ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎች። የቪዬታ ቀመር ለኳድራቲክ እኩልታ

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-17 05:15

ኳድሪክ እኩልታዎች ብዙ ጊዜ በሂሳብ እና ፊዚክስ ውስጥ በበርካታ ችግሮች ውስጥ ስለሚታዩ እያንዳንዱ ተማሪ መፍታት መቻል አለበት። ይህ መጣጥፍ ባለአራት እኩልታዎችን ለመፍታት ዋና ዋና ዘዴዎችን ይዘረዝራል፣ እንዲሁም የአጠቃቀም ምሳሌዎችን ይሰጣል።

ምን አይነት እኩልታ ኳድራቲክ ይባላል

በመጀመሪያ ፣ ጽሑፉ ስለ ምን እንደሚሆን በተሻለ ለመረዳት የዚህን አንቀፅ ጥያቄ እንመልሳለን። ስለዚህ፣ ኳድራቲክ እኩልታ የሚከተለው አጠቃላይ ቅጽ አለው፡- c + bx+ax²=0፣ ሀ፣ b፣ c አንዳንድ ቁጥሮች ሲሆኑ እነሱም ኮፊፊሴቲቭ ይባላሉ። እዚህ a≠0 የግዴታ ሁኔታ ነው፣ ያለበለዚያ የተጠቆመው እኩልታ ወደ መስመራዊ አንድ ይቀየራል። የተቀሩት አሃዞች (b፣ c) ዜሮን ጨምሮ ማንኛውንም እሴቶችን ሊወስዱ ይችላሉ። ስለዚህም እንደ ax²=0፣ b=0 እና c=0፣ ወይም c+ax²=0፣ የት b=0፣ ወይም bx+ax²=0፣ c=0 ደግሞ ባለአራት እኩልታዎች ሲሆኑ እነዚህም ያልተሟሉ ይባላሉ።ነፃ ቃል ሐ ነው፣ ወይም ሁለቱም ጠፍተዋል።

አንድ=1 ተቀንሷል ተብሎ የሚጠራበት ቀመር ማለትም ቅጹ አለው፡ x² + с/a +(b/a)x=0።

የኳድራቲክ እኩልታ መፍትሄው እኩልነቱን የሚያረካ የ x እሴቶችን ማግኘት ነው። እነዚህ እሴቶች ሥር ይባላሉ. እየተገመገመ ያለው ቀመር የሁለተኛ ዲግሪ መግለጫ ስለሆነ ይህ ማለት ከፍተኛው የሥሩ ቁጥር ከሁለት መብለጥ አይችልም ማለት ነው።

የካሬ እኩልታዎችን ለመፍታት ምን ዘዴዎች አሉ

በአጠቃላይ 4 የመፍትሄ ዘዴዎች አሉ። ስማቸው ከዚህ በታች ተዘርዝሯል፡

1. በመፍጠር ላይ።
2. ወደ ካሬው መጨመር።
3. የሚታወቅ ቀመር በመጠቀም (በአድልዎ በኩል)።
4. የመፍትሄው ዘዴ ጂኦሜትሪክ ነው።

ከላይ ካለው ዝርዝር እንደምታዩት የመጀመሪያዎቹ ሦስቱ ዘዴዎች አልጀብራ ናቸው ስለዚህም ከመጨረሻው በበለጠ በብዛት ጥቅም ላይ ይውላሉ ይህም ተግባርን ማቀድን ያካትታል።

የቪታ ቲዎሬምን በመጠቀም የካሬ እኩልታዎችን ለመፍታት ሌላ መንገድ አለ። ከላይ ባለው ዝርዝር ውስጥ 5ኛ ሊካተት ይችላል፣ነገር ግን ይህ አልተደረገም፣ የቪዬታ ቲዎሬም የ3ኛው ዘዴ ቀላል ውጤት ስለሆነ።

በኋላ በጽሁፉ ውስጥ የተሰየሙትን የመፍትሄ ዘዴዎችን በዝርዝር እንመለከታለን፣ እንዲሁም የተወሰኑ የእኩልታዎችን መሰረት ለማግኘት የአጠቃቀም ምሳሌዎችን እንሰጣለን።

