እነዚህ ጂኦሜትሪክ ቅርጾች በሁሉም ቦታ ከበውናል። ኮንቬክስ ፖሊጎኖች ተፈጥሯዊ ሊሆኑ ይችላሉ፣ ለምሳሌ እንደ ማር ወለላ፣ ወይም ሰው ሰራሽ (ሰው ሰራሽ)። እነዚህ አሃዞች የተለያዩ አይነት ሽፋኖችን ለማምረት, በሥዕል, በሥነ ሕንፃ, በጌጣጌጥ, ወዘተ. Convex polygons ሁሉም ነጥቦቻቸው በዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል አጠገብ ባሉ ጥንድ ጫፎች በኩል በሚያልፈው ቀጥተኛ መስመር ላይ በተመሳሳይ ጎን ላይ ያሉ ንብረቶች አሏቸው። ሌሎች ትርጓሜዎችም አሉ። ፖሊጎን ከጎኖቹ አንዱን ከያዘ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር አንፃር በአንድ ግማሽ አውሮፕላን ውስጥ የሚገኝ ከሆነ ኮንቬክስ ይባላል።
ኮንቬክስ ፖሊጎኖች
በአንደኛ ደረጃ ጂኦሜትሪ ሂደት ውስጥ ሁል ጊዜ ቀላል ፖሊጎኖች ብቻ ይታሰባሉ። የእንደዚህ አይነት ሁሉንም ባህሪያት ለመረዳትየጂኦሜትሪክ ቅርጾች, ተፈጥሮአቸውን ለመረዳት አስፈላጊ ነው. ለመጀመር, ማንኛውም መስመር ተዘግቷል ተብሎ እንደሚጠራ መረዳት አለበት, ጫፎቹ የሚገጣጠሙ ናቸው. ከዚህም በላይ በእሱ የተሠራው ምስል የተለያዩ ውቅሮች ሊኖሩት ይችላል. ፖሊጎን ቀላል የተዘጋ የተሰበረ መስመር ሲሆን በውስጡም አጎራባች ማገናኛዎች በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ አይገኙም. የእሱ አገናኞች እና ጫፎች እንደቅደም ተከተላቸው የዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ጎኖች እና ጫፎች ናቸው. ቀላል ፖሊላይን የራስ መጋጠሚያዎች ሊኖሩት አይገባም።
የፖሊጎን ጫፎች የአንዱን ጎኖቹን ጫፎች የሚወክሉ ከሆነ በአጠገብ ይባላሉ። የጂኦሜትሪክ ምስል n ኛ የቁመቶች ቁጥር ያለው እና ስለዚህም nth የጎን ቁጥር ያለው n-gon ይባላል። የተሰበረው መስመር ራሱ የዚህ ጂኦሜትሪክ ምስል ድንበር ወይም ኮንቱር ይባላል። ባለ ብዙ ጎን አውሮፕላን ወይም ጠፍጣፋ ባለ ብዙ ጎን በእሱ የታሰረ የማንኛውም አውሮፕላን የመጨረሻ ክፍል ይባላል። የዚህ ጂኦሜትሪክ ምስል አጎራባች ጎኖች ከአንድ ጫፍ የሚወጡ የተሰበረ መስመር ክፍሎች ይባላሉ። ከተለያዩ ባለብዙ ጎን ጫፎች የመጡ ከሆኑ አጠገባቸው አይሆኑም።
ሌሎች የኮንቬክስ ፖሊጎኖች ትርጓሜዎች
በአንደኛ ደረጃ ጂኦሜትሪ ውስጥ፣ የትኛው ፖሊጎን ኮንቬክስ ተብሎ እንደሚጠራ የሚያሳዩ በርካታ ተጨማሪ አቻ ትርጓሜዎች አሉ። እነዚህ ሁሉ መግለጫዎች እኩል እውነት ናቸው። ፖሊጎን እንደ ኮንቬክስ ይቆጠራል፡
• በውስጡ ያሉትን ሁለት ነጥቦች የሚያገናኘው እያንዳንዱ ክፍል ሙሉ በሙሉ በውስጡ ይገኛል፤
• በውስጡሁሉም ዲያግራኖሎች ይዋሻሉ፤
• ማንኛውም የውስጥ አንግል ከ180° አይበልጥም።
