Gauss ዘዴ ለዱሚዎች፡ የመፍትሄ ምሳሌዎች

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-17 05:15

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ፣ ዘዴው የመስመራዊ እኩልታዎችን (SLAE) ስርዓቶችን እንደ መፍትሄ መንገድ ይቆጠራል። ዘዴው ትንታኔ ነው ፣ ማለትም ፣ አጠቃላይ የመፍትሄ ስልተ-ቀመር እንዲጽፉ ይፈቅድልዎታል ፣ እና እዚያ ከተወሰኑ ምሳሌዎች ውስጥ እሴቶችን ይተኩ ። ከማትሪክስ ዘዴ ወይም ክሬመር ቀመሮች በተለየ የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ሲፈቱ ብዙ መፍትሄዎች ካላቸው ጋር መስራት ይችላሉ። ወይም ጨርሶ የለዎትም።

በጋውስ ዘዴ መፍታት ማለት ምን ማለት ነው?

በመጀመሪያ፣ የእኩልታ ስርዓታችንን እንደ ማትሪክስ መፃፍ አለብን። ይህን ይመስላል። ስርዓቱ ተወስዷል፡

Coefficients የተፃፉት በሠንጠረዥ መልክ ነው፣ እና በቀኝ በኩል ደግሞ በተለየ አምድ - ነፃ አባላት። ነፃ አባላት ያሉት አምድ በአቀባዊ ባር ለመመቻቸት ተለያይቷል። ይህን አምድ ያካተተ ማትሪክስ የተራዘመ ይባላል።

በመቀጠል ዋና ማትሪክስ ከቅንጅቶች ጋር ወደ ላይኛው የሶስት ማዕዘን ቅርጽ መቀነስ አለበት። ይህ ስርዓቱን በጋውስ ዘዴ የመፍታት ዋናው ነጥብ ነው. በቀላል አነጋገር፣ ከተወሰኑ ማጭበርበሮች በኋላ፣ ማትሪክስ ይህን መምሰል አለበት፣ ስለዚህም በታችኛው የግራ ክፍል ዜሮዎች ብቻ እንዲኖሩት፡

ከዚያም አዲሱን ማትሪክስ እንደ የእኩልታዎች ስርዓት እንደገና ከፃፉ የመጨረሻው መስመር ቀድሞውኑ የአንደኛውን ሥሮች ዋጋ እንደያዘ እና ከዚያ በላይ ባለው ቀመር ውስጥ ተተክቷል ፣ ሌላ ስር ይገኛል ፣ እና የመሳሰሉት።

ይህ የጋውሲያን መፍትሄ በአጠቃላዩ አነጋገር መግለጫ ነው። እና በድንገት ስርዓቱ መፍትሄ ከሌለው ምን ይሆናል? ወይስ ከነሱ ውስጥ ወሰን የለሽ ቁጥር አለ? እነዚህን እና ሌሎች በርካታ ጥያቄዎችን ለመመለስ በጋውስ ዘዴ ጥቅም ላይ የዋሉትን ሁሉንም ንጥረ ነገሮች ለየብቻ ማጤን ያስፈልጋል።

ማትሪክስ፣ ንብረታቸው

በማትሪክስ ውስጥ ምንም የተደበቀ ትርጉም የለም። ለቀጣይ ስራዎች መረጃን ለመቅዳት አመቺ መንገድ ብቻ ነው. የትምህርት ቤት ልጆች እንኳን ሊፈሯቸው አይገባም።

ማትሪክስ ሁል ጊዜ አራት ማዕዘን ነው ምክንያቱም የበለጠ ምቹ ነው። በ Gauss ዘዴ ውስጥ, ሁሉም ነገር የሶስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ማትሪክስ ለመገንባት በሚፈላበት ጊዜ, በመግቢያው ውስጥ አራት ማዕዘን ቅርጾችን ይታያል, ቁጥሮች በሌሉበት ቦታ ዜሮዎች ብቻ ናቸው. ዜሮዎችን መተው ይቻላል ነገር ግን በተዘዋዋሪ መንገድ ነው።

ማትሪክስ መጠን አለው። የእሱ "ስፋት" የረድፎች ቁጥር (m) ነው, "ርዝመቱ" የአምዶች ቁጥር (n) ነው. ከዚያ የማትሪክስ A መጠን (ዋና ዋና የላቲን ፊደላት ለስያሜያቸው ጥቅም ላይ ይውላሉ) እንደ A_m×n ይገለጻል። m=n ከሆነ, ይህ ማትሪክስ ካሬ ነው, እናm=n - ቅደም ተከተል. በዚህ መሰረት፣ ማንኛውም የማትሪክስ A አባል በረድፍ እና አምድ ቁጥር ሊገለጽ ይችላል፡ a_xy; x - የረድፍ ቁጥር፣ ለውጥ [1፣ m]፣ y - የአምድ ቁጥር፣ ለውጥ [1፣ n]።

በጋውሲያን ዘዴ፣ማትሪክስ የመፍትሄው ዋና ነጥብ አይደሉም። በመርህ ደረጃ, ሁሉም ክዋኔዎች ከራሳቸው እኩልታዎች ጋር በቀጥታ ሊከናወኑ ይችላሉ, ሆኖም ግን, ማስታወሻው በጣም አስቸጋሪ ይሆናል, እና በእሱ ውስጥ ግራ መጋባት በጣም ቀላል ይሆናል.