ዘዴ 1። ምክንያት

ለዚህ ዘዴ በኳድራቲክ እኩልታዎች ሂሳብ ውስጥ፣ ቆንጆ አለ።ስም፡ ፋክተሬሽን። የዚህ ዘዴ ዋናው ነገር እንደሚከተለው ነው-የአራት እኩልታዎችን እንደ ሁለት ቃላት (መግለጫዎች) ውጤት ማቅረብ አስፈላጊ ነው, እሱም ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለበት. ከእንደዚህ አይነት ውክልና በኋላ፣ የምርት ንብረቱን መጠቀም ይችላሉ፣ ይህም ከዜሮ ጋር እኩል የሚሆነው አንድ ወይም ከዚያ በላይ (ሁሉም) አባላት ዜሮ ሲሆኑ ብቻ ነው።

አሁን የእኩልቱን ሥሮች ለማግኘት መከናወን ያለባቸውን የተወሰኑ ድርጊቶች ቅደም ተከተል አስቡበት፡

1. በሌላኛው ክፍል (በቀኝ) 0 ብቻ እንዲቀር ሁሉንም አባላት ወደ አንድ የአገላለጹ ክፍል (ለምሳሌ ወደ ግራ) ይውሰዱ።
2. የቃላቶችን ድምር በአንድ የእኩልታ ክፍል እንደ የሁለት መስመር እኩልታዎች ውጤት ያቅርቡ።
3. እያንዳንዱን የመስመር አገላለጾችን ወደ ዜሮ ያቀናብሩ እና ይፍቷቸው።

እንደምታየው ፋክሪላይዜሽን አልጎሪዝም በጣም ቀላል ነው፣ነገር ግን አብዛኞቹ ተማሪዎች በሁለተኛው ነጥብ ትግበራ ወቅት ችግር አለባቸው፣ስለዚህ በበለጠ ዝርዝር እናብራራለን።

የትኞቹ 2 ቀጥተኛ አገላለጾች እርስ በርስ ሲባዙ የሚፈለገውን ኳድራቲክ እኩልታ እንደሚሰጡ ለመገመት ሁለት ቀላል ደንቦችን ማስታወስ ያስፈልግዎታል፡

• የሁለት መስመራዊ አገላለጾች መስመራዊ ድምጾች፣ እርስ በርስ ሲባዙ፣ የኳድራቲክ እኩልታውን የመጀመሪያ ኮፊሸን መስጠት አለባቸው፣ ማለትም፣ ቁጥር a.
• የቀጥታ አገላለጾች ነፃ ውሎች፣ ሲባዙ፣ የሚፈለገውን እኩልታ ቁጥር c መስጠት አለባቸው።

ሁሉም የምክንያቶች ቁጥሮች ከተመረጡ በኋላ መባዛት አለባቸው እና የተፈለገውን እኩልነት ከሰጡ ወደ ደረጃ 3 ይሂዱከላይ ያለው አልጎሪዝም፣ ያለበለዚያ ማባዣዎቹን መቀየር አለቦት፣ ነገር ግን ከላይ ያሉት ህጎች ሁል ጊዜ እንዲከበሩ ይህንን ማድረግ ያስፈልግዎታል።

የመፍትሄው ምሳሌ በፋክተሪንግ ዘዴ

እንዴት ኳድራቲክ እኩልታን ለመፍታት ስልተ-ቀመር መፃፍ እና የማይታወቁ ሥሮችን ማግኘት እንደሆነ በግልፅ እናሳይ። የዘፈቀደ አገላለጽ ይስጥ ለምሳሌ 2x-5+5x²-2x²=x^2+2+x2^{+1። በአንቀጹ በቀደመው አንቀጽ ላይ የተቀመጡትን ከ1 እስከ 3 ያሉትን ነጥቦች በቅደም ተከተል በመመልከት ወደ መፍትሄው እንሂድ።}

ንጥል 1. ሁሉንም ውሎች ወደ ግራ በኩል ያንቀሳቅሱ እና በክላሲካል ቅደም ተከተል ኳድራቲክ እኩል ያድርጓቸው። የሚከተለው እኩልነት አለን፡ 2x+(-8)+x²=0.

