2ኛ ቅደም ተከተል ወለሎች፡ ምሳሌዎች

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-02 17:40

ተማሪው ብዙውን ጊዜ በአንደኛው አመት የ2ኛ ቅደም ተከተል ወለል ያጋጥመዋል። መጀመሪያ ላይ በዚህ ርዕስ ላይ ያሉ ተግባራት ቀላል ሊመስሉ ይችላሉ, ነገር ግን ከፍተኛ ሂሳብን ስታጠና እና ወደ ሳይንሳዊው ጎን ስትገባ, በመጨረሻ በሚሆነው ነገር ላይ እራስህን መምራት ማቆም ትችላለህ. ይህ እንዳይከሰት ለማስታወስ ብቻ ሳይሆን ይህ ወይም ያኛው ገጽ እንዴት እንደሚገኝ፣ የቁጥሮች ለውጥ እንዴት እንደሚነካው እና ከዋናው የማስተባበሪያ ስርዓት አንጻር ያለበትን ቦታ እና አዲስ አሰራር እንዴት እንደሚገኝ ለመረዳት ያስፈልጋል። (የእሱ መሃከል ከመነሻው መጋጠሚያዎች ጋር የሚገጣጠምበት እና የሲሜትሪ ዘንግ ከአንዱ መጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ነው)። ከመጀመሪያው እንጀምር።

ፍቺ

ጂኤምቲ 2ኛ ቅደም ተከተል ወለል ተብሎ ይጠራል፣ መጋጠሚያዎቹ የሚከተለውን ቅጽ አጠቃላይ እኩልታ ያረካሉ፡

F(x, y, z)=0.

የላይኛው ክፍል የሆነ እያንዳንዱ ነጥብ በተወሰነ ደረጃ ሶስት መጋጠሚያዎች ሊኖሩት እንደሚገባ ግልጽ ነው። ምንም እንኳን በአንዳንድ ሁኔታዎች የነጥቦች ቦታ ሊበላሽ ይችላል, ለምሳሌ ወደ አውሮፕላን. ይህ ማለት ከመስተባበሪያዎቹ አንዱ ቋሚ እና በጠቅላላው ተቀባይነት ባላቸው እሴቶች ክልል ውስጥ ከዜሮ ጋር እኩል ነው ማለት ነው።

ከላይ የተጠቀሰው የእኩልነት ሙሉ ቀለም ይህን ይመስላል፡

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A₂₃ yz+2A₁₃xz+2A₁₄x+2A₂₄y+2A ₃₄z+A_44=0.

A_{nm - አንዳንድ ቋሚዎች፣ x፣ y፣ z - ከአንዳንድ ነጥብ የአፊን መጋጠሚያዎች ጋር የሚዛመዱ ተለዋዋጮች። በዚህ ሁኔታ፣ ቢያንስ አንዱ ቋሚ ምክንያቶች ከዜሮ ጋር እኩል መሆን የለባቸውም፣ ማለትም፣ የትኛውም ነጥብ ከቀመሩ ጋር አይዛመድም።}

በአብዛኞቹ ምሳሌዎች፣ ብዙ አሃዛዊ ምክንያቶች አሁንም በተመሳሳይ ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው፣ እና እኩልታው በጣም ቀላል ነው። በተግባር ፣ አንድ ነጥብ የገጽታ መሆኑን ወይም አለመሆኑን መወሰን አስቸጋሪ አይደለም (መጋጠሚያዎቹን ወደ እኩልታው ውስጥ መተካት እና ማንነቱ መታየቱን ማረጋገጥ በቂ ነው)። በእንደዚህ አይነት ስራ ውስጥ ዋናው ነጥብ የኋለኛውን ወደ ቀኖናዊ መልክ ማምጣት ነው።

ከላይ የተጻፈው እኩልታ የ2ኛ ቅደም ተከተል ማናቸውንም (ከዚህ በታች የተዘረዘሩትን ሁሉ) ይገልጻል። ምሳሌዎችን ከዚህ በታች እንመለከታለን።

የሁለተኛው ቅደም ተከተል የወለል ዓይነቶች

የሁለተኛው ቅደም ተከተል ወለል እኩልታዎች የሚለያዩት በ Coefficients A_{nm ብቻ ነው። ከአጠቃላይ እይታ ፣ ለተወሰኑ የቋሚዎቹ እሴቶች ፣ የተለያዩ ንጣፎችን ማግኘት ይቻላል ፣ እንደሚከተለው ይመደባሉ-}

1. ሲሊንደር።
2. Elliptical አይነት።
3. ሃይፐርቦሊክ አይነት።
4. የሾጣጣ ዓይነት።
5. ፓራቦሊክ አይነት።
6. አውሮፕላኖች።

የተዘረዘሩት የእያንዳንዳቸው ዓይነቶች ተፈጥሯዊ እና ምናባዊ መልክ አላቸው፡ በምናባዊው መልኩ የትክክለኛ ነጥቦች ቦታ ወይ ወደ ቀላል አሃዝ ይቀየራል ወይም ሙሉ በሙሉ የለም።

ሲሊንደሮች

ይህ በጣም ቀላሉ አይነት ነው፣ ምክንያቱም በአንጻራዊነት ውስብስብ የሆነ ኩርባ በመሠረት ላይ ብቻ ስለሚገኝ እንደ መመሪያ ይሠራል። ጄነሬተሮች መሰረቱ ካለበት አውሮፕላን ጋር ቀጥ ያሉ መስመሮች ናቸው።

ግራፉ ክብ ቅርጽ ያለው ሲሊንደርን፣ ልዩ የኤሊፕቲካል ሲሊንደር መያዣን ያሳያል። በ XY አውሮፕላን ውስጥ የእሱ ትንበያ ሞላላ ይሆናል (በእኛ ሁኔታ, ክብ) - መመሪያ, እና በ XZ - አራት ማዕዘን - ጄነሬተሮች ከ Z ዘንግ ጋር ትይዩ ስለሆኑ ከአጠቃላይ እኩልታ ለማግኘት, ያስፈልግዎታል. የሚከተሉትን እሴቶች ለዋነኞቹ ለመስጠት፡

ከተለመደው ምልክቶች x፣y፣z፣x ከመለያ ቁጥር ጋር ጥቅም ላይ ይውላል - ምንም አይደለም።

በእውነቱ፣ 1/a2እና ሌሎች እዚህ ላይ የተመለከቱት ቋሚዎች በአጠቃላይ እኩልታ ላይ የተገለጹት ተመሳሳይ ቀመሮች ናቸው፣ነገር ግን በዚህ ቅጽ መፃፍ የተለመደ ነው - ይህ ነው ቀኖናዊው ውክልና. በተጨማሪም፣ እንደዚህ አይነት ማስታወሻ ብቻ ጥቅም ላይ ይውላል።

የሃይፐርቦሊክ ሲሊንደር የሚገለፀው በዚህ መንገድ ነው። መርሃግብሩ አንድ ነው - ሃይፐርቦል መመሪያው ይሆናል።

y2=2px

የፓራቦሊክ ሲሊንደር በተወሰነ መልኩ ይገለጻል፡ ቀኖናዊው ቅርጹ ኮፊሸን ፒን ያጠቃልላል፣ ፓራሜትር ይባላል። እንደውም ኮፊፊሴሽኑ ከq=2p ጋር እኩል ነው ነገርግን በቀረቡት ሁለት ምክንያቶች መከፋፈል የተለመደ ነው።

ሌላ የሲሊንደር አይነት አለ፡ ምናባዊ። ለእንደዚህ ዓይነቱ ሲሊንደር ምንም እውነተኛ ነጥብ የለም. በቀመርው ይገለጻል።ሞላላ ሲሊንደር፣ ግን በአሃድ ምትክ -1. ነው።

ኢሊፕቲካል ዓይነት

ኤሊፕሶይድ ከአንዱ መጥረቢያ ጋር ሊዘረጋ ይችላል (በዚህም ላይ የሚወሰነው በቋሚዎቹ a, b, c, ከላይ በተገለጹት ዋጋዎች ላይ ነው, ትልቅ መጠን ያለው መጠን ከትልቁ ዘንግ ጋር እንደሚዛመድ ግልጽ ነው.)

እንዲሁም ምናባዊ ellipsoid አለ - የመጋጠሚያዎቹ ድምር በቁጥር ሲባዛ -1፡ እስከሆነ ድረስ

ሃይፐርቦሎይድስ

ከቋሚዎቹ ውስጥ አንዱ ሲቀነስ፣የ ellipsoid equation ወደ ነጠላ ሉህ ሃይፐርቦሎይድ እኩልታ ይቀየራል። ይህ ተቀንሶ ከ x₃ መጋጠሚያ በፊት መገኘት እንደሌለበት መረዳት ያስፈልጋል! ከመጥረቢያዎቹ ውስጥ የትኛው የሃይፐርቦሎይድ የማዞሪያ ዘንግ እንደሚሆን ብቻ ነው የሚወስነው (ወይም ከእሱ ጋር ትይዩ፣ ተጨማሪ ቃላት በካሬው ላይ ሲታዩ (ለምሳሌ፣ (x-2))^{2) የምስሉ መሃከል ይቀየራል, በውጤቱም, መሬቱ ከመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ይንቀሳቀሳል). ይህ በሁሉም የ2ኛ ደረጃ ቦታዎች ላይ ተፈጻሚ ይሆናል።}

ከዚህም በተጨማሪ እኩልታዎቹ በቀኖናዊ መልክ እንደሚቀርቡ እና ቋሚዎችን በመለዋወጥ ሊለወጡ እንደሚችሉ መረዳት ያስፈልግዎታል (ምልክቱ ተጠብቆ!); ቅርጻቸው (ሃይፐርቦሎይድ፣ ኮን እና የመሳሰሉት) ተመሳሳይ ሆነው ሲቀሩ።

ይህ እኩልታ አስቀድሞ በሁለት ሉህ ሃይፐርቦሎይድ ተሰጥቷል።

ኮኒካል ላዩን

በኮን ቀመር ውስጥ ምንም አሃድ የለም - እኩልነት ወደ ዜሮ።

የታሰረ ሾጣጣ ገጽ ብቻ ኮን ይባላል። ከታች ያለው ምስል የሚያሳየው በገበታው ላይ እንደውም ሁለት ኮኖች የሚባሉት ይኖራሉ።

ጠቃሚ ማስታወሻ፡ በሁሉም ግምት ውስጥ በሚገኙ ቀኖናዊ እኩልታዎች፣ ቋሚዎቹ በነባሪነት አዎንታዊ ተደርገው ይወሰዳሉ። ያለበለዚያ ምልክቱ በመጨረሻው ገበታ ላይ ተጽዕኖ ሊኖረው ይችላል።

የመጋጠሚያ አውሮፕላኖቹ የኮን ሲሜትሪ አውሮፕላኖች ይሆናሉ፣የሲሜትሪ መሃል የሚገኘው በመነሻው ነው።

በምናባዊው የኮን እኩልዮሽ ውስጥ ፕላስ ብቻ ነው ያሉት። የአንድ ትክክለኛ ነጥብ ባለቤት ነው።

Paraboloids

በህዋ ላይ ያለው የ2ኛ ደረጃ ላይ ያሉ ወለሎች ተመሳሳይ እኩልታዎች ቢኖራቸውም የተለያዩ ቅርጾችን ሊወስዱ ይችላሉ። ለምሳሌ፣ ሁለት አይነት ፓራቦሎይድ አለ።

x²/a²+y²/b^2=2z

ኤሊፕቲካል ፓራቦሎይድ፣ የZ ዘንግ በሥዕሉ ላይ ቀጥ ያለ ሲሆን ወደ ሞላላ ይተላለፋል።

x²/a²-y²/b^2=2z

ሃይፐርቦሊክ ፓራቦሎይድ፡- ከZY ጋር ትይዩ የሆኑ አውሮፕላኖች ያላቸው ክፍሎች ፓራቦላዎችን ያመርታሉ።

አውሮፕላኖች የሚያቋርጡ

የ2ኛ ቅደም ተከተል ወለል ወደ አውሮፕላን የሚበላሹበት አጋጣሚዎች አሉ። እነዚህ አውሮፕላኖች በተለያዩ መንገዶች ሊደረደሩ ይችላሉ።

መጀመሪያ የሚገናኙትን አውሮፕላኖች አስቡባቸው፡

x²/a²-y²/b²⁼⁰

ይህ የቀኖናዊ እኩልታ ማሻሻያ ሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖችን ብቻ ያመጣል (ምናባዊ!); ሁሉም ትክክለኛ ነጥቦች በቀመር ውስጥ (በቀኖና - ዜድ ዘንግ) ውስጥ በጠፋው የማስተባበር ዘንግ ላይ ናቸው።

ትይዩ አውሮፕላኖች

y²=a²

አንድ መጋጠሚያ ብቻ ሲኖር፣ የ2ኛ ቅደም ተከተል ገጽታዎች ወደ ጥንድ ትይዩ አውሮፕላኖች ይበላሻሉ። ያስታውሱ, ማንኛውም ሌላ ተለዋዋጭ የ Y ቦታ ሊወስድ ይችላል; ከዚያ ከሌሎች መጥረቢያዎች ጋር ትይዩ የሆኑ አውሮፕላኖች ይገኛሉ።

y²=-a²

በዚህ አጋጣሚ፣ ምናባዊ ይሆናሉ።

የተገጣጠሙ አውሮፕላኖች

y2=0

በእንዲህ አይነት ቀላል እኩልታ ጥንድ አይሮፕላኖች ወደ አንድ ይቀየራሉ - ይገጣጠማሉ።

አትርሳ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ መሰረት ከሆነ ከላይ ያለው እኩልታ ቀጥተኛ መስመርን y=0 አይገልጽም! ሌሎቹ ሁለት ተለዋዋጮች ይጎድለዋል፣ ነገር ግን ይህ ማለት ዋጋቸው ቋሚ እና ከዜሮ ጋር እኩል ነው ማለት ነው።

ግንባታ

ለተማሪ በጣም ከባድ ከሆኑ ተግባራት ውስጥ አንዱ የሁለተኛ ደረጃ ንጣፍ ግንባታ ነው። ከመጥረቢያዎቹ እና ከማዕከሉ ማካካሻ አንፃር የክርን ማዕዘኖች ከግምት ውስጥ በማስገባት ከአንዱ የማስተባበር ስርዓት ወደ ሌላ መንቀሳቀስ የበለጠ ከባድ ነው። የስዕሉን የወደፊት እይታ ከትንታኔ ጋር እንዴት በቋሚነት መወሰን እንደሚቻል እንድገምመንገድ።

የ2ኛ ደረጃ ወለል ለመገንባት የሚያስፈልግህ፡

• እኩልታውን ወደ ቀኖናዊ መልክ አምጣ፤
• በጥናት ላይ ያለውን የገጽታ አይነት ይወስኑ፤
• ግንባታ በተመጣጣኝ ዋጋዎች ላይ በመመስረት።

ከታች ያሉት ሁሉም ዓይነቶች ይታሰባሉ፡

ለመጠናከር፣የዚህን አይነት ተግባር አንድ ምሳሌ በዝርዝር እንግለጽ።

ምሳሌዎች

እኩልነት አለ እንበል፡

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

ወደ ቀኖናዊ መልክ እናምጣው። ሙሉ ካሬዎችን ለይተን እናውጣ, ማለትም, የሚገኙትን ቃላት የድምር ወይም የልዩነት ካሬ መስፋፋት በሚያስችል መንገድ እናዘጋጃለን. ለምሳሌ፡ (a+1)²=a²+2a+1 ከሆነ ²+2a +1=(a+1)^{2። ሁለተኛውን ቀዶ ጥገና እናከናውናለን. በዚህ ሁኔታ, ስሌቶችን ብቻ ስለሚያወሳስብ, ቅንፍ መክፈት አስፈላጊ አይደለም, ነገር ግን የተለመደው ፋክተር 6 (ከ Y ሙሉ ካሬ ጋር በቅንፍ ውስጥ) ማውጣት አስፈላጊ ነው:}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²²⁼⁶

ተለዋዋጭ z በዚህ ሁኔታ አንድ ጊዜ ብቻ ይከሰታል - ለአሁኑ ብቻውን መተው ይችላሉ።

እርምጃውን በዚህ ደረጃ እንመረምራለን፡ ሁሉም ያልታወቁት በመደመር ምልክት ይቀድማሉ። በስድስት ሲካፈል አንድ ይቀራል. ስለዚህ፣ ellipsoidን የሚገልጽ እኩልታ አለን።

ልብ ይበሉ 144 ወደ 150-6 ተከፋፍሏል፣ ከዚያ በኋላ -6 ወደ ቀኝ ተወስዷል። ለምን በዚህ መንገድ መደረግ አስፈለገ? በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, በዚህ ምሳሌ ውስጥ ትልቁ አካፋይ -6 ነው, ስለዚህም በእሱ ከተከፋፈለ በኋላአንዱ በቀኝ በኩል ይቀራል ፣ በትክክል 6 ከ 144 በትክክል “ማዘግየት” አስፈላጊ ነው (በቀኝ በኩል መሆን ያለበት ነፃ ቃል በመኖሩ ነው - ቋሚ በማይታወቅ የማይባዛ) ።

