ቬክተሮች በአውሮፕላኑ እና በህዋ ላይ፡ ቀመሮች እና ምሳሌዎች

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-02 17:40

ቬክተር ጠቃሚ የጂኦሜትሪክ ነገር ነው, በንብረቶቹ እርዳታ በአውሮፕላኑ እና በህዋ ላይ ብዙ ችግሮችን ለመፍታት ምቹ ነው. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እንገልፃለን፣ ዋና ዋና ባህሪያቱን እንመረምራለን እንዲሁም በህዋ ላይ ያለ ቬክተር አውሮፕላኖችን ለመለየት እንዴት ጥቅም ላይ ሊውል እንደሚችል እናሳያለን።

ቬክተር ምንድን ነው፡ ባለ ሁለት አቅጣጫ መያዣ

በመጀመሪያ ስለየትኛው ነገር እየተነጋገርን እንዳለ በግልፅ መረዳት ያስፈልጋል። በጂኦሜትሪ ውስጥ, የተመራው ክፍል ቬክተር ይባላል. ልክ እንደ ማንኛውም ክፍል, በሁለት ዋና ዋና ነገሮች ተለይቷል-የመጀመሪያ እና የመጨረሻ ነጥቦች. የእነዚህ ነጥቦች መጋጠሚያዎች ሁሉንም የቬክተር ባህሪያትን በልዩ ሁኔታ ይወስናሉ።

በአውሮፕላን ላይ የቬክተር ምሳሌን እናንሳ። ይህንን ለማድረግ, ሁለት እርስ በርስ የሚደጋገፉ ዘንጎች x እና y እናስባለን. የዘፈቀደ ነጥብ P(x፣ y) ምልክት እናድርግ። ይህንን ነጥብ ከመነሻው (ነጥብ O) ጋር ካገናኘን እና አቅጣጫውን ወደ ፒ ከገለፅን, ከዚያም ቬክተር OPPG እናገኛለን (በአንቀጹ ላይ በኋላ ላይ ያለው ምልክት ቬክተርን እንደምናስብ ያሳያል). በአውሮፕላኑ ላይ ያለው የቬክተር ሥዕል ከዚህ በታች ይታያል።

እዚህ፣ሌላ ቬክተር ኤቢኤንም ታይቷል፣እናም ባህሪያቱ በትክክል ከOPPG ጋር አንድ አይነት መሆናቸውን ማየት ትችላላችሁ፣ነገር ግን በአስተባባሪ ስርዓቱ ውስጥ ያለው የተለየ ክፍል ውስጥ ነው። በትይዩ ትርጉም ኦፒኤን፣ተመሳሳዩ ንብረቶች ያላቸውን ማለቂያ የሌላቸው ቬክተር ማግኘት ይችላሉ።

Vector in space

በዙሪያችን ያሉ ሁሉም እውነተኛ እቃዎች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ናቸው። የሶስት-ልኬት አሃዞች የጂኦሜትሪክ ባህሪያት ጥናት ከ stereometry ጋር የተያያዘ ነው, እሱም ከሶስት አቅጣጫዊ ቬክተሮች ጽንሰ-ሀሳብ ጋር ይሠራል. ከባለ ሁለት አቅጣጫ የሚለያዩት ገለጻቸው ተጨማሪ መጋጠሚያ ስለሚያስፈልገው ብቻ ነው፣ እሱም በሦስተኛው perpendicular x እና y axis z. የሚለካ ነው።

ከታች ያለው ምስል በጠፈር ውስጥ ያለውን ቬክተር ያሳያል። በእያንዳንዱ ዘንግ ላይ ያለው የጫፉ መጋጠሚያዎች በቀለማት ያሸበረቁ ክፍሎች ይጠቁማሉ። የቬክተሩ መጀመሪያ በሶስቱም መጋጠሚያ መጥረቢያዎች መገናኛ ነጥብ ላይ ይገኛል, ማለትም, መጋጠሚያዎች (0; 0; 0) አለው.