አላፊ

ማትሪክስ እንዲሁ መወሰኛ አለው። ይህ በጣም ጠቃሚ ባህሪ ነው. ትርጉሙን አሁን መፈለግ ዋጋ የለውም, እንዴት እንደሚሰላ በቀላሉ ማሳየት ይችላሉ, እና ምን ዓይነት የማትሪክስ ባህሪያት እንደሚወስን ይናገሩ. ወሳኙን ለማግኘት ቀላሉ መንገድ በዲያግራኖች በኩል ነው። ምናባዊ ዲያግራኖች በማትሪክስ ውስጥ ይሳባሉ; በእያንዳንዳቸው ላይ የሚገኙት ንጥረ ነገሮች ይባዛሉ, ከዚያም የተገኙት ምርቶች ይጨምራሉ-ዲያግኖሎች ወደ ቀኝ ተዳፋት - ከ "ፕላስ" ምልክት ጋር, ወደ ግራ ተዳፋት - "መቀነስ" ምልክት ጋር.

ወሳኙ ሊሰላ የሚችለው ለካሬ ማትሪክስ ብቻ መሆኑን ማስተዋሉ በጣም አስፈላጊ ነው። ለአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ማትሪክስ የሚከተሉትን ማድረግ ይችላሉ-ከረድፎች ብዛት ትንሹን እና የአምዶችን ብዛት ይምረጡ (k ይሁን) እና ከዚያ በማትሪክስ ውስጥ የ k አምዶችን እና k ረድፎችን በዘፈቀደ ምልክት ያድርጉ። በተመረጡት ዓምዶች እና ረድፎች መገናኛ ላይ የሚገኙት ንጥረ ነገሮች አዲስ ካሬ ማትሪክስ ይፈጥራሉ. የዚህ ማትሪክስ ወሳኙ ከዜሮ ሌላ ቁጥር ከሆነ የዋናው አራት ማዕዘን ማትሪክስ መሰረታዊ ትንሽ ተብሎ ይጠራል።

ከዚህ በፊትየእኩልታዎችን ስርዓት በጋውስ ዘዴ እንዴት መፍታት እንደሚቻል ፣ ወሳኙን ማስላት አይጎዳም። ዜሮ ሆኖ ከተገኘ ወዲያውኑ ማትሪክስ ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት ወይም በጭራሽ የለም ማለት እንችላለን። እንደዚህ ባለ አሳዛኝ ሁኔታ፣ የበለጠ መሄድ እና ስለ ማትሪክስ ደረጃ ማወቅ አለብህ።

የስርዓቶች ምደባ

እንደ ማትሪክስ ደረጃ ያለ ነገር አለ። ይህ ዜሮ ያልሆነ የሚወስነው ከፍተኛው ቅደም ተከተል ነው (መሰረታዊውን በማስታወስ፣ የማትሪክስ ደረጃ የአካለ መጠን ያልደረሰው ቅደም ተከተል ነው ማለት እንችላለን)።

ነገሮች በደረጃ ሲሆኑ፣ ቀርፋፋ ወደ፡

ሊከፈል ይችላል።

• ጋራ። ለጋራ ስርዓቶች የዋናው ማትሪክስ ደረጃ (የተዋሃደ ጥምርታዎችን ብቻ የያዘ) ከተራዘመው ደረጃ (ከነፃ ቃላት አምድ ጋር) ጋር ይዛመዳል። እንደነዚህ ያሉ ሥርዓቶች መፍትሔ አላቸው፣ ግን የግድ አንድ አይደሉም፣ ስለሆነም፣ የጋራ ሥርዓቶች በተጨማሪ ወደ፡

ተከፍለዋል።

• - የተወሰነ - ልዩ የሆነ መፍትሄ ያለው። በተወሰኑ ስርዓቶች ውስጥ የማትሪክስ ደረጃ እና የማይታወቁ ቁጥሮች እኩል ናቸው (ወይም የአምዶች ብዛት, ተመሳሳይ ነገር ነው);
• - ያልተወሰነ - ማለቂያ ከሌላቸው የመፍትሄዎች ብዛት ጋር። በእንደዚህ ያሉ ስርዓቶች ውስጥ ያለው የማትሪክስ ደረጃ ከማይታወቁት ቁጥር ያነሰ ነው።
• ተኳሃኝ አይደለም። ለእንደዚህ አይነት ስርዓቶች የዋና እና የተራዘመ ማትሪክስ ደረጃዎች አይዛመዱም. የማይጣጣሙ ስርዓቶች ምንም መፍትሄ የላቸውም።