ንጥል 2. ወደ መስመራዊ እኩልታዎች ከፋፍለነዋል። ከ a=1, እና c=-8 ጀምሮ, እንመርጣለን, ለምሳሌ, እንደዚህ ያለ ምርት (x-2)(x+4). ከላይ ባለው አንቀጽ ላይ የተቀመጡትን የሚጠበቁ ሁኔታዎችን ለማግኘት ደንቦቹን ያሟላል. ቅንፎችን ከከፈትን: -8+2x+x², ማለትም በግራ በኩል ካለው ቀመር ጋር ተመሳሳይ የሆነ አገላለጽ እናገኛለን። ይህ ማለት ማባዣዎቹን በትክክል ገምተናል እና ወደ አልጎሪዝም 3ኛ ደረጃ መቀጠል እንችላለን።

ንጥል 3. እያንዳንዱን ነጥብ ከዜሮ ጋር በማመሳሰል፡ x=-4 እና x=2 እናገኛለን።

በውጤቱ ላይ ጥርጣሬዎች ካሉ፣ የተገኙትን ሥሮች ወደ መጀመሪያው እኩልነት በመተካት ማረጋገጥ ይመከራል። በዚህ አጋጣሚ፡ 22+2²-8=0 እና 2(-4)+(-4)² አለን። -8=0 ሥሮች በትክክል ተገኝተዋል።

በመሆኑም የፋክተሪላይዜሽን ዘዴን በመጠቀም የተሰጠው እኩልታ ሁለት የተለያዩ ሥር ያለው ሆኖ አግኝተነዋል።ያለው፡ 2 እና -4.

ዘዴ 2። ሙሉውን ካሬ

ያሟሉ

በካሬ እኩልታዎች አልጀብራ ውስጥ የማባዛት ዘዴ ሁል ጊዜ መጠቀም አይቻልም ምክንያቱም የኳድራቲክ እኩልታ ክፍልፋይ እሴቶችን በተመለከተ በአልጎሪዝም አንቀጽ 2 አፈፃፀም ላይ ችግሮች ይከሰታሉ።

ሙሉው የካሬ ዘዴ፣ በተራው፣ ሁለንተናዊ ነው እና በማንኛውም አይነት ባለአራት እኩልታዎች ላይ ሊተገበር ይችላል። ዋናው ነገር የሚከተሉትን ተግባራት ማከናወን ነው፡

1. የእኩልታ ቃላቶች a እና bን የያዘው የእኩልታ ክፍል ወደ አንድ ክፍል እና ነፃው ቃል c ወደ ሌላኛው መተላለፍ አለበት።
2. በመቀጠል የእኩልነት ክፍሎቹ (በቀኝ እና ግራ) መከፋፈል አለባቸው በ Coefficient a, ማለትም ቀመሩን በተቀነሰ መልኩ (a=1) ያቅርቡ።
3. እንደ የመስመራዊ እኩልታ ካሬ ለመወከል ቃላትን ከ Coefficients a እና b ጋር ያዋህዱ። ከ \u003d 1 ጀምሮ ፣ ከዚያ መስመራዊ ቅንጅት ከ 1 ጋር እኩል ይሆናል ፣ እንደ የመስመር እኩልታ ነፃ ቃል ፣ ከዚያ ከተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ ግማሽ መስመራዊ ኮፊሸን ጋር እኩል መሆን አለበት። የመስመራዊው አገላለጽ ካሬ ከተዘጋጀ በኋላ እኩልነት በቀኝ በኩል ያለውን ተዛማጅ ቁጥር ማከል አስፈላጊ ነው, ነፃው ቃል የሚገኝበት, ካሬውን በማስፋፋት የሚገኝ ነው.
4. የካሬውን ስር በ"+" እና "-" ምልክቶች ይውሰዱ እና የተገኘውን መስመራዊ እኩልታ ይፍቱ።

የተገለፀው አልጎሪዝም በመጀመሪያ እይታ ውስብስብ እንደሆነ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል፣ነገር ግን በተግባር ግን ከፋክተሪንግ ዘዴ ይልቅ ለመተግበር ቀላል ነው።

ሙሉውን ካሬ ማሟያ በመጠቀም የመፍትሄ ምሳሌ

መፍትሄውን ባለፈው አንቀጽ ላይ በተገለጸው ዘዴ ለማሰልጠን የኳድራቲክ እኩልታ ምሳሌ እንስጥ። የኳድራቲክ እኩልታ -10 - 6x+5x²=0 ይስጥ። ከላይ በተገለጸው አልጎሪዝም መፍታት እንጀምራለን።

ንጥል 1. ካሬ እኩልታዎችን ስንፈታ የማስተላለፊያ ዘዴን እንጠቀማለን፡- 6x+5x²=10.

ነጥብ 2. የዚህ ቀመር የተቀነሰው ቅጽ የሚገኘው በእያንዳንዱ አባላቶቹ ቁጥር 5 በማካፈል ነው (ሁለቱም ክፍሎች በተመሳሳይ ቁጥር ከተከፋፈሉ ወይም ከተባዙ እኩልነቱ ይጠበቃል)። በለውጦቹ ምክንያት፡- x² - 6/5x=2.