በአውሮፕላኑ ላይ ያለ ቬክተር በቦታ አቅጣጫ የሚመራ ክፍል ልዩ ጉዳይ ስለሆነ በጽሁፉ ውስጥ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቬክተር ብቻ እንመለከታለን።

የቬክተር መጋጠሚያዎች በሚታወቁት የመነሻ እና የማጠናቀቂያው መጋጠሚያዎች ላይ በመመስረት

ሁለት ነጥብ አለ እንበል P(x₁፤ y₁፤ z₁ እና Q(x₂፤ y₂፤ z_{2። የቬክተር PQN መጋጠሚያዎችን እንዴት እንደሚወስኑ። በመጀመሪያ ደረጃ, የትኞቹ ነጥቦች መጀመሪያ እና የትኛው የቬክተር መጨረሻ እንደሚሆን መስማማት ያስፈልጋል. በሂሳብ ውስጥ በጥያቄ ውስጥ ያለውን ነገር በአቅጣጫው መፃፍ የተለመደ ነው, ማለትም P መጀመሪያ ነው, Q.- መጨረሻ. በሁለተኛ ደረጃ፣ የቬክተር PQNG መጋጠሚያዎች እንደ መጨረሻው እና መጀመሪያው ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች መካከል ያለው ልዩነት ይሰላሉ፡-}

PQN=(x₂- x₁; y₂- y 1_{፤ z}2_{- z}1_።።

የቬክተሩን አቅጣጫ በመቀየር መጋጠሚያዎቹ ምልክቱን እንደሚቀይሩ ልብ ይበሉ፡

QPNG=(x₁- x₂; y₁- y 2_{፤ z}1_{- z}2_።።

ይህ ማለት PQN=-QPN ማለት ነው።

አንድ ተጨማሪ ነገር መረዳት አስፈላጊ ነው። ከላይ እንደተነገረው በአውሮፕላኑ ውስጥ ከተሰጠው ጋር እኩል የሆነ ቁጥር የሌላቸው ቬክተሮች አሉ. ይህ እውነታ ለቦታ ጉዳይም የሚሰራ ነው። በእርግጥ፣ ከላይ ባለው ምሳሌ የPQN መጋጠሚያዎችን ስናሰላ የዚህ ቬክተር ትይዩ የትርጉም ሥራ አመጣጡ ከመነሻው ጋር እንዲገጣጠም አድርገናል። ቬክተር PQNG ከመነሻው እስከ ነጥብ M ((x₂ - x₁; y_{2 እንደ ቀጥተኛ ክፍል መሳል ይቻላል} - y₁; z₂ - z_1።።

የቬክተር ንብረቶች

እንደማንኛውም ጂኦሜትሪ ነገር፣ ቬክተር ችግሮችን ለመፍታት የሚያገለግሉ አንዳንድ ተፈጥሯዊ ባህሪያት አሉት። ባጭሩ እንዘርዝራቸው።

የቬክተር ሞዱል የተመራው ክፍል ርዝመት ነው። መጋጠሚያዎቹን ማወቅ, ለማስላት ቀላል ነው. ከላይ በምሳሌው ላይ ላለው የቬክተር PQN ሞጁሉ፡ ነው

|PQNG|=√[(x₂- x₁)² + (y₂) - y₁)²+ (z₂ - z₁)^2።።

የቬክተር ሞጁል በርቷል።አውሮፕላን የሚሰላው በተመሳሳይ ቀመር ነው፣ ያለ ሶስተኛው መጋጠሚያ ተሳትፎ ብቻ ነው።

የቬክተር ድምር እና ልዩነት የሚከናወነው በሶስት ማዕዘን ህግ መሰረት ነው። ከታች ያለው ምስል እነዚህን ነገሮች እንዴት ማከል እና መቀነስ እንደሚቻል ያሳያል።

የድምር ቬክተር ለማግኘት የሁለተኛውን መጀመሪያ ወደ የመጀመሪያው ቬክተር መጨረሻ ይጨምሩ። የሚፈለገው ቬክተር በመጀመሪያው መጀመሪያ ላይ ይጀምር እና በሁለተኛው ቬክተር መጨረሻ ያበቃል።

ልዩነቱ የሚከናወነው የተቀነሰው ቬክተር በተቃራኒው መተካቱን ከግምት ውስጥ በማስገባት ሲሆን ከዚያም ከላይ የተገለጸው የመደመር ተግባር ይከናወናል።

ከመደመር እና ከመቀነስ በተጨማሪ ቬክተርን በቁጥር ማባዛት መቻል አስፈላጊ ነው። ቁጥሩ ከ k ጋር እኩል ከሆነ ቬክተር የተገኘው ሞጁሉ ከዋናው k ጊዜ የተለየ ሲሆን አቅጣጫውም አንድ ነው (k>0) ወይም ከዋናው (k<0) ተቃራኒ ነው።

በመካከላቸው የቬክተር ማባዛት ተግባርም ይገለጻል። በጽሁፉ ውስጥ ለእሱ የተለየ አንቀጽ እንለየዋለን።

ስካላር እና የቬክተር ብዜት

ሁለት ቬክተሮች አሉ እንበል(x₁; y₁; z₁) እና vn(x₂፤ y₂፤ z_{2)። ቬክተር በቬክተር በሁለት የተለያዩ መንገዶች ሊባዛ ይችላል፡}