የጋውስ ዘዴ ጥሩ ነው ምክንያቱም የስርዓቱን አለመመጣጠን የማያሻማ ማረጋገጫ (የትላልቅ ማትሪክስ መለኪያዎችን ሳታሰላስል) ወይም አጠቃላይ መፍትሄ ወሰን የለሽ የመፍትሄ ሃሳቦች ላለው ስርዓት እንድታገኝ ስለሚያስችል ነው።

የአንደኛ ደረጃ ለውጦች

ከዚህ በፊትበቀጥታ ወደ ስርዓቱ መፍትሄ እንዴት እንደሚቀጥሉ, ትንሽ አስቸጋሪ እና ለስሌቶች የበለጠ ምቹ እንዲሆን ማድረግ ይችላሉ. ይህ በአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን አማካኝነት የተገኘ ነው - የእነሱ ትግበራ በምንም መልኩ የመጨረሻውን መልስ አይለውጥም. ከላይ ከተጠቀሱት የአንደኛ ደረጃ ለውጦች መካከል አንዳንዶቹ የሚሠሩት ለማትሪክስ ብቻ እንደሆነ ልብ ሊባል የሚገባው ነው, ምንጩ በትክክል SLAE ነበር. የእነዚህ ለውጦች ዝርዝር እነሆ፡

1. ገመዶችን ቀይር። በስርዓቱ መዝገብ ውስጥ የእኩልታዎችን ቅደም ተከተል ከቀየርን, ይህ በምንም መልኩ መፍትሄውን እንደማይጎዳው ግልጽ ነው. ስለዚህ፣ በዚህ ስርዓት ማትሪክስ ውስጥ ረድፎችን መለዋወጥም ይቻላል፣ በእርግጥ ስለ ነፃ አባላት አምድ ሳይረሱ።
2. የሕብረቁምፊውን ሁሉንም ክፍሎች በተወሰነ ምክንያት ማባዛት። በጣም ጠቃሚ! በእሱ አማካኝነት በማትሪክስ ውስጥ ትልቅ ቁጥሮችን መቀነስ ወይም ዜሮዎችን ማስወገድ ይችላሉ. የመፍትሄዎች ስብስብ, እንደተለመደው, አይለወጥም, እና ተጨማሪ ስራዎችን ለማከናወን የበለጠ አመቺ ይሆናል. ዋናው ነገር መጠኑ ከዜሮ ጋር እኩል መሆን የለበትም።
3. መስመሮችን በተመጣጣኝ ቅንጅቶች ሰርዝ። ይህ በከፊል ካለፈው አንቀፅ ውስጥ ይከተላል. በማትሪክስ ውስጥ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ረድፎች ተመጣጣኝ ውህዶች ካላቸው ፣ ከዚያ አንዱን ረድፎች በተመጣጣኝ መጠን ሲባዙ / ሲከፍሉ ፣ ሁለት (ወይም ፣ እንደገና ፣ ተጨማሪ) ፍጹም ተመሳሳይ ረድፎች ይገኛሉ ፣ እና ተጨማሪዎቹን ብቻ በመተው ማስወገድ ይችላሉ ። አንድ።
4. የኑል መስመሩን ሰርዝ። በለውጦች ሂደት ውስጥ ሁሉም ንጥረ ነገሮች፣ ነፃ አባልን ጨምሮ፣ ዜሮ የሆኑበት ቦታ ከተገኘ፣ እንዲህ ያለው ሕብረቁምፊ ዜሮ ተብሎ ሊጠራ እና ከማትሪክስ ውስጥ ሊጣል ይችላል።
5. የሌላውን የአንድ ረድፍ ንጥረ ነገሮች ንጥረ ነገሮች መጨመር (በዚህ መሰረትተጓዳኝ አምዶች) በአንዳንድ ቅንጅቶች ተባዝተዋል። ከሁሉም የበለጠ ግልጽ ያልሆነ እና በጣም አስፈላጊው ለውጥ. በእሱ ላይ የበለጠ በዝርዝር መቀመጥ ተገቢ ነው።

ሕብረቁምፊ ማከል በአንድ ምክንያት ተባዝቷል

ለመረዳት ቀላል ይህን ሂደት ደረጃ በደረጃ መበተን ጠቃሚ ነው። ሁለት ረድፎች ከማትሪክስ ተወስደዋል፡

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a₂₁ a₂₂ … a_2n | b₂

የመጀመሪያውን በ "-2" ኮፊሸን በማባዛት ወደ ሁለተኛው ማከል ያስፈልግዎታል እንበል።

a'₂₁ =a₂₁ + -2×a₁₁

a'₂₂ =a₂₂ + -2×a₁₂

a'_2n =a_2n + -2×a_1n

ከዚያ በማትሪክስ ውስጥ ያለው ሁለተኛው ረድፍ በአዲስ ይተካዋል፣የመጀመሪያው ግን ሳይቀየር ይቀራል።

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a'₂₁ a'₂₂ … a'_2n | b₂

የማባዛት ሁኔታ ሊመረጥ በሚችል መልኩ ሁለት ገመዶችን በመጨመር ምክንያት ከአዲሱ ሕብረቁምፊዎች ውስጥ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል እንደሚሆን ልብ ሊባል ይገባል. ስለዚህ, በስርአቱ ውስጥ እኩልታ ማግኘት ይቻላል, አንድ ያነሰ የማይታወቅ ይኖራል. እና ሁለት እንደዚህ ያሉ እኩልታዎችን ካገኙ ፣ ከዚያ ክዋኔው እንደገና ሊከናወን ይችላል እና ሁለት ያነሱ ያልታወቁ ነገሮችን የያዘ ቀመር ያግኙ። እና በእያንዳንዱ ጊዜ ከዋናው በታች ለሆኑት ረድፎች ሁሉ ወደ ዜሮ አንድ ኮፊሸን ከተቀየርን፣ እንደ ደረጃዎች፣ ወደ ማትሪክስ ግርጌ ወርደን አንድ ያልታወቀ እኩልታ ማግኘት እንችላለን። ይህ ይባላልየ Gauss ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ።

በአጠቃላይ

ሥርዓት ይኑር። እሱ m እኩልታዎች እና n ያልታወቁ ሥሮች አሉት። እንደዚህ ሊጽፉት ይችላሉ፡

ዋናው ማትሪክስ የተቀናበረው ከስርአቱ ቅንጅቶች ነው። የነጻ አባላት አምድ ወደ ተሰፋው ማትሪክስ ታክሏል እና ለመመቻቸት በባር ይለያል።

ቀጣይ፡

• የማትሪክስ የመጀመሪያ ረድፍ በቁጥር k=(-a₂₁/a₁₁);
• የመጀመሪያው የተሻሻለው ረድፍ እና የማትሪክስ ሁለተኛ ረድፍ ተጨምረዋል፤
• ከሁለተኛው ረድፍ ይልቅ፣ ካለፈው አንቀጽ የተጨመረው ውጤት ወደ ማትሪክስ ውስጥ ገብቷል፤
• አሁን በአዲሱ ሁለተኛ መስመር የመጀመሪያው ኮፊፊሸን a₁₁ × (-a₂₁/a_{11) + a}21 _=-a21 _{+ a}21_=0.

አሁን ተመሳሳይ ተከታታይ ለውጦች ተካሂደዋል፣የመጀመሪያው እና ሶስተኛው መስመሮች ብቻ ናቸው የሚሳተፉት። በዚህ መሠረት በእያንዳንዱ የአልጎሪዝም ደረጃ ኤለመንት a₂₁ በ₃₁ ተተክቷል። ከዚያ ሁሉም ነገር ለ₄₁፣ … a_m1 ይደግማል። ውጤቱም በረድፎች ውስጥ ያለው የመጀመሪያው ንጥረ ነገር ከዜሮ ጋር እኩል የሆነበት ማትሪክስ ነው። አሁን ስለ መስመር ቁጥር አንድ መርሳት እና ከሁለተኛው መስመር ጀምሮ ተመሳሳይ ስልተ-ቀመር ማከናወን ያስፈልግዎታል፡

• k Coefficient=(-a₃₂/a₂₂);
• ሁለተኛው የተሻሻለው መስመር ወደ "የአሁኑ" መስመር ታክሏል፤
• የመደመር ውጤቱ በሦስተኛው፣ አራተኛው እና በመሳሰሉት መስመሮች ሲተካ የመጀመሪያው እና ሁለተኛው ሳይለወጡ፤
• በማትሪክስ ረድፎች [3፣ m] የመጀመሪያዎቹ ሁለት አካላት ቀድሞውኑ ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው።

አልጎሪዝም መጠኑ k=(-a_{m፣ m-1}/a_mm እስኪታይ ድረስ መደገም አለበት። ይህ ማለት አልጎሪዝም ለመጨረሻ ጊዜ የተካሄደው ለታችኛው እኩልታ ብቻ ነው። አሁን ማትሪክስ ሶስት ማዕዘን ይመስላል, ወይም ደረጃ ቅርጽ አለው. የታችኛው መስመር ቀመር a_mn × x =b_m ይዟል። ቅንጅቱ እና ነፃው ቃል ይታወቃሉ እና ሥሩ በእነሱ ይገለጻል፡ x =b_m/a_mn. x_n-1=(b_m-1 - a_{m-1 ለማግኘት የተገኘው ስርወ ወደ ላይኛው ረድፍ ተተክቷል።×(b}m_/amn_))÷am-1፣ n-1_{. እና ሌሎችም በማመሳሰል፡ በእያንዳንዱ ቀጣይ መስመር አዲስ ስር አለ፣ እና የስርዓቱ "ከላይ" ላይ ከደረሰ በኋላ አንድ ሰው የመፍትሄ ሃሳቦችን ማግኘት ይችላል [x}1_{፣ … x ። እሱ ብቻ ይሆናል።}

መፍትሄዎች በማይኖሩበት ጊዜ

ከማትሪክስ ረድፎች በአንዱ ውስጥ ከነጻው ቃል በስተቀር ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ፣ ከዚህ ረድፍ ጋር የሚዛመደው እኩልታ 0=b ይመስላል። መፍትሄም የለውም። እና እንደዚህ አይነት እኩልታ በስርአቱ ውስጥ ስለሚካተት የአጠቃላዩ ስርዓት መፍትሄዎች ስብስብ ባዶ ነው, ማለትም, የተበላሸ ነው.

ማያልቅ የመፍትሄዎች ብዛት ሲኖር

በተቀነሰው ባለሶስት ማዕዘን ማትሪክስ ውስጥ አንድ ኤለመንት ያላቸው ረድፎች የሌሉ ይሆናል - የእኩልታ እኩልነት እና አንድ - ነፃ አባል። እንደገና ሲጻፉ ከሁለት ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ያሉት እኩልነት የሚመስሉ ሕብረቁምፊዎች ብቻ አሉ። ይህ ማለት ስርዓቱ ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት. በዚህ ጉዳይ ላይ መልሱ በአጠቃላይ መፍትሄ መልክ ሊሰጥ ይችላል. እንዴት ማድረግ ይቻላል?

ሁሉምበማትሪክስ ውስጥ ያሉ ተለዋዋጮች ወደ መሰረታዊ እና ነፃ ተከፍለዋል። መሰረታዊ - እነዚህ በደረጃው ማትሪክስ ውስጥ ያሉት ረድፎች "ጫፍ ላይ" የሚቆሙ ናቸው. የተቀሩት ነጻ ናቸው. በአጠቃላይ መፍትሄ፣ መሰረታዊ ተለዋዋጮች የተፃፉት ከነጻዎቹ አንፃር ነው።

ለምቾት ሲባል ማትሪክስ መጀመሪያ እንደገና ወደ የእኩልታዎች ስርዓት ይፃፋል። ከዚያም በመጨረሻው ውስጥ, በትክክል አንድ መሠረታዊ ተለዋዋጭ ብቻ በቀረው, በአንድ በኩል ይቀራል, እና ሁሉም ነገር ወደ ሌላኛው ይተላለፋል. ይህ ለእያንዳንዱ እኩልታ ከአንድ መሠረታዊ ተለዋዋጭ ጋር ይከናወናል. ከዚያም በቀሪዎቹ እኩልታዎች, ከተቻለ, ከመሠረታዊ ተለዋዋጭ ምትክ, የተገኘው አገላለጽ ይተካል. ውጤቱ እንደገና አንድ መሠረታዊ ተለዋዋጭ ብቻ የያዘ አገላለጽ ከሆነ, ከዚያ እንደገና ይገለጻል, እና ወዘተ, እያንዳንዱ መሠረታዊ ተለዋዋጭ በነጻ ተለዋዋጮች እንደ አገላለጽ እስኪጻፍ ድረስ. ይህ የ SLAE አጠቃላይ መፍትሄ ነው።

እንዲሁም የስርዓቱን መሰረታዊ መፍትሄ ማግኘት ይችላሉ - ለነፃ ተለዋዋጮች ማንኛውንም እሴቶችን ይስጡ እና ከዚያ ለዚህ ጉዳይ የመሠረታዊ ተለዋዋጮችን እሴቶች ያሰሉ ። እጅግ በጣም ብዙ ልዩ መፍትሄዎች አሉ።

መፍትሔ ከተወሰኑ ምሳሌዎች ጋር

የእኩልታዎች ስርዓት ይህ ነው።

ለምቾት ሲባል ማትሪክሱን ወዲያውኑ መስራት ይሻላል

በጋውስ ዘዴ ሲፈታ ከመጀመሪያው ረድፍ ጋር የሚዛመደው ቀመር በለውጦቹ መጨረሻ ላይ ሳይለወጥ እንደሚቆይ ይታወቃል። ስለዚህ ፣ የማትሪክስ የላይኛው ግራ ክፍል ትንሹ ከሆነ - ከዚያ የመጀመሪያዎቹ ንጥረ ነገሮች የበለጠ ትርፋማ ይሆናል።ከቀዶ ጥገናው በኋላ የተቀሩት ረድፎች ወደ ዜሮ ይቀየራሉ. ይህ ማለት በተጠናቀረ ማትሪክስ ውስጥ ሁለተኛውን ረድፍ በመጀመሪያው ቦታ ላይ ማስቀመጥ ጠቃሚ ይሆናል ማለት ነው።

በመቀጠል የመጀመሪያዎቹ ንጥረ ነገሮች ዜሮ እንዲሆኑ ሁለተኛውን እና ሶስተኛውን መስመር መቀየር ያስፈልግዎታል። ይህንን ለማድረግ ወደ መጀመሪያው ያክሏቸው፣ በቁጥር ተባዝተው፡

ሁለተኛ መስመር፡ k=(-a₂₁/a₁₁)=(-3/1)=-3

a'₂₁ =a₂₁ + k×a₁₁=3 + (-3)×1=0

a'₂₂ =a₂₂ + k×a₁₂ =-1 + (- 3)×2=-7

a'₂₃ =a₂₃ + k×a₁₃ =1 + (-3)×4=-11

b'₂ =b₂ + k×b₁=12 + (-3)×12=-24

ሶስተኛ መስመር፡ k=(-a₃₁/a₁₁)=(- 5/1)=-5

a'₃₁ =a₃₁ + k×a₁₁=5 + (-5)×1=0

a'₃₂ =a₃₂ + k×a₁₂ =1 + (-5)×2=-9

a'₃₃ =a₃₃+ k×a₁₃ =2 + (-5)×4=-18

b'₃=b₃ + k×b₁=3 + (-5)×12=-57

አሁን፣ ላለመደናበር፣ መካከለኛ የለውጥ ውጤቶች ያለው ማትሪክስ መፃፍ ያስፈልግዎታል።

በእርግጥ ነው፣ እንዲህ ያለው ማትሪክስ በአንዳንድ ክንዋኔዎች በመታገዝ የበለጠ ሊነበብ ይችላል። ለምሳሌ፣ እያንዳንዱን ንጥረ ነገር በ"-1" በማባዛት ሁሉንም "minuses" ከሁለተኛው መስመር ማስወገድ ትችላለህ።

በሦስተኛው መስመር ላይ ሁሉም ንጥረ ነገሮች የሶስት ብዜቶች መሆናቸውን ልብ ሊባል ይገባል። ከዚያ ይችላሉሕብረቁምፊውን በዚህ ቁጥር ይቁረጡ, እያንዳንዱን ንጥረ ነገር በ "-1/3" ማባዛት (መቀነስ - በተመሳሳይ ጊዜ አሉታዊ እሴቶችን ለማስወገድ).

በጣም ጥሩ ይመስላል። አሁን የመጀመሪያውን መስመር ብቻውን ትተን ከሁለተኛው እና ከሦስተኛው ጋር መስራት አለብን. ስራው ሁለተኛውን ረድፍ ወደ ሶስተኛው ረድፍ ማከል ነው፣ በዚህ ምክንያት ተባዝቶ ኤለመንት a₃₂ ዜሮ ይሆናል።

k=(-a₃₂/a₂₂)=(-3/7)=-3/7 (በአንዳንድ ለውጦች ወቅት ከሆነ መልሱ ኢንቲጀር ካልሆነ ፣ “እንደሆነ” ፣ በተለመደው ክፍልፋዮች መልክ መተው ይመከራል ፣ እና ከዚያ ብቻ ፣ ምላሾቹ ሲደርሱ ፣ ክብ እና ወደ ሌላ ዓይነት ለመቀየር ይወስኑ። ምልክት)

a'₃₂=a₃₂ + k×a₂₂=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0

a'₃₃=a₃₃ + k×a₂₃=6 + (-3 /7)×11=-9/7

b'₃ =b₃ + k×b₂=19 + (-3 /7)×24=-61/7

ማትሪክስ በአዲስ እሴቶች እንደገና ተጽፏል።

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

እንደምታየው፣ የተገኘው ማትሪክስ አስቀድሞ ደረጃ ያለው ቅጽ አለው። ስለዚህ በጋውስ ዘዴ የስርዓቱ ተጨማሪ ለውጦች አያስፈልጉም. እዚህ ማድረግ የሚቻለው አጠቃላይ ድምጹን "-1/7" ከሦስተኛው መስመር ላይ ማስወገድ ነው።

አሁን ሁሉም ሰውጥሩ. ነጥቡ ትንሽ ነው - ማትሪክስ እንደገና በስርዓተ ቀመር መልክ ይፃፉ እና ሥሮቹን ያሰሉ

x + 2y + 4z=12 (1)

7y + 11z=24 (2)

9z=61 (3)

ሥሮቹ አሁን የሚገኙበት አልጎሪዝም በጋውስ ዘዴ ተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ ይባላል። ቀመር (3) z:

እሴት ይዟል።

z=61/9

በመቀጠል፣ ወደ ሁለተኛው እኩልታ ይመለሱ፡

y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9

እና የመጀመሪያው እኩልታ x:

እንድታገኝ ይፈቅድልሃል።

x=(12 - 4z - 2ይ)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3

እንዲህ ያለውን የሥርዓት መገጣጠሚያ፣ እና እንዲያውም የተወሰነ፣ ማለትም፣ ልዩ የሆነ መፍትሔ የመጥራት መብት አለን። መልሱ በሚከተለው ቅጽ ተጽፏል፡

x₁=-2/3፣ y=-65/9፣ z=61/9።

ያልተወሰነ ስርዓት ምሳሌ

አንድን የተወሰነ ስርዓት በጋውስ ዘዴ የመፍታት ልዩነት ተተነተነ፣አሁን ስርዓቱ ያልተወሰነ ከሆነ፣ይህም ብዙ መፍትሄዎች ሊገኙበት የሚችሉ ከሆነ ጉዳዩን ማጤን ያስፈልጋል።

x₁+ x₂+ x₃+ x ₄+ x₅=7 (1)

3x₁ + 2x₂ + x₃ + x ₄ - 3x₅=-2 (2)

x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 6x ₅ =23 (3)

5x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 3x ₄ - x₅=12 (4)

የስርአቱ ቅርፅ አስቀድሞ አስደንጋጭ ነው፣ ምክንያቱም ያልታወቁት ቁጥር n=5 ነው፣ እና የስርዓት ማትሪክስ ደረጃው ቀድሞውኑ ከዚህ ቁጥር በትክክል ያነሰ ነው ፣ ምክንያቱም የረድፎች ብዛት m=4፣ ማለትም፣ የካሬው መወሰኛ ትልቁ ቅደም ተከተል 4. ስለዚህ፣ቁጥር የሌላቸው መፍትሄዎች አሉ, እና አጠቃላይ ቅጹን መፈለግ አለብን. የመስመራዊ እኩልታዎች የጋውስ ዘዴ ይህንን እንዲያደርጉ ያስችልዎታል።

በመጀመሪያ እንደተለመደው የጨመረው ማትሪክስ ተሰብስቧል።

ሁለተኛ መስመር፡ተመጣጣኝ k=(-a₂₁/a₁₁)=-3. በሶስተኛው መስመር, የመጀመሪያው አካል ከለውጦቹ በፊት ነው, ስለዚህ ምንም ነገር መንካት አያስፈልግዎትም, እንዳለ መተው ያስፈልግዎታል. አራተኛው መስመር፡ k=(-a₄₁/a₁₁)=-5

የመጀመሪያውን ረድፍ ኤለመንቶችን በየእያንዳንዱ ኮፊፍፍፍታቸው በማባዛት እና ወደሚፈለጉት ረድፎች በማከል የሚከተለውን ቅጽ ማትሪክስ እናገኛለን፡

እንደምታዩት ሁለተኛው፣ ሦስተኛው እና አራተኛው ረድፎች እርስ በእርሳቸው ተመጣጣኝ የሆኑ ንጥረ ነገሮችን ያቀፈ ነው። ሁለተኛው እና አራተኛው በአጠቃላይ ተመሳሳይ ናቸው ከመካከላቸው አንዱ ወዲያውኑ ሊወገድ ይችላል, የተቀረው ደግሞ በ Coefficient "-1" ተባዝቶ እና መስመር ቁጥር 3 ያግኙ. እና እንደገና, ከሁለት ተመሳሳይ መስመሮች አንዱን ይተው.

ውጤቱ እንደዚህ ያለ ማትሪክስ ነው። ስርዓቱ ገና አልተጻፈም, መሰረታዊ ተለዋዋጮችን ለመወሰን እዚህ አስፈላጊ ነው - በ Coefficients ላይ መቆም a₁₁=1 እና a₂₂=1 ፣ እና ነፃ - ሁሉም የቀረው።

በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ አንድ መሠረታዊ ተለዋዋጭ ብቻ አለ - x₂። ስለዚህም ከዚያ ሊገለጽ ይችላል በተለዋዋጮች x₃፣ x₄፣ x₅፣ ይህም ነፃ ናቸው።

የተገኘውን አገላለጽ ወደ መጀመሪያው እኩልታ ይተኩ።

በሚገኝበት እኩልነት ተገኘብቸኛው መሠረታዊ ተለዋዋጭ x₁ ነው። በ x₂.

እንደማለት በሱ እናድርገው።

ሁሉም መሠረታዊ ተለዋዋጮች፣ ከእነዚህም ውስጥ ሁለቱ፣ በሦስት ነፃ በሆኑ ቃላት ተገልጸዋል፣ አሁን መልሱን በአጠቃላይ ቅፅ መጻፍ ትችላለህ።

እንዲሁም ከስርዓቱ ልዩ መፍትሄዎች አንዱን መግለጽ ይችላሉ። ለእንደዚህ ዓይነቶቹ ጉዳዮች ፣ እንደ አንድ ደንብ ፣ ዜሮዎች ለነፃ ተለዋዋጮች እንደ እሴቶች ተመርጠዋል። ከዚያ መልሱ ይሆናል፡

-16, 23, 0, 0, 0.