እናገኛለን።

ንጥል 3. የግማሽ ኮፊሸን - 6/5 እኩል ነው -6/10=-3/5፣ ካሬውን ለማጠናቀቅ ይህንን ቁጥር ይጠቀሙ፡- (-3/5+x) 2 ^{። እኛ እናሰፋዋለን እና የተገኘውን የነፃ ቃል ከቀኝ ጎን ለመጨመር እኩል የሆነውን የኳድራቲክ እኩልታ የመጀመሪያውን ቅጽ ለማርካት ከእኩልነት በግራ በኩል መቀነስ አለበት። በውጤቱም፡- (-3/5+x)}2^=59/25። እናገኛለን።

ንጥል 4. የካሬውን ስር በአዎንታዊ እና አሉታዊ ምልክቶች አስሉ እና ሥሮቹን ያግኙ፡- x=3/5±√59/5=(3±√59)/5። ሁለቱ የተገኙት ሥሮች የሚከተሉት እሴቶች አሏቸው፡- x₁=(√59+3)/5 እና x₁=(3-√59)/5.

የተከናወኑት ስሌቶች ከሥሮች ጋር የተገናኙ በመሆናቸው ስህተት የመሥራት እድሉ ከፍተኛ ነው። ስለዚህ የሥሮቹን ትክክለኛነት ማረጋገጥ ይመከራል x₂ እና x₁። ለ x₁: 5((3+√59)/5)²-6(3+√59)/5 እናገኛለን 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. አሁን ይተኩx₂: 5((3-√59)/5)²-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.

ስለዚህ፣ የተገኙት የእኩልታው ሥሮች እውነት መሆናቸውን አሳይተናል።

ዘዴ 3። የታወቀው ቀመር

አተገባበር

ይህ ባለአራት እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴ ምናልባት በጣም ቀላሉ ነው፣ምክንያቱም ኮፊፊሴፍቶችን በሚታወቅ ቀመር በመተካት። እሱን ለመጠቀም የመፍትሄ ስልተ ቀመሮችን ስለማጠናቀር ማሰብ አያስፈልግዎትም, አንድ ቀመር ብቻ ማስታወስ በቂ ነው. ከላይ በምስሉ ላይ ይታያል።

በዚህ ቀመር፣ አክራሪ አገላለጽ (b²-4ac) አድልዎ (ዲ) ይባላል። ከዋጋው የሚወሰነው በምን ዓይነት ሥሮች ላይ ነው. 3 ጉዳዮች አሉ፡

• D>0፣ ከዚያ የስር ሁለቱ እኩልታ እውነተኛ እና የተለያዩ ናቸው።
• D=0 ከዚያም አንዱ ሥሩን ያገኛል ይህም ከ x=-b/(a2) አገላለጽ ሊሰላ ይችላል።
• D<0፣ ከዚያ እንደ ውስብስብ ቁጥሮች የሚወከሉት ሁለት የተለያዩ ምናባዊ ሥሮች ያገኛሉ። ለምሳሌ፣ ቁጥር 3-5i ውስብስብ ነው፣ ምናባዊው ክፍል ግን ንብረቱን አሟላለሁ፡ i²=-1.

አድሎውን በማስላት የመፍትሄ ምሳሌ

ከላይ ያለውን ቀመር ተጠቅመን ለመለማመድ የኳድራቲክ እኩልታ ምሳሌ እንስጥ። የ -3x²-6+3x+4x=0. መጀመሪያ የአድሎአዊውን ዋጋ አስሉ፣ D=b ^{እናገኛለን። 2} -4ac=7²-4(-3)(-6)=-23.

D<0 የተገኘ ስለሆነ፣ የታሰበው እኩልታ ሥር ውስብስብ ቁጥሮች ነው ማለት ነው። የተገኘውን እሴት D በቀደመው አንቀጽ ላይ በተሰጠው ቀመር ውስጥ በመተካት እናገኛቸው (ከላይ ባለው ፎቶ ላይም ይታያል)። እናገኛለን፡ x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.

ዘዴ 4። የተግባር ግራፉን በመጠቀም

እንዲሁም የካሬ እኩልታዎችን ለመፍታት የግራፊክ ዘዴ ተብሎም ይጠራል። እንደ አንድ ደንብ ፣ ጥቅም ላይ የሚውለው ለመጠኑ አይደለም ፣ ግን ከግምት ውስጥ ላለው እኩልታ ጥራት ትንተና ጥቅም ላይ ይውላል።

የዘዴው ፍሬ ነገር ኳድራቲክ ተግባር y=f(x) ማቀድ ሲሆን እሱም ፓራቦላ ነው። ከዚያም ፓራቦላ የ x-axis (X)ን የሚያቋርጠው በየትኛው ነጥብ ላይ እንደሆነ መወሰን ያስፈልጋል, እነሱም የተዛማጁ እኩልታ ሥሮች ይሆናሉ.

