ይናገሩ” ፣ ስለዚህ ይህ ንጹህ አለመመጣጠን ነው። በርካታ ምሳሌዎች አሉ፡- 8 x + 9 > 2፣ 100 - 3 x > 5፣ ወዘተ ጥብቅ ያልሆኑትም እኩልነትን ያካትታሉ። ያም ማለት አንድ እሴት ከሌላ እሴት (ምልክት "≧") የበለጠ ወይም እኩል ሊሆን ይችላል ወይም ከሌላ እሴት (ምልክት "≦") ያነሰ ወይም እኩል ሊሆን ይችላል. አሁንም መስመር ላይበእኩልነት ውስጥ, ተለዋዋጭው በሥሩ ላይ አይቆምም, ካሬ, በምንም ነገር አይከፋፈልም, ለዚህም ነው "ቀላል" የሚባሉት. ውስብስብ የሆኑት የማይታወቁ ተለዋዋጭዎችን ያካትታሉ, ግኝታቸው የበለጠ የሂሳብ ስራዎችን ይጠይቃል. እነሱ ብዙውን ጊዜ በካሬ ፣ በኩብ ወይም በሥሩ ስር ናቸው ፣ እነሱ ሞዱል ፣ ሎጋሪዝም ፣ ክፍልፋይ ፣ ወዘተ ሊሆኑ ይችላሉ ። ግን የእኛ ተግባር የእኩልነት ስርዓቶችን መፍትሄ መረዳት ስለሆነ ፣ ስለ መስመራዊ እኩልነት ስርዓት እንነጋገራለን ። ሆኖም ግን, ከዚያ በፊት, ስለ ንብረታቸው ጥቂት ቃላት መናገር አለባቸው.

የእኩልነት ባህሪያት

የእኩልነት ባህሪያት የሚከተሉትን ድንጋጌዎች ያካትታሉ፡

1. የእኩልነት ምልክቱ የተገለበጠው የጎን ቅደም ተከተል የመቀየር ክዋኔ ከተተገበረ (ለምሳሌ t₁ ≦ t₂ ከሆነ ፣ ከዚያ ቲ ₂ ≧ t₁።

።

2. የሁለቱም የእኩልነት ክፍሎች አንድ አይነት ቁጥር ወደራስዎ ለመጨመር ያስችሉዎታል (ለምሳሌ t₁ ≦ t₂ ከሆነ፣ ከዚያ t ₁ + ቁጥር ≦ t₂ + ቁጥር።
3. ሁለት ወይም ከዚያ በላይ የሆኑ አለመመጣጠኖች ከተመሳሳይ አቅጣጫ ምልክት ጋር ግራ እና ቀኝ ክፍሎቻቸውን ለመጨመር ያስችሉዎታል (ለምሳሌ t₁ ≧ t_{2 ከሆነ} ፣ t₃ ≧ t₄፣ ከዚያ t₁+t ₃ ≧ t₂+t₄።

።

4. የሁለቱም የእኩልነት ክፍሎች እራሳቸውን በተመሳሳይ አዎንታዊ ቁጥር እንዲባዙ ወይም እንዲከፋፈሉ ያስችላቸዋል (ለምሳሌ t₁ ≦ t_{2እና ቁጥር ≦ 0፣ ከዚያ t}1 _{≧ ቁጥር t}2_።።
5. ሁለት ወይም ከዚያ በላይ የሆኑ አወንታዊ ቃላት ያላቸው እና የተመሳሳይ አቅጣጫ ምልክት ያላቸው አለመመጣጠን ይፈቅዳሉእርስ በርሳችሁ ተባዙ (ለምሳሌ t₁ ከሆነ ≦ t₂፣ t₃ ≦ t4_{፣ t}1_{፣ t}2_{፣ t}3_{፣ ቲ} 4 _{≧ 0 ከዚያ t}1 _t3 _{≦ t}2 ቲ₄)።
6. ሁለቱም የእኩልነት ክፍሎች እራሳቸውን በተመሳሳይ አሉታዊ ቁጥር እንዲባዙ ወይም እንዲከፋፈሉ ያስችላቸዋል፣ነገር ግን የእኩልነት ምልክቱ ይቀየራል (ለምሳሌ t₁ ≦ t2 _{እና ቁጥር ≦ 0፣ ከዚያ ቁጥር t}1 _{≧ ቁጥር t}2_።።
7. ሁሉም አለመመጣጠኖች ተለዋዋጭ ናቸው (ለምሳሌ t₁ ≦ t₂ እና t_{2 ከሆነ≦ t}3_{፣ ከዚያ t}1 _{≦ t}3_።።

አሁን፣ ከእኩልነት ጋር የተያያዙ የንድፈ ሃሳቡን ዋና ድንጋጌዎች ካጠናን በኋላ፣ ስርዓቶቻቸውን ለመፍታት ወደ ህጎቹ ግምት በቀጥታ መቀጠል እንችላለን።

የእኩልነት ስርዓቶች መፍትሄ። አጠቃላይ መረጃ. መፍትሄዎች

ከላይ እንደተገለፀው፣መፍትሄው የተለዋዋጭ እሴቶች ሁሉንም የተሰጠውን ስርዓት እኩልነት የሚያሟላ ነው። የእኩልነት ስርዓቶች መፍትሄው በመጨረሻ ወደ አጠቃላይ ስርዓቱ መፍትሄ የሚያመጣ ወይም ምንም መፍትሄ እንደሌለው የሚያረጋግጡ የሂሳብ ስራዎችን መተግበር ነው። በዚህ ሁኔታ, ተለዋዋጭው ባዶ የቁጥር ስብስብን (በሚከተለው የተጻፈ ነው-ተለዋዋጭውን የሚያመለክት ፊደል ∈ (ምልክቱ "የባለቤትነት") ø (ምልክት "ባዶ ስብስብ"), ለምሳሌ, x ∈ ø () እንደሚከተለው ይነበባል፡- “ተለዋዋጭ “x” የባዶ ስብስብ ነው) የእኩልነት ስርዓቶችን ለመፍታት ብዙ መንገዶች አሉ።ግራፊክ, አልጀብራ, የመተካት ዘዴ. ብዙ የማይታወቁ ተለዋዋጮች ያላቸውን እነዚያን የሂሳብ ሞዴሎች እንደሚያመለክቱ ልብ ሊባል ይገባል። አንድ ብቻ ባለበት ሁኔታ፣የክፍተት ዘዴው ይሰራል።

የግራፊክ ዘዴ

የእኩልነት ስርዓትን ከብዙ ያልታወቁ (ከሁለት ወይም ከዚያ በላይ) ለመፍታት ያስችላል። ለዚህ ዘዴ ምስጋና ይግባውና የመስመሮች እኩልነት ስርዓት በቀላሉ እና በፍጥነት መፍትሄ ያገኛል, ስለዚህ በጣም የተለመደው ዘዴ ነው. ይህ የሆነበት ምክንያት ማሴር የመፃፍ የሂሳብ ስራዎችን መጠን ስለሚቀንስ ነው። በተለይም ብዙ ስራዎች ሲሰሩ እና ትንሽ ልዩነት ሲፈልጉ በእርሳሱ ላይ ትንሽ እረፍት ማድረግ, እርሳስን ከገዥው ጋር ማንሳት እና በእነሱ እርዳታ ተጨማሪ እርምጃዎችን ማከናወን በጣም ደስ ይላል. ሆኖም አንዳንዶች ይህን ዘዴ አይወዱትም ምክንያቱም ከስራው መውጣት እና የአዕምሮ እንቅስቃሴዎን ወደ ስዕል መቀየር አለብዎት. ሆኖም፣ በጣም ውጤታማ መንገድ ነው።

የእኩልነት ስርዓትን በግራፊክ ዘዴ ለመፍታት የእያንዳንዱን እኩልነት አባላትን ወደ ግራ ጎናቸው ማስተላለፍ ያስፈልጋል። ምልክቶቹ ይገለበጣሉ, ዜሮ በቀኝ በኩል መፃፍ አለበት, ከዚያም እያንዳንዱ እኩልነት በተናጠል መፃፍ አለበት. በውጤቱም, ተግባራት ከእኩልነት የተገኙ ይሆናሉ. ከዚያ በኋላ እርሳስ እና ገዢ ማግኘት ይችላሉ: አሁን የተገኘውን እያንዳንዱን ተግባር ግራፍ መሳል ያስፈልግዎታል. በመገናኛቸው መካከል ያለው አጠቃላይ የቁጥሮች ስብስብ ለእኩልነት ስርዓት መፍትሄ ይሆናል።

አልጀብራ መንገድ

የእኩልነት ስርዓትን በሁለት የማይታወቁ ተለዋዋጮች እንዲፈቱ ይፈቅድልዎታል። አለመመጣጠኖች አንድ አይነት የእኩልነት ምልክት ሊኖራቸው ይገባል (ይህም “ከታላቁ” ምልክት ብቻ ወይም “ከ” ያነሰ” ምልክት ብቻ ወዘተ መያዝ አለባቸው) ምንም እንኳን ውስንነቶች ቢኖሩትም ይህ ዘዴ በጣም የተወሳሰበ ነው። በሁለት ደረጃዎች ነው የሚተገበረው።

የመጀመሪያው ከማይታወቁ ተለዋዋጮች አንዱን ማስወገድን ያካትታል። በመጀመሪያ እሱን መምረጥ ያስፈልግዎታል, ከዚያ ከዚህ ተለዋዋጭ ፊት ለፊት ያሉት ቁጥሮች መኖራቸውን ያረጋግጡ. ምንም ከሌሉ (ከዚያ ተለዋዋጭው አንድ ነጠላ ፊደል ይመስላል), ከዚያ ምንም ነገር አንቀይርም, ካለ (የተለዋዋጭው አይነት ለምሳሌ 5y ወይም 12y ይሆናል), ከዚያም ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው. በእያንዳንዱ እኩልነት ከተመረጠው ተለዋዋጭ ፊት ለፊት ያለው ቁጥር ተመሳሳይ ነው. ይህንን ለማድረግ እያንዳንዱን የእኩልነት አባላትን በጋራ ማባዛት ያስፈልግዎታል ፣ ለምሳሌ ፣ 3y በመጀመሪያ አለመመጣጠን ፣ እና 5y በሁለተኛው ውስጥ ከተጻፈ ፣ ከዚያ ሁሉንም የመጀመሪያ እኩልነት አባላት በ 5 ማባዛት ያስፈልግዎታል።, እና ሁለተኛው በ 3. በቅደም ተከተል 15 እና 15y ያገኛሉ።

የውሳኔው ሁለተኛ ደረጃ። የእያንዳንዱን እኩልነት የግራ ጎን ወደ ቀኝ ጎኖቻቸው በማስተላለፍ በእያንዳንዱ ቃል ምልክት ላይ ወደ ተቃራኒው መለወጥ አስፈላጊ ነው, በቀኝ በኩል ዜሮን ይፃፉ. ከዚያ አስደሳችው ክፍል ይመጣል-የተመረጠውን ተለዋዋጭ (አለበለዚያ "መቀነስ" በመባል ይታወቃል) እኩል ያልሆኑትን እየጨመሩ ማስወገድ. መፍትሄ ከሚያስፈልገው ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት ያገኛሉ. ከዚያ በኋላ, ተመሳሳይ ነገር ማድረግ አለብዎት, በሌላ የማይታወቅ ተለዋዋጭ ብቻ. የተገኘው ውጤት የስርዓቱ መፍትሄ ይሆናል።

የመተኪያ ዘዴ

አዲስ ተለዋዋጭ የማስተዋወቅ እድል ሲኖርዎ የእኩልነት ስርዓትን እንዲፈቱ ይፈቅድልዎታል። ብዙውን ጊዜ ይህ ዘዴ ጥቅም ላይ የሚውለው በአንደኛው የእኩልነት ቃል ውስጥ የማይታወቅ ተለዋዋጭ ወደ አራተኛው ኃይል ሲጨምር ነው, በሌላኛው ደግሞ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ነው. ስለዚህ ይህ ዘዴ በስርአቱ ውስጥ ያለውን የእኩልነት መጠን ለመቀነስ ያለመ ነው. የናሙና አለመመጣጠን x⁴ - x² - 1 ≦ 0 በሚከተለው መንገድ ተፈቷል። አዲስ ተለዋዋጭ ተካቷል, ለምሳሌ t. እነሱ ይጽፋሉ: "T=x²" ይጽፋሉ, ከዚያም ሞዴሉ በአዲስ መልክ ይጻፋል. በእኛ ሁኔታ t² - t - 1 ≦0 እናገኛለን። ይህ ኢ-እኩልነት በክፍለ ጊዜው ዘዴ (ስለ እሱ ትንሽ ቆይቶ) መፍታት ያስፈልገዋል, ከዚያም ወደ ተለዋዋጭ X ይመለሱ, ከዚያም ከሌላ እኩልነት ጋር ተመሳሳይ ያድርጉት. የተቀበሉት መልሶች የስርዓቱ ውሳኔ ይሆናሉ።

የመሃከል ዘዴ

ይህ የእኩልነት ስርዓቶችን ለመፍታት ቀላሉ መንገድ ነው፣ እና በተመሳሳይ ጊዜ ሁለንተናዊ እና ሰፊ ነው። በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት, እና በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ውስጥ እንኳን ጥቅም ላይ ይውላል. ዋናው ነገር ተማሪው በማስታወሻ ደብተር ውስጥ በተዘጋጀው የቁጥር መስመር ላይ የእኩልነት ክፍተቶችን በመፈለጉ ላይ ነው (ይህ ግራፍ አይደለም ፣ ግን ከቁጥሮች ጋር ተራ ቀጥተኛ መስመር)። የእኩልነት ክፍተቶች እርስ በርስ በሚገናኙበት ቦታ, የስርዓቱ መፍትሄ ተገኝቷል. የክፍተት ዘዴን ለመጠቀም እነዚህን ደረጃዎች ይከተሉ፡

1. የእያንዳንዱ እኩልነት አባላት በሙሉ ወደ ግራ በኩል ተላልፈዋል ምልክቱን ወደ ተቃራኒው (ዜሮ በቀኝ በኩል ተጽፏል)።
2. አለመመጣጠን ለየብቻ ተጽፏል፣ የእያንዳንዳቸው መፍትሄም ተወስኗል።
3. የእኩልነት መጋጠሚያዎች በቁጥርቀጥታ። በእነዚህ መገናኛዎች ላይ ያሉ ሁሉም ቁጥሮች መፍትሄ ይሆናሉ።

በየትኛው መንገድ መጠቀም ይቻላል?

በእርግጥ በጣም ቀላል እና ምቹ የሚመስለው፣ነገር ግን ስራዎች የተወሰነ ዘዴ የሚጠይቁበት ጊዜ አለ። ብዙውን ጊዜ, ግራፍ በመጠቀም ወይም የጊዜ ክፍተት ዘዴን በመጠቀም መፍታት ያስፈልግዎታል ይላሉ. የአልጀብራ ዘዴ እና ምትክ በጣም አልፎ አልፎ ጥቅም ላይ ይውላሉ ወይም በጭራሽ አይደሉም ፣ ምክንያቱም እነሱ በጣም ውስብስብ እና ግራ የሚያጋቡ ናቸው ፣ እና በተጨማሪ ፣ እነሱ የበለጠ የእኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት የበለጠ ጥቅም ላይ የሚውሉት ከእኩልነት ይልቅ ነው ፣ ስለሆነም ግራፎችን እና ክፍተቶችን መሳል ያስፈልግዎታል። ታይነትን ያመጣሉ፣ ይህም ለሂሳብ ስራዎች ቀልጣፋ እና ፈጣን ምግባር አስተዋፅዖ ማድረግ አይችልም።

የሆነ ነገር ካልሰራ

በአንድ የተወሰነ ርዕስ በአልጀብራ ጥናት ወቅት፣በእርግጥ በአረዳድ ላይ ችግሮች ሊኖሩ ይችላሉ። እና ይሄ የተለመደ ነው, ምክንያቱም አእምሯችን የተነደፈው ውስብስብ ነገሮችን በአንድ ጊዜ ለመረዳት በማይችል መንገድ ነው. ብዙውን ጊዜ አንድን አንቀፅ እንደገና ማንበብ, የአስተማሪን እርዳታ መውሰድ ወይም የተለመዱ ችግሮችን መፍታት ያስፈልግዎታል. በእኛ ሁኔታ, ለምሳሌ, እንደዚህ ያሉ ይመስላሉ: "የእኩልነት ስርዓቱን 3 x + 1 ≧ 0 እና 2 x - 1 > 3" ይፍቱ. ስለዚህ፣ የግል ጥረት፣ የውጭ ሰዎች እርዳታ እና ልምምድ ማንኛውንም ውስብስብ ርዕስ ለመረዳት ያግዛል።

ረሸብኒክ?

እና የመፍትሄው መጽሃፍም በጣም ጥሩ ነው ነገር ግን የቤት ስራን ለማጭበርበር ሳይሆን እራስን ለመርዳት ነው። በእነሱ ውስጥ ከመፍትሔ ጋር እኩል ያልሆኑ ስርዓቶችን ማግኘት ይችላሉ, ይመልከቱእነሱን (እንደ አብነቶች ያሉ)፣ የመፍትሄው ደራሲ ስራውን እንዴት እንደተቋቋመ በትክክል ለመረዳት ይሞክሩ እና ከዚያ በራሱ ለመስራት ይሞክሩ።

ማጠቃለያ

አልጀብራ በትምህርት ቤት በጣም ከባድ ከሆኑ የትምህርት ዓይነቶች አንዱ ነው። ደህና, ምን ማድረግ ትችላለህ? ሒሳብ ሁሌም እንደዚህ ነው፡ ለአንዳንዶች በቀላሉ ይመጣል፣ ለሌሎች ደግሞ ከባድ ነው። ነገር ግን በማንኛውም ሁኔታ የአጠቃላይ ትምህርት መርሃ ግብር ማንኛውም ተማሪ ሊቋቋመው በሚችል መልኩ መዘጋጀቱ መታወስ አለበት. በተጨማሪም ፣ ብዙ ቁጥር ያላቸውን ረዳቶች ማስታወስ ያስፈልግዎታል። አንዳንዶቹ ከላይ ተጠቅሰዋል።