ወጥነት የሌለው ስርዓት ምሳሌ

ወጥነት የሌላቸው የእኩልታዎች ስርዓቶች በጋውስ ዘዴ መፍትሄው ፈጣኑ ነው። በአንደኛው ደረጃ ላይ ምንም መፍትሄ የሌለው እኩልታ እንደተገኘ ያበቃል. ያም ማለት በጣም ረጅም እና አስፈሪ የሆነው ሥሮቹ ስሌት ያለው መድረክ ይጠፋል. የሚከተለው ስርዓት እየታሰበ ነው፡

x + y - z=0 (1)

2x - y - z=-2 (2)

4x + y - 3z=5 (3)

እንደተለመደው ማትሪክስ ተሰብስቧል፡

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

እና ወደ ደረጃ ተቀንሷል፡

k₁ =-2k₂ =-4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

ከመጀመሪያው ለውጥ በኋላ፣ ሶስተኛው መስመር የቅጹን እኩልታ ይይዛል

0=7፣

መፍትሄ የለም። ስለዚህ, ስርዓቱወጥነት የሌለው ነው፣ እና መልሱ ባዶ ስብስብ ነው።

የዘዴው ጥቅሞች እና ጉዳቶች

SLAE ን በወረቀት ላይ በብዕር ለመፍታት የትኛውን ዘዴ ከመረጡ በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የተመለከተው ዘዴ በጣም ማራኪ ይመስላል። በአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ውስጥ፣ ወሳኙን ወይም አንዳንድ ተንኮለኛውን የተገላቢጦሽ ማትሪክስ እራስዎ መፈለግ ካለብዎት ከሚፈጠረው በላይ ግራ መጋባት በጣም ከባድ ነው። ነገር ግን ፣ ከእንደዚህ ዓይነቱ መረጃ ጋር ለመስራት ፕሮግራሞችን ከተጠቀሙ ፣ ለምሳሌ ፣ የቀመር ሉሆች ፣ ከዚያ እንደዚህ ያሉ ፕሮግራሞች የማትሪክስ ዋና መለኪያዎችን ለማስላት ስልተ ቀመሮችን ይዘዋል - መወሰን ፣ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ፣ የተገላቢጦሽ እና የተላለፉ ማትሪክስ ፣ ወዘተ.. እና ማሽኑ ራሱ እነዚህን ዋጋዎች እንደሚያሰላ እና ስህተት እንደማይሠራ እርግጠኛ ከሆኑ የማትሪክስ ዘዴን ወይም የ Cramer ቀመሮችን መጠቀም የበለጠ ጠቃሚ ነው ፣ ምክንያቱም አፕሊኬሽኑ የሚጀምረው እና የሚያበቃው በወሳኞች እና በተገላቢጦሽ ማትሪክስ ስሌት ነው።

መተግበሪያ

የጋውሲያን መፍትሄ ስልተ ቀመር ስለሆነ እና ማትሪክስ በእውነቱ ባለ ሁለት አቅጣጫዊ አደራደር ስለሆነ በፕሮግራም አወጣጥ ውስጥ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል። ነገር ግን ጽሑፉ እራሱን እንደ መመሪያ "ለዱሚዎች" ስለሚያስቀምጥ, ዘዴውን ለማስቀመጥ በጣም ቀላሉ ቦታ የተመን ሉሆች ነው, ለምሳሌ, ኤክሴል. በድጋሚ፣ ማንኛውም SLAE በማትሪክስ መልክ በሰንጠረዥ ውስጥ የገባ በኤክሴል እንደ ባለ ሁለት አቅጣጫዊ ድርድር ይቆጠራል። እና ከነሱ ጋር ላሉ ኦፕሬሽኖች ፣ ብዙ ጥሩ ትዕዛዞች አሉ-መደመር (ተመሳሳይ መጠን ያላቸውን ማትሪክስ ብቻ ማከል ይችላሉ!) ፣ በቁጥር ማባዛት ፣ ማትሪክስ ማባዛት (እንዲሁም በየተወሰኑ ገደቦች) ፣ የተገላቢጦሽ እና የተሻገሩ ማትሪክቶችን መፈለግ እና ከሁሉም በላይ ፣ ወሳኙን ማስላት። ይህ ጊዜ የሚፈጅ ተግባር በአንድ ትእዛዝ ከተተካ፣ የማትሪክስ ደረጃን ለመወሰን በጣም ፈጣን ነው፣ እና ስለዚህ ተኳኋኙን ወይም አለመጣጣሙን ያረጋግጡ።