በጂኦሜትሪ፣ ከነጥብ በኋላ፣ ቀጥተኛ መስመር ምናልባት ቀላሉ አካል ነው። በአውሮፕላኑ ላይ እና በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ማንኛውንም ውስብስብ ምስሎችን በመገንባት ላይ ጥቅም ላይ ይውላል. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ, የቀጥታ መስመርን አጠቃላይ እኩልነት እንመለከታለን እና እሱን በመጠቀም ሁለት ችግሮችን እንፈታለን. እንጀምር!
ቀጥታ መስመር በጂኦሜትሪ
እንደ አራት ማዕዘን፣ ትሪያንግል፣ ፕሪዝም፣ ኪዩብ እና የመሳሰሉት ቅርጾች የሚፈጠሩት ቀጥ ያሉ መስመሮችን በማጣመር መሆኑን ሁሉም ሰው ያውቃል። በጂኦሜትሪ ውስጥ ያለው ቀጥተኛ መስመር አንድ-ልኬት ነገር ነው, ይህም አንድን ነጥብ አንድ አይነት ወይም ተቃራኒ አቅጣጫ ወዳለው ቬክተር በማስተላለፍ ሊገኝ ይችላል. ይህንን ፍቺ የበለጠ ለመረዳት፣ በጠፈር ውስጥ የተወሰነ ነጥብ P እንዳለ አስቡት። በዚህ ቦታ ላይ የዘፈቀደ ቬክተር ይውሰዱ። ከዚያ የመስመሩ ማንኛውም ነጥብ Q በሚከተሉት የሂሳብ ስራዎች ውጤት ሊገኝ ይችላል፡
Q=P +λuቊ.
እዚህ λ አወንታዊ ወይም አሉታዊ ሊሆን የሚችል የዘፈቀደ ቁጥር ነው። እኩልነት ከሆነከመጋጠሚያዎች አንፃር ከላይ ይፃፉ ፣ ከዚያ የሚከተለውን ቀጥተኛ መስመር እኩልታ እናገኛለን፡
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c)።
ይህ እኩልነት በቬክተር መልክ የቀጥታ መስመር እኩልነት ይባላል። እና ቬክተር ዩ መመሪያ ይባላል።
በአውሮፕላኑ ውስጥ የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ
እያንዳንዱ ተማሪ ያለ ምንም ችግር መፃፍ ይችላል። ግን ብዙ ጊዜ እኩልታው እንደዚህ ይፃፋል፡
y=kx + b.
k እና b የዘፈቀደ ቁጥሮች የት ናቸው። ቁጥር ለ ነፃ አባል ይባላል። መለኪያው ከ x-ዘንጉ ጋር ቀጥተኛ መስመር በማገናኘት ከተፈጠረው አንግል ታንጀንት ጋር እኩል ነው።
ከላይ ያለው እኩልታ የተገለፀው ከተለዋዋጭ y ጋር ነው። ባጠቃላይ ካቀረብነው የሚከተለውን ምልክት እናገኛለን፡
Ax + By + C=0.
በአውሮፕላኑ ላይ ያለው ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ የአጻጻፍ ስልት በቀላሉ ወደ ቀድሞው ቅፅ እንደሚቀየር ለማሳየት ቀላል ነው። ይህንን ለማድረግ የግራ እና የቀኝ ክፍሎች በፋክታር B ተከፋፍለው y. መገለጽ አለባቸው.
ከላይ ያለው ምስል በሁለት ነጥብ በኩል የሚያልፍ ቀጥ ያለ መስመር ያሳያል።
አንድ መስመር በ3-ል ቦታ
እስቲ ጥናታችንን እንቀጥል። በአጠቃላይ ቅፅ ውስጥ የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በአውሮፕላን ውስጥ እንዴት እንደሚሰጥ የሚለውን ጥያቄ ተመልክተናል. በአንቀጹ ቀደም ባለው አንቀጽ ላይ የተሰጠውን ማስታወሻ ለቦታ ጉዳይ ከተጠቀምን ምን እናገኛለን? ሁሉም ነገር ቀላል ነው - ከአሁን በኋላ ቀጥተኛ መስመር አይደለም, ግን አውሮፕላን. በእርግጥ፣ የሚከተለው አገላለጽ ከ z-ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነን አውሮፕላን ይገልጻል፡
Ax + By + C=0.
C=0 ከሆነ እንደዚህ አይነት አውሮፕላን ያልፋልበ z-ዘንግ በኩል. ይህ አስፈላጊ ባህሪ ነው።
እንዴት ነው በጠፈር ውስጥ ካለው አጠቃላይ የቀጥታ መስመር እኩልታ ጋር መሆን የሚቻለው? እንዴት እንደሚጠይቁ ለመረዳት አንድ ነገር ማስታወስ ያስፈልግዎታል. ሁለት አውሮፕላኖች በአንድ የተወሰነ ቀጥተኛ መስመር ይገናኛሉ። ይህ ምን ማለት ነው? ያ አጠቃላይ እኩልነት ለአውሮፕላኖች የሁለት እኩልታዎች ስርዓት የመፍታት ውጤት ብቻ ነው። ይህን ስርዓት እንፃፍ፡
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
ይህ ስርዓት በህዋ ውስጥ ያለ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ነው። አውሮፕላኖቹ እርስ በእርሳቸው መመሳሰል እንደሌለባቸው ልብ ይበሉ, ማለትም, መደበኛ ቬክተሮቻቸው አንዳቸው ከሌላው አንጻራዊ በሆነ