1. ስካላር። በዚህ አጋጣሚ ውጤቱ ቁጥር ነው።
2. ቬክተር። ውጤቱ አዲስ ቬክተር ነው።

የቬክተር ዩ ኤን እና የቪኤን ልኬት ውጤት እንደሚከተለው ይሰላል፡

(ኡቊvመን)=|ኡን||vnji|cos(α)።

α በተሰጡት ቬክተር መካከል ያለው አንግል የት ነው።

መጋጠሚያዎችን u iyo v ⁇ በማወቅ የነጥብ ምርታቸው በሚከተለው ቀመር ሊሰላ እንደሚችል ማሳየት ይቻላል፡

(ኡንvመን)=x₁x₂+ y₁ y₂+ z₁z_2.

ስካላር ምርቱ አንድን ቬክተር ወደ ሁለት ቀጥ ያለ አቅጣጫ በሚመሩ ክፍሎች ሲበሰብስ ለመጠቀም ምቹ ነው። እንዲሁም የቬክተሮችን ትይዩነት ወይም ኦርቶዶክሳዊነት ለማስላት እና በመካከላቸው ያለውን አንግል ለማስላት ይጠቅማል።

የኡ እና ቪ መስቀል ምርት ከዋነኞቹ ጋር ቀጥ ያለ እና ሞጁል ያለው አዲስ ቬክተር ይሰጣል፡

[unốvn]=|ኡን||vnji|ኃጢአት(α)።

የአዲሱ ቬክተር ወደ ታች ወይም ወደላይ የሚሄደው በቀኝ እጅ ደንብ ነው (የቀኝ እጅ አራት ጣቶች ከመጀመሪያው ቬክተር መጨረሻ እስከ ሁለተኛው መጨረሻ ድረስ ይመራሉ እና አውራ ጣት ወደ ላይ ይጣበቃል) የአዲሱን ቬክተር አቅጣጫ ያመለክታል). ከዚህ በታች ያለው ምስል የዘፈቀደ ang እና bNG የመስቀል ምርትን ውጤት ያሳያል።

የመስቀል ምርቱ የአሃዞችን ቦታዎች ለማስላት እንዲሁም በተሰጠ አውሮፕላን የቬክተር መጋጠሚያዎችን ለመወሰን ይጠቅማል።

ቬክተሮች እና ንብረቶቻቸው የአውሮፕላንን እኩልነት ሲገልጹ ለመጠቀም ምቹ ናቸው።

የአውሮፕላኑ መደበኛ እና አጠቃላይ እኩልታ

አይሮፕላንን የሚገልጹባቸው በርካታ መንገዶች አሉ። ከመካከላቸው አንዱ የአውሮፕላኑን አጠቃላይ እኩልነት መውጣቱ ሲሆን ይህም በቀጥታ ከቬክተር ዕውቀት እና ከአውሮፕላኑ ጋር የተያያዘ አንዳንድ የታወቀ ነጥብ ነው.

ቬክተር n (A; B; C) እና አንድ ነጥብ P (x₀፤ y₀; z ₀)። የአውሮፕላኑን ሁሉንም ነጥቦች Q(x; y; z) የሚያረካው በምን ሁኔታ ላይ ነው? ይህ ሁኔታ የማንኛውም ቬክተር PQQ ወደ መደበኛው n ቊ ቊንቊን ያካትታል። ለሁለት ቀጥ ያለ ቬክተሮች፣ የነጥብ ምርቱ ዜሮ ይሆናል (cos(90^{o)=0)፣ ይህን ይፃፉ፡}

(nNGPQN)=0 ወይም

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z_0)=0.

ቅንፎችን ስንከፍት፥ እናገኛለን

Ax + By + Cz + (-Ax₀-By₀-C z_{0)=0 ወይም}

Ax + By +Cz +D=0 የት D=-Ax₀-By_0-Cz0_.