ፓራቦላ የ X ዘንግ ላይ መቆራረጡን ለማወቅ የዝቅተኛውን (ከፍተኛውን) አቀማመጥ እና የቅርንጫፎቹን አቅጣጫ ማወቅ (ሊጨምሩም ሆነ ሊቀነሱ ይችላሉ) ማወቅ በቂ ነው። ለማስታወስ የዚህ ጥምዝ ሁለት ባህሪያት አሉ፡

• ከሆነ a>0 - የቅርንጫፉ ፓራቦላዎች ወደ ላይ ይመራሉ ፣ በተቃራኒው ፣ a<0 ከሆነ ወደ ታች ይወርዳሉ።
• የፓራቦላ ትንሹ (ከፍተኛ) መጋጠሚያ ሁልጊዜ x=-b/(2a) ነው።

ለምሳሌ ፣እኩልታው ስር እንዳለው ማወቅ አለብህ -4x+5x²+10=0።ተጓዳኝ ፓራቦላ ወደላይ ይመራል፣ከሀ=5>0. የእሱ ጽንፍ መጋጠሚያዎች አሉት: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)²+10=9, 2. ጀምሮ የጥምዙ ትንሹ ከ x-ዘንግ በላይ ነው (y=9, 2)፣ ከዚያ የኋለኛውን ለማንም አይገናኝም።x እሴቶች. ማለትም፣ የተሰጠው እኩልታ ትክክለኛ ስር የለውም።

የቪዬታ ቲዎሪ

ከላይ እንደተገለጸው፣ ይህ ቲዎሬም ዘዴ ቁጥር 3 ውጤት ነው፣ እሱም ከአድልዎ ጋር ቀመርን በመተግበር ላይ የተመሰረተ። የቪዬታ ቲዎሬም ዋናው ነገር የእኩልታውን እና ሥሮቹን ወደ እኩልነት እንዲያገናኙ ያስችልዎታል። ተጓዳኝ እኩልነቶችን እናገኝ።

በአድልዎ በኩል ሥሮቹን ለማስላት ቀመሩን እንጠቀም። ሁለት ስሮች ጨምሩ፣ እኛ እናገኛለን፡- x₁+x₂=-b/a። አሁን ሥሩን እርስ በርስ እናባዛው፡- x₁x₂ ከተከታታይ ማቃለል በኋላ ቁጥሩ c/a እናገኛለን።

በመሆኑም የኳድራቲክ እኩልታዎችን በቪዬታ ቲዎሬም ለመፍታት የተገኙትን ሁለት እኩልነቶች መጠቀም ይችላሉ። ሦስቱም እኩልታዎች የሚታወቁ ከሆኑ የእነዚህን ሁለት እኩልታዎች ተገቢውን ስርዓት በመፍታት ሥሩ ሊገኙ ይችላሉ።

የቪዬታ ቲዎረምን የመጠቀም ምሳሌ

እሱ x²+c=-bx እና ሥሮቹ 3 እና -4 እንደሆኑ ካወቁ ባለአራት እኩልታ መፃፍ ያስፈልግዎታል።

በግምት ውስጥ ባለው ቀመር ውስጥ ከa=1 ጀምሮ የቪዬታ ቀመሮች ይህንን ይመስላሉ፡- x₂+x₁=-b እና x2_x1_{=p. የታወቁትን የሥሮቹን እሴቶች በመተካት: b=1 እና c=-12 እናገኛለን. በውጤቱም፣ ወደነበረበት የተመለሰው ባለአራት የተቀነሰ ቀመር የሚከተለውን ይመስላል፡- x}2^{-12=-1x። የሥሮቹን እሴት ወደ እሱ በመተካት እና እኩልነት መያዙን ያረጋግጡ።}

የቪዬታ ቲዎሬም የተገላቢጦሽ አተገባበር ማለትም የሥሮቹን ስሌት በየሚታወቅ የሒሳብ ቀመር፣ ለትንንሽ ኢንቲጀሮች a፣ b እና c በፍጥነት (በማስተዋል) መፍትሄዎችን እንዲያገኙ ያስችላል።