ሁሉንም ነገር በስድስት ይከፋፍሉት እና የ ellipsoid ቀኖናዊ እኩልታ ያግኙ፡

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

ከዚህ ቀደም ጥቅም ላይ በዋለው የ 2 ኛ ቅደም ተከተል የወለል ንጣፎች ምደባ ፣ የምስሉ መሃል መጋጠሚያዎች መነሻ ላይ በሚሆንበት ጊዜ ልዩ ጉዳይ ይታሰባል። በዚህ ምሳሌ፣ ተቀናብሯል።

የማይታወቅ እያንዳንዱ ቅንፍ አዲስ ተለዋዋጭ ነው ብለን እንገምታለን። ማለትም፡ a=x-1፣ b=y+5፣ c=z። በአዲሶቹ መጋጠሚያዎች ውስጥ የኤሊፕሶይድ ማእከል ከነጥብ (0, 0, 0) ጋር ይጣጣማል, ስለዚህ, a=b=c=0, ከየት: x=1, y=-5, z=0. በመጀመሪያ መጋጠሚያዎች፣ የምስሉ መሃል ነጥቡ ላይ (1፣ -5፣ 0) ላይ ይገኛል።

Ellipsoid የሚገኘው ከሁለት ኤሊፕስ ነው፡ የመጀመሪያው በ XY አውሮፕላን እና ሁለተኛው በ XZ አውሮፕላን (ወይም YZ - ምንም አይደለም)። ተለዋዋጮች የሚከፋፈሉባቸው ውህደቶች በቀኖናዊው እኩልዮሽ ውስጥ ስኩዌር ናቸው። ስለዚህ ከላይ በተገለጸው ምሳሌ ለሁለት፣ አንድ እና ለሶስት ሥር መከፋፈል የበለጠ ትክክል ይሆናል።

የመጀመሪያው ellipse ትንሹ ዘንግ፣ ከ Y ዘንግ ጋር ትይዩ፣ ሁለት ነው። ከ x-ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነው ዋናው ዘንግ ሁለት የሁለት ሥሮች ነው። የሁለተኛው ellipse ትንሽ ዘንግ, ከ Y ዘንግ ጋር ትይዩ, ተመሳሳይ ሆኖ ይቆያል - ከሁለት ጋር እኩል ነው. እና ዋናው ዘንግ ፣ ከዚ ዘንግ ጋር ትይዩ ፣ ከሦስት የሶስት ሥሮች ጋር እኩል ነው።

ከዋናው ቀመር በተገኘው መረጃ በመታገዝ ወደ ቀኖናዊው ቅጽ በመቀየር ellipsoid መሳል እንችላለን።

ማጠቃለያ

በዚህ ጽሑፍ ተሸፍኗልርዕሱ በጣም ሰፊ ነው, ግን በእውነቱ, አሁን እንደምታዩት, በጣም የተወሳሰበ አይደለም. የሱ ልማት፣ በእውነቱ፣ የንጣፎችን ስሞች እና እኩልታዎች በምታስታውስበት ቅጽበት (እና በእርግጥ፣ እንዴት እንደሚመስሉ) ያበቃል። ከላይ በምሳሌው ላይ እያንዳንዱን እርምጃ በዝርዝር ተወያይተናል ነገርግን እኩልታውን ወደ ቀኖናዊው ቅፅ ማምጣት ስለ ከፍተኛ የሂሳብ እውቀት አነስተኛ እውቀትን ይጠይቃል እና ለተማሪው ምንም አይነት ችግር መፍጠር የለበትም።

በነባሩ እኩልነት ላይ የወደፊት መርሃ ግብር ትንተና ቀድሞውንም ከባድ ስራ ነው። ነገር ግን ለስኬታማው መፍትሄ, ተጓዳኝ ሁለተኛ ደረጃ ኩርባዎች እንዴት እንደሚገነቡ ለመረዳት በቂ ነው - ellipses, parabolas እና ሌሎች.

የመበስበስ ጉዳዮች - ይበልጥ ቀላል ክፍል። አንዳንድ ተለዋዋጮች በሌሉበት ምክንያት ቀደም ሲል እንደተገለፀው ስሌቶቹ ቀለል ያሉ ብቻ ሳይሆን ግንባታው ራሱም ጭምር ነው።

ሁሉንም የገጽታ አይነቶች በድፍረት መሰየም እንደቻሉ፣ቋሚዎቹን ይቀይሩ፣ግራፉን ወደ አንድ ወይም ሌላ ቅርጽ በመቀየር -ርዕሱ በደንብ ይሳካል።

በትምህርትዎ ስኬት!