የዩኒቨርሲቲው የሂሳብ ትምህርት በጣም አስቸጋሪ እና ለመረዳት ከማይችሉ ርዕሰ ጉዳዮች አንዱ ውህደት እና ልዩነት ካልኩለስ ነው። እነዚህን ፅንሰ-ሀሳቦች ማወቅ እና መረዳት አለብዎት, እንዲሁም እነሱን ተግባራዊ ማድረግ ይችላሉ. ብዙ የዩኒቨርሲቲ ቴክኒካል ዲሲፕሊኖች ከልዩነቶች እና ውህደቶች ጋር የተሳሰሩ ናቸው።
ስለ እኩልታዎች አጭር መረጃ
እነዚህ እኩልታዎች በትምህርት ሥርዓቱ ውስጥ ካሉት ወሳኝ የሂሳብ ፅንሰ-ሀሳቦች ውስጥ አንዱ ናቸው። ልዩነት እኩልታ ገለልተኛ ተለዋዋጮችን፣ የሚገኘውን ተግባር እና የዚያ ተግባር ተዋጽኦዎች ገለልተኛ ናቸው ተብለው ከሚገመቱት ተለዋዋጮች ጋር የሚያገናኝ እኩልታ ነው። የአንድ ተለዋዋጭ ተግባር ለማግኘት ዲፈረንሻል ካልኩለስ ተራ ይባላል። የሚፈለገው ተግባር በብዙ ተለዋዋጮች ላይ የሚመረኮዝ ከሆነ፣ አንዱ ስለ ከፊል ልዩነት እኩልታ ይናገራል።
በእርግጥ፣ ለእኩልታው የተወሰነ መልስ ማግኘት ወደ ውህደት ይመጣል፣ እና የመፍትሄው ዘዴ የሚወሰነው በቀመር አይነት ነው።
የመጀመሪያ ቅደም ተከተል እኩልታዎች
የመጀመሪያ-ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታ ተለዋዋጭን፣ የሚፈለገውን ተግባር እና የመጀመሪያ መገኛውን የሚገልጽ እኩልታ ነው። እንደዚህ ያሉ እኩልታዎች በሶስት ቅጾች ሊሰጡ ይችላሉ፡ ግልጽ፣ ስውር፣ ልዩነት።
ለመቅረፍ ፅንሰ-ሀሳቦች
የመጀመሪያ ሁኔታ - የተፈለገውን ተግባር ዋጋ ማዋቀር ለተለየ ተለዋዋጭ እሴት።
የልዩነት እኩልታ መፍትሄ - ማንኛውም ሊለያይ የሚችል ተግባር፣ በትክክል ወደ መጀመሪያው እኩልነት የተተካ፣ ወደ ተመሳሳይ እኩልነት ይቀይረዋል። የተገኘው መፍትሔ፣ ግልጽ ያልሆነ፣ የእኩልታው ዋና አካል ነው።
የልዩነት እኩልታዎች አጠቃላይ መፍትሄ ተግባር y=y(x;C) ሲሆን የሚከተሉትን ፍርዶች ሊያረካ ይችላል፡
- አንድ ተግባር አንድ የዘፈቀደ ቋሚ С.
- የመጣው ተግባር ለማንኛውም የዘፈቀደ ቋሚ እሴቶች እኩልታ መፍትሄ መሆን አለበት።
- በተወሰነ የመነሻ ሁኔታ፣ የዘፈቀደ ቋሚ ልዩ በሆነ መንገድ ሊገለጽ ይችላል ስለዚህም የተለየ መፍትሄ ከተሰጠው ቀደምት ቅድመ ሁኔታ ጋር ይጣጣማል።
ብቻ ነው ሊኖረው የሚችለው።
በተግባር የCauchy ችግር ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል - ልዩ የሆነ መፍትሄ መፈለግ እና መጀመሪያ ላይ ከተቀመጠው ሁኔታ ጋር ሊወዳደር ይችላል።
Cauchy's theorem በልዩ ስሌት ውስጥ የአንድ የተወሰነ መፍትሄ መኖር እና ልዩነት የሚያጎላ ቲዎሪ ነው።
ጂኦሜትሪክ ስሜት፡
- አጠቃላይ መፍትሄ y=y(x;C)እኩልታ ጠቅላላ የተዋሃዱ ኩርባዎች ቁጥር ነው።
- የተለያዩ ካልኩለስ በXOY አውሮፕላን ውስጥ ያለውን የአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች እና ታንጀንት ወደ ኢንተራክታል ከርቭ እንዲገናኙ ያስችልዎታል።
- የመጀመሪያውን ሁኔታ ማዘጋጀት ማለት በአውሮፕላኑ ላይ ነጥብ ማስቀመጥ ማለት ነው።
- የCauchyን ችግር ለመፍታት ከጠቅላላው የተቀናጁ ኩርባዎች ተመሳሳይ የመፍትሄ ሃሳቦችን የሚወክሉ፣ የሚቻለውን ብቸኛውን ነጥብ መምረጥ ያስፈልጋል።
- የCauchy Theorem ሁኔታዎች በአንድ ነጥብ ላይ መሟላት ማለት አንድ ኩርባ (በተጨማሪ አንድ ብቻ) የግድ በአውሮፕላኑ ውስጥ በተመረጠው ነጥብ በኩል ያልፋል ማለት ነው።
የሚለያይ ተለዋዋጭ እኩልታ
በትርጓሜው ልዩነት እኩልታ በቀኝ ጎኑ እንደ ምርት (አንዳንድ ጊዜ ሬሾ) ሁለት ተግባራትን የሚገልጽበት ወይም የሚንጸባረቅበት ቀመር ሲሆን አንዱ በ"x" ላይ ብቻ የሚወሰን ሲሆን ሌላኛው - በ"y" ላይ ብቻ የሚወሰን ነው። ". ለዚህ አይነት ግልጽ ምሳሌ፡ y'=f1(x)f2(y)።
የአንድ የተወሰነ ቅጽ እኩልታዎችን ለመፍታት በመጀመሪያ የy'=dy/dx ውፅዓት መቀየር አለቦት። ከዚያም, እኩልታውን በማቀነባበር, ሁለቱን የእኩልቱን ክፍሎች ወደሚያዋህዱበት ቅጽ ማምጣት ያስፈልግዎታል. አስፈላጊ ከሆኑ ለውጦች በኋላ ሁለቱንም ክፍሎች በማዋሃድ ውጤቱን ቀላል እናደርጋለን።
ተመሳሳይ እኩልታዎች
በትርጓሜ፣ ልዩነት እኩልነት የሚከተለው ቅጽ ካለው፡ y'=g(y/x)።
በዚህ አጋጣሚ ምትክ y/x=በብዛት ጥቅም ላይ ይውላልt(x)
እንዲህ ያሉ እኩልታዎችን ለመፍታት፣ተመሳሳዩን እኩልታ ወደ አንድ ቅጽ ከተነጣጠሉ ተለዋዋጮች ጋር መቀነስ ያስፈልጋል። ይህንን ለማድረግ የሚከተሉትን ተግባራት ማከናወን አለብዎት፡
- ማሳያ፣የዋናውን ተግባር ተዋፅኦ በመግለጽ ከማንኛውም ኦሪጅናል ተግባር እንደ አዲስ ቀመር።
- የሚቀጥለው እርምጃ የውጤቱን ተግባር ወደ ቅጽ f(x;y)=g(y/x) መቀየር ነው። በቀላል ቃላት፣ እኩልታው y/x ምጥጥን እና ቋሚዎችን ብቻ እንዲይዝ ያድርጉት።
- የሚከተለውን ምትክ ያድርጉ፡y/x=t(x); y=t (x)x; y'=t'x + t. የተደረገው ምትክ ተለዋዋጮችን በቀመር ውስጥ ለመከፋፈል ይረዳል፣ ቀስ በቀስ ወደ ቀለል ቅርጽ ያመጣል።
የመስመር እኩልታዎች
የእነዚህ እኩልታዎች ትርጓሜ እንደሚከተለው ነው፡- መስመራዊ ልዩነት እኩልታ እኩልታ ሲሆን የቀኝ ጎኑ ከዋናው ተግባር አንፃር እንደ ቀጥተኛ አገላለጽ ይገለጻል። በዚህ ጉዳይ ላይ የሚፈለገው ተግባር፡ y'=a(x)y + b(x)።
ትርጉሙን እንደሚከተለው እንድገመው፡ ማንኛውም የ1ኛ ቅደም ተከተል እኩልታ ኦርጅናሌው ተግባር እና ውፅዋቱ በመጀመሪያው ዲግሪ ቀመር ውስጥ ከተካተቱ እና እርስበርስ ካልተባዙ በቅርጹ መስመራዊ ይሆናል። የመስመራዊ ልዩነት እኩልታ "ክላሲካል ቅርጽ" የሚከተለው መዋቅር አለው፡ y' + P(x)y=Q(x)።
እንዲህ ያለውን እኩልታ ከመፍታት በፊት ወደ "ክላሲካል ፎርም" መቀየር አለበት። ቀጣዩ እርምጃ የመፍትሄው ዘዴ ምርጫ ይሆናል፡ የበርኑሊ ዘዴ ወይም የላግራንጅ ዘዴ።
እኩልቱን በመፍታት ላይበበርኑሊ ያስተዋወቀውን ዘዴ በመጠቀም መስመራዊ ልዩነት እኩልታን በመተካት እና በመቀነስ ወደ ሁለት እኩልታዎች ከተለዩ ተግባራት ዩ(x) እና V(x) አንፃር በተለዩ ተለዋዋጮች ፣በመጀመሪያው መልክ የተሰጡ ናቸው።
የላግራንጅ ዘዴ ለዋናው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ መፈለግ ነው።
- የተመሳሳዩ እኩልታ ተመሳሳይ መፍትሄ መፈለግ ያስፈልጋል። ከፈለግን በኋላ y=y(x, C) ተግባር አለን እሱም C የዘፈቀደ ቋሚ ነው።
- ለዋናው እኩልታ በተመሳሳይ መልኩ መፍትሄ እየፈለግን ነው ነገርግን C=C(x)ን እንመለከታለን። ተግባሩን y=y(x, C (x)) ወደ ዋናው ቀመር እንተካለን, ተግባሩን C (x) ፈልገን እና የአጠቃላይ ኦሪጅናል እኩልታ መፍትሄ እንጽፋለን.
የበርኑሊ እኩልታ
የበርኑሊ እኩልታ - የካልኩለስ የቀኝ ጎን f(x;y)=a(x)y + b(x)yk ቅጽ ከወሰደ፣ k ማንኛውም የሚቻል ምክንያታዊ አሃዛዊ እሴት ነው እንጂ እንደ አንድ አይወሰድም። ለምሳሌ ኬ=0 እና k=1.
ሲሆኑ
k=1 ከሆነ፣ ካልኩሉስ ተለያይቷል፣ እና k=0፣ እኩልታው መስመራዊ ይሆናል።
የዚህን አይነት እኩልታ የመፍታት አጠቃላይ ሁኔታን እናስብ። ደረጃውን የጠበቀ የቤርኑሊ እኩልታ አለን። ወደ መስመራዊ አንድ መቀነስ አለበት, ለዚህም እኩልታውን በ yk መከፋፈል ያስፈልግዎታል. ከዚህ ቀዶ ጥገና በኋላ, z (x)=y1-k ይተኩ. ከተከታታይ ለውጦች በኋላ፣ እኩልታው ወደ መስመራዊ አንድ ይቀንሳል፣ ብዙ ጊዜ በመተካት ዘዴ z=UV.
እኩልታዎች በጠቅላላ ልዩነቶች
ፍቺ። ከመዋቅር ጋር ያለው እኩልታ P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 ሙሉ በሙሉ እኩልነት ይባላልልዩነት, የሚከተለው ሁኔታ ከተሟላ (በዚህ ሁኔታ, "d" ከፊል ልዩነት): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
ሁሉም ቀደም ብለው የታሰቡ የመጀመሪያ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች እንደ ልዩነት ሊታዩ ይችላሉ።
እንዲህ ያሉ ስሌቶች በብዙ መንገዶች ይፈታሉ። ነገር ግን, ነገር ግን, ሁሉም በቅድመ ሁኔታ ምርመራ ይጀምራሉ. ሁኔታው ከተሟላ፣ ከዚያ በግራ በኩል ያለው የእኩልታው ክልል እስካሁን ያልታወቀ ተግባር U(x;y) አጠቃላይ ልዩነት ነው። ከዚያም በቀመርው መሠረት dU (x; y) ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል, እና ስለዚህ በጠቅላላው ልዩነት ውስጥ ያለው ተመሳሳይ እኩልታ በ U (x; y) u003d C. ቅጽ ውስጥ ይታያል. የእኩልታው መፍትሄ ተግባር U (x; y) ለማግኘት ቀንሷል።
የማዋሃድ ምክንያት
ሁኔታ dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx በቀመር ውስጥ ካልረካ፣ እኩልታው ከላይ የተመለከትነው ቅጽ የለውም። ነገር ግን አንዳንድ ጊዜ የተወሰነ ተግባር M (x;y) መምረጥ ይቻላል, ሲባዛ, እኩልዮሹ ሙሉ በሙሉ "ይለያያል" ውስጥ እኩል ይሆናል. ተግባር M (x;y) እንደ ውህደት ምክንያት ይጠቀሳል።
አካራሪ ሊገኝ የሚችለው የአንድ ተለዋዋጭ ተግባር ሲሆን ብቻ ነው።