ይህ እኩልታ ለአውሮፕላኑ አጠቃላይ ይባላል። በ x፣ y እና z ፊት ያሉት ጥምርታዎች የቋሚ ቬክተር n n መጋጠሚያዎች መሆናቸውን እናያለን። የአውሮፕላን መመሪያ ይባላል።

የአውሮፕላኑ የቬክተር ፓራሜትሪክ እኩልታ

አይሮፕላኑን የሚገልፅበት ሁለተኛው መንገድ በውስጡ የተቀመጡ ሁለት ቬክተሮችን መጠቀም ነው።

ቬክተሮች አሉ እንበል (x₁; y₁; z₁) እና vn(x₂፤ y₂፤ z₂)። እንደተባለው በጠፈር ውስጥ ያሉት እያንዳንዳቸው ማለቂያ በሌለው ተመሳሳይ ቀጥተኛ ክፍሎች ሊወከሉ ይችላሉ, ስለዚህ አውሮፕላኑን በተለየ ሁኔታ ለመወሰን አንድ ተጨማሪ ነጥብ ያስፈልጋል. ይህ ነጥብ P(x₀;y₀; z_{0)። ማንኛውም ነጥብ Q(x; y; z) የሚፈለገው አውሮፕላን ውስጥ ቬክተር PQNG እንደ ዩ እና v ቪ ጥምር መወከል ከተቻለ ነው። ማለትም፡- አለን}

PQN=αunji + βvNG.

α እና β አንዳንድ ትክክለኛ ቁጥሮች ባሉበት። ከዚህ እኩልነት የሚከተለውን አገላለጽ ይከተላል፡

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀;) + α(x₁፤ y₁፤ z₁) + β(x 2_{፤ y}2_{፤ z}2_።።

ከ2 ቬክተር ዩ እና ቁ. የዘፈቀደ መለኪያዎችን α እና βን በመተካት አንድ ሰው የዚህ አውሮፕላን ንብረት የሆኑትን ሁሉንም ነጥቦች (x; y; z) ማግኘት ይችላል።

ከዚህ እኩልታ የአውሮፕላኑን አጠቃላይ መግለጫ ማግኘት ቀላል ነው። ይህንን ለማድረግ አቅጣጫውን ማግኘት በቂ ነው ቬክተር n, እሱም ከሁለቱም ቬክተር u እና vvy, ማለትም የቬክተር ምርታቸው መተግበር አለበት.

የአውሮፕላኑን አጠቃላይ እኩልነት የመወሰን ችግር

የጂኦሜትሪክ ችግሮችን ለመፍታት ከላይ ያሉትን ቀመሮች እንዴት እንደምንጠቀም እናሳይ። የአውሮፕላኑ አቅጣጫ ቬክተር (5; -3; 1) ነው እንበል። ነጥቡ P(2; 0; 0) የእሱ መሆኑን በማወቅ የአውሮፕላኑን እኩልታ ማግኘት አለቦት።

አጠቃላይ እኩልታ እንደሚከተለው ተጽፏል፡

Ax + By +Cz +D=0.

ከአውሮፕላኑ ቀጥ ያለ ቬክተር ስለሚታወቅ፣ እኩልታው ቅጹን ይወስዳል፡

5x - 3y +z +D=0.

የነጻውን ቃል ለመፈለግ ይቀራል።ከመጋጠሚያዎች እውቀት እናሰላዋለን P፡

D=-Ax₀-By₀-Cz_{0=-52 + 30 - 10=-10.}

በመሆኑም የሚፈለገው የአውሮፕላኑ እኩልታ ቅጽ አለው፡

5x - 3y +z -10=0.

ከታች ያለው ምስል የውጤቱ አውሮፕላን ምን እንደሚመስል ያሳያል።

የተጠቆሙት የነጥቦቹ መጋጠሚያዎች ከአውሮፕላኑ መገናኛዎች ከ x፣ y እና z መጥረቢያዎች ጋር ይዛመዳሉ።

አውሮፕላኑን በሁለት ቬክተር እና በአንድ ነጥብ የመወሰን ችግር

አሁን እንበል። ሁለት ቬክተር u(-2; 0; 10) እና v ቪ(-2; -10/3; 0) ይታወቃሉ, እንዲሁም ነጥቡ P (2; 0; 0). የአውሮፕላኑን እኩልታ በቬክተር ፓራሜትሪክ መልክ እንዴት እንደሚፃፍ? የታሰበውን ተጓዳኝ ቀመር በመጠቀም፣እናገኛለን

(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0)።

ልብ ይበሉ የዚህ የአውሮፕላኑ እኩልታ ትርጓሜዎች፣ ቬክተር ዩ እና ቪ ቫ በማንኛውም ሁኔታ ሊወሰዱ ይችላሉ፣ ግን በአንድ ቅድመ ሁኔታ፡ ትይዩ መሆን የለባቸውም። አለበለዚያ አውሮፕላኑ በልዩ ሁኔታ ሊታወቅ አይችልም፣ነገር ግን አንድ ሰው ለአንድ ጨረር ወይም የአውሮፕላኖች ስብስብ እኩልታ ማግኘት ይችላል።