አንድ ባለ ብዙ ጎን ሁልጊዜ አውሮፕላንን በ2 ክፍሎች ይከፍላል። ከመካከላቸው አንዱ የተወሰነ ነው (በክበብ ውስጥ ሊዘጋ ይችላል), ሌላኛው ደግሞ ያልተገደበ ነው. የመጀመሪያው የውስጣዊው ክልል ይባላል, ሁለተኛው ደግሞ የዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ውጫዊ ክልል ነው. ይህ ፖሊጎን የበርካታ ግማሽ አውሮፕላኖች መገናኛ (በሌላ አነጋገር የጋራ አካል) ነው። በተጨማሪም፣ የብዙ ጎን በሆኑት ነጥቦች ላይ የሚያልቀው እያንዳንዱ ክፍል ሙሉ በሙሉ የሱ ነው።
የኮንቬክስ ፖሊጎኖች
የኮንቬክስ ፖሊጎን ትርጓሜ ብዙ አይነት መኖራቸውን አያመለክትም። እና እያንዳንዳቸው የተወሰኑ መመዘኛዎች አሏቸው. ስለዚህ, የ 180 ° ውስጣዊ አንግል ያላቸው ኮንቬክስ ፖሊጎኖች ደካማ ኮንቬክስ ይባላሉ. ባለ ሶስት እርከኖች ያሉት ኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ ምስል ትሪያንግል፣ አራት - አራት ማዕዘን፣ አምስት - ባለ አምስት ጎን፣ ወዘተ ይባላል። ትሪያንግሎቹ ሾጣጣ ናቸው። ሁሉም ጫፎች በአንድ ክበብ ላይ የሚገኙበት የዚህ ዓይነቱ ጂኦሜትሪክ ምስል በክበብ ውስጥ ተቀርጿል. ከክበቡ አጠገብ ያሉት ጎኖቹ በሙሉ ቢነኩት ኮንቬክስ ፖሊጎን የተገረዘ ይባላል። ሁለት ፖሊጎኖች እኩል ናቸው የሚባሉት በሱፐርላይዜሽን መደራረብ ከቻሉ ብቻ ነው። የአውሮፕላን ፖሊጎን ባለ ብዙ ጎን አውሮፕላን ይባላል።(የአውሮፕላኑ አካል)፣ በዚህ ጂኦሜትሪክ አሃዝ የተገደበ።
መደበኛ ኮንቬክስ ፖሊጎኖች
መደበኛ ፖሊጎኖች እኩል ማዕዘኖች እና ጎኖች ያሏቸው ጂኦሜትሪክ ቅርጾች ናቸው። በውስጣቸው አንድ ነጥብ 0 አለ, እሱም ከእያንዳንዱ ጫፍ ተመሳሳይ ርቀት. የዚህ ጂኦሜትሪክ ምስል መሃል ተብሎ ይጠራል. ማዕከሉን ከዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ጫፎች ጋር የሚያገናኙት ክፍሎች አፖሆምስ ይባላሉ፣ ነጥብ 0ን ከጎኖቹ ጋር የሚያገናኙት ደግሞ ራዲየስ ይባላሉ።
አንድ መደበኛ ባለአራት ማዕዘን ካሬ ነው። ተመጣጣኝ ትሪያንግል እኩል ትሪያንግል ይባላል። ለእንደዚህ አይነት አሃዞች የሚከተለው ህግ አለ፡ እያንዳንዱ የኮንቬክስ ፖሊጎን ጥግ 180°(n-2)/ n፣
ነው።
የት n የዚህ ሾጣጣ ጂኦሜትሪክ አሃዝ ጫፎች ቁጥር ነው።
የማንኛውም መደበኛ ፖሊጎን አካባቢ የሚወሰነው በቀመር ነው፡
S=pሰ፣
በዚህ ፒ ከተሰጡት ባለ ብዙ ጎን የሁሉም ጎኖች ድምር ግማሽ ሲሆን h ደግሞ የአፖቴም ርዝመት ነው።
የኮንቬክስ ፖሊጎኖች ባህሪያት
ኮንቬክስ ፖሊጎኖች የተወሰኑ ንብረቶች አሏቸው። ስለዚህ, እንደዚህ አይነት የጂኦሜትሪክ ምስል 2 ነጥቦችን የሚያገናኝ ክፍል የግድ በውስጡ ይገኛል. ማረጋገጫ፡
P የተሰጠ ኮንቬክስ ፖሊጎን እንደሆነ አስብ። እኛ 2 የዘፈቀደ ነጥቦችን እንወስዳለን ፣ ለምሳሌ ፣ የ P ንብረት የሆነው A ፣ B. አሁን ባለው የኮንቬክስ ፖሊጎን ፍቺ መሠረት ፣ እነዚህ ነጥቦች በተመሳሳይ መስመር ላይ ይገኛሉ ፣ እሱም የ P ማንኛውንም ጎን ይይዛል።ስለዚህ AB እንዲሁ ይህ ንብረት አለው እና በፒ ውስጥ ይገኛል። ኮንቬክስ ፖሊጎን ሁል ጊዜ ከአንዱ ጫፎች በተሳሉ ዲያግራኖች ሙሉ በሙሉ ወደ ብዙ ትሪያንግሎች ሊከፋፈል ይችላል።
የኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ ቅርጾች ማዕዘኖች
የኮንቬክስ ፖሊጎን ማዕዘኖች በጎኖቹ የተሰሩ ማዕዘኖች ናቸው። ውስጣዊ ማዕዘኖች በተሰጠው የጂኦሜትሪክ ምስል ውስጣዊ ክልል ውስጥ ይገኛሉ. በጎኖቹ በኩል የሚፈጠረው አንግል በአንድ ጫፍ ላይ የሚሰበሰቡት የኮንቬክስ ፖሊጎን አንግል ይባላል። ከተሰጠው የጂኦሜትሪክ ምስል ውስጣዊ ማዕዘኖች አጠገብ ያሉ ማዕዘኖች ውጫዊ ይባላሉ. በውስጡ የሚገኝ እያንዳንዱ ባለ ሾጣጣ ፖሊጎን ጥግ፡
180° - x, x የውጪው አንግል እሴት በሆነበት። ይህ ቀላል ቀመር ለማንኛውም የዚህ አይነት ጂኦሜትሪክ ቅርጾች ይሰራል።
በአጠቃላይ ለውጫዊ ማዕዘኖች የሚከተለው ህግ አለ፡ እያንዳንዱ የኮንቬክስ ፖሊጎን አንግል በ180° እና በውስጣዊው አንግል እሴት መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው። ከ -180° እስከ 180° ድረስ እሴቶች ሊኖሩት ይችላል። ስለዚህ የውስጥ አንግል 120° ሲሆን የውጪው አንግል 60° ይሆናል።
የኮንቬክስ ፖሊጎኖች ድምር
የኮንቬክስ ፖሊጎን የውስጥ ማዕዘኖች ድምር በቀመር ተቀናብሯል፡
180°(n-2)፣
የት n የ n-gon ጫፎች ቁጥር ነው።
የኮንቬክስ ፖሊጎን ማዕዘኖች ድምር ለመቁጠር በጣም ቀላል ነው። ማንኛውንም እንደዚህ ያለ የጂኦሜትሪክ ምስል አስቡበት. በኮንቬክስ ፖሊጎን ውስጥ ያሉትን ማዕዘኖች ድምር ለመወሰን አስፈላጊ ነውአንዱን ጫፎች ከሌሎች ጫፎች ጋር ያገናኙ. በዚህ ድርጊት ምክንያት, (n-2) ትሪያንግሎች ተገኝተዋል. የማንኛውም ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር ሁልጊዜ 180 ° እንደሆነ እናውቃለን። ቁጥራቸው በማንኛውም ፖሊጎን (n-2) ስለሆነ የእንደዚህ አይነት ምስል ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር 180° x (n-2) ነው።
የኮንቬክስ ፖሊጎን ማዕዘኖች ድምር ማለትም ማንኛቸውም ሁለት ውስጣዊ እና ተያያዥ ውጫዊ ማዕዘኖች ለአንድ የተወሰነ ኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ ምስል ሁልጊዜ ከ180° ጋር እኩል ይሆናል። በዚህ መሰረት የሁሉንም ማዕዘኖች ድምር ማወቅ ትችላለህ፡
180 x n.
የውስጥ ማዕዘኖች ድምር 180°(n-2) ነው። በዚህ ላይ በመመስረት፣ የዚህ አሀዝ ውጫዊ ማዕዘኖች ድምር በቀመር ተቀናብሯል፡
180°n-180°-(n-2)=360°።
የየትኛውም ኮንቬክስ ፖሊጎን የውጪ ማዕዘኖች ድምር ሁል ጊዜ 360° (የጎኖቹ ብዛት ምንም ይሁን ምን) ይሆናል።
የኮንቬክስ ፖሊጎን ውጫዊ አንግል በአጠቃላይ በ180° እና በውስጣዊው አንግል ዋጋ መካከል ባለው ልዩነት ይወከላል::
ሌሎች የኮንቬክስ ባለብዙ ጎን ንብረቶች
ከእነዚህ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች መሰረታዊ ባህሪያት በተጨማሪ እነሱን በሚጠቀሙበት ጊዜ የሚነሱ ሌሎች አሏቸው። ስለዚህ, ማንኛቸውም ፖሊጎኖች ወደ ብዙ ኮንቬክስ n-ጎን ሊከፋፈሉ ይችላሉ. ይህንን ለማድረግ እያንዳንዱን ጎኖቹን መቀጠል እና ይህንን የጂኦሜትሪክ ምስል በእነዚህ ቀጥታ መስመሮች መቁረጥ ያስፈልጋል. እንዲሁም የእያንዳንዳቸው ጫፎች ከሁሉም ጫፎች ጋር እንዲገጣጠሙ ማንኛውንም ፖሊጎን ወደ ብዙ ኮንቬክስ ክፍሎች መከፋፈል ይቻላል ። ከእንዲህ ዓይነቱ የጂኦሜትሪክ ምስል, ትሪያንግሎች ሁሉንም በመሳል በቀላሉ ሊሠሩ ይችላሉዲያግራኖች ከአንድ ጫፍ. ስለዚህም ማንኛውም ፖሊጎን ውሎ አድሮ ወደ ተወሰኑ የሶስት ማዕዘኖች መከፋፈል ይችላል ይህም ከእንደዚህ አይነት የጂኦሜትሪክ ቅርጾች ጋር ተያይዘው የሚመጡ ችግሮችን ለመፍታት በጣም ጠቃሚ ሆኖ ተገኝቷል።
የኮንቬክስ ባለብዙ ጎን ፔሪሜትር
የተሰበረ መስመር ክፍሎች፣ የብዙ ጎን ጎን ይባላሉ፣ ብዙ ጊዜ የሚገለጹት በሚከተሉት ፊደላት፡ ab፣ bc፣ cd፣ de, ea ነው። እነዚህ ቁመቶች a, b, c, d, e ያላቸው የጂኦሜትሪክ ምስል ጎኖች ናቸው. የዚህ ኮንቬክስ ፖሊጎን የሁሉም ጎኖች ርዝመት ድምር ፔሪሜትር ይባላል።
ፖሊጎን ዙሪያ
ኮንቬክስ ፖሊጎኖች ሊቀረጹ እና ሊገረዙ ይችላሉ። የዚህን የጂኦሜትሪክ ቅርጽ ሁሉንም ጎኖች የሚነካ ክበብ በእሱ ውስጥ ተቀርጿል. እንዲህ ዓይነቱ ፖሊጎን የተገረዘ ይባላል. በፖሊጎን ውስጥ የተቀረጸው የክበብ ማእከል በተሰጠው የጂኦሜትሪክ ምስል ውስጥ ያሉት የሁሉም ማዕዘኖች የቢሴክተሮች መገናኛ ነጥብ ነው። የዚህ ባለ ብዙ ጎን ቦታ፡
ነው
S=pr፣
በሩ የተቀረጸው ክበብ ራዲየስ ሲሆን p ደግሞ የተሰጠው ባለብዙ ጎን ግማሽ ፔሪሜትር ነው።
የፖሊጎን ጫፎችን የያዘ ክበብ በዙሪያው የተገረዘ ይባላል። ከዚህም በላይ ይህ ኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ ምስል የተቀረጸ ይባላል. እንደዚህ ባለ ፖሊጎን ዙሪያ የተከበበው የክበቡ መሃል የሁሉም ጎኖች ቀጥ ያሉ ብስክሌቶች የሚባሉት መገናኛ ነጥብ ነው።
የኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ ቅርጾች ዲያጎኖች
የኮንቬክስ ፖሊጎን ዲያግራኖች ክፍሎች ናቸው።ተያያዥ ያልሆኑ ጫፎችን ያገናኙ. እያንዳንዳቸው በዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ውስጥ ይገኛሉ. የዚህ የ n-gon ሰያፍ ብዛት በቀመር ተቀናብሯል፡
N=n (n - 3)/ 2.
የኮንቬክስ ፖሊጎን ሰያፍ ብዛት በአንደኛ ደረጃ ጂኦሜትሪ ውስጥ ትልቅ ሚና ይጫወታል። እያንዳንዱን ኮንቬክስ ፖሊጎን መከፋፈል የሚቻልበት የሶስት ማዕዘኖች ቁጥር (K) በሚከተለው ቀመር ይሰላል፡
K=n - 2.
የኮንቬክስ ፖሊጎን የዲያግኖሎች ብዛት ሁል ጊዜ በቋሚዎቹ ብዛት ይወሰናል።
የኮንቬክስ ባለብዙ ጎን መበስበስ
በአንዳንድ ሁኔታዎች የጂኦሜትሪክ ችግሮችን ለመፍታት ኮንቬክስ ፖሊጎን ወደ ብዙ ትሪያንግሎች ከማይቆራረጡ ዲያግራኖች ጋር መከፋፈል ያስፈልጋል። ይህ ችግር የተወሰነ ቀመር በማውጣት ሊፈታ ይችላል።
የችግሩ ፍቺ፡ ትክክለኛው የኮንቬክስ n-ጎን ክፍልፍል ወደ ብዙ ትሪያንግሎች እንጥራው በዚህ የጂኦሜትሪክ ምስል ጫፍ ላይ ብቻ በሚቆራረጡ ዲያግኖሎች።
መፍትሔ፡ Р1፣ Р2, Р3 …, Pn የዚህ n-gon ጫፎች ናቸው እንበል። Xn ቁጥር የክፍሎቹ ቁጥር ነው። የተገኘውን የጂኦሜትሪክ ምስል Pi Pn ዲያግራን በጥንቃቄ እንመርምር። በማናቸውም መደበኛ ክፍልፋዮች P1 Pn የአንድ የተወሰነ ትሪያንግል P1 Pi Pn ነው፣ እሱም 1<i<n አለው። ከዚህ በመቀጠል i=2, 3, 4 …, n-1, ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ጉዳዮችን የሚያካትቱ (n-2) የእነዚህ ክፍልፋዮች ቡድኖች እናገኛለን።
እኔ=2 አንድ የቋሚ ክፍልፋዮች ቡድን እንሁን፣ ሁልጊዜም ሰያፍ Р2 Pn ይይዛል። በውስጡ የሚገቡት የክፍሎች ብዛት ከክፍልፋዮች ቁጥር ጋር ተመሳሳይ ነው(n-1)-ጎን P2 P3 P4… Pn. በሌላ አነጋገር ከXn-1 ጋር እኩል ነው።
ከሆነ i=3፣ እንግዲያውስ ይህ ሌላኛው የክፍሎች ቡድን ሁል ጊዜ ዲያግኖች Р3 Р1 እና Р3 Pn ይይዛል። በዚህ ሁኔታ, በዚህ ቡድን ውስጥ የተካተቱት መደበኛ ክፍልፋዮች ቁጥር ከ (n-2) -ጎን P3 P4 … Pn. በሌላ አነጋገር ከXn-2 ጋር እኩል ይሆናል።
Let i=4፣ ከዚያ በሦስት ማዕዘኖች መካከል መደበኛ ክፍልፍል በእርግጠኝነት ሶስት ማዕዘን P1 P4 Pn ይይዛል፣ ወደ እሱ አራት ማዕዘን P1 P2 P3 P4፣ (n-3)-gon P4 P5 … Pn ይቀላቀላል።. የዚህ አራት ማዕዘን ቋሚ ክፍልፋዮች ቁጥር X4 ነው, እና የ (n-3) -ጎን ክፍልፋዮች ቁጥር Xn-3 ነው. ከላይ በተጠቀሰው መሰረት, በዚህ ቡድን ውስጥ የተካተቱት ትክክለኛው ክፍልፋዮች ጠቅላላ ቁጥር Xn-3 X4 ነው ማለት እንችላለን. i=4, 5, 6, 7… ያላቸው ሌሎች ቡድኖች Xn-4 X5፣ Xn-5 X6፣ Xn-6 X7 … መደበኛ ክፍልፋዮችን ይይዛሉ።
Let i=n-2፣ ከዚያ በዚህ ቡድን ውስጥ ያሉት ትክክለኛ ክፍፍሎች ቁጥር i=2 (በሌላ አነጋገር ከ Xn-1 ጋር እኩል ነው) በቡድን ውስጥ ካሉት ክፍፍሎች ጋር ተመሳሳይ ይሆናል።
ከX1=X2=0, X3=1, X4=2…፣ከዚያ የሁሉም የኮንቬክስ ፖሊጎን ክፍልፋዮች ቁጥር፡
ነው።
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1።
ምሳሌ፡
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
ከውስጥ አንድ ሰያፍ የሚያቋርጡ ትክክለኛ ክፍልፋዮች ቁጥር
ልዩ ጉዳዮችን ሲፈትሹ አንድ ሰው እዚህ መድረስ ይችላል።የኮንቬክስ n-ጎን ሰያፍ ብዛት የዚህ ቁጥር ክፍልፋዮች ውጤት በ(n-3) እኩል ነው የሚል ግምት።
የዚህ ግምት ማረጋገጫ፡ አስቡት P1n=Xn(n-3)፣ ከዚያ ማንኛውም n-gon ወደ (n-2)-triangles ሊከፋፈል ይችላል። ከዚህም በላይ አንድ (n-3) -አራት ማዕዘን ከነሱ ሊጠቃለል ይችላል. ከዚህ ጋር, እያንዳንዱ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ሰያፍ ይኖረዋል. በዚህ ኮንቬክስ ጂኦሜትሪክ አሃዝ ውስጥ ሁለት ዲያግራኖች ሊሳቡ ስለሚችሉ፣ ይህ ማለት ተጨማሪ (n-3) ዲያግራንሎች በማንኛውም (n-3) -አራት-አራት ጎኖች ሊሳሉ ይችላሉ። በዚህ ላይ በመመስረት, በማንኛውም መደበኛ ክፍልፍል ውስጥ የዚህን ችግር ሁኔታዎች የሚያሟሉ (n-3) -ዲያጎን መሳል ይቻላል ብለን መደምደም እንችላለን.
የኮንቬክስ ፖሊጎኖች አካባቢ
ብዙ ጊዜ፣ የተለያዩ የኤሌሜንታሪ ጂኦሜትሪ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ፣ የኮንቬክስ ፖሊጎን አካባቢን መወሰን አስፈላጊ ይሆናል። (Xi. Yi)፣ i=1, 2, 3… n የራስ-መጋጠሚያዎች የሌሉት የአንድ ፖሊጎን የሁሉም አጎራባች ጫፎች መጋጠሚያዎች ቅደም ተከተል ነው ብለው ያስቡ። በዚህ አጋጣሚ አካባቢው የሚሰላው በሚከተለው ቀመር ነው፡
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1))፣
የት (X1፣ Y1)=(Xn +1፣ Yn + 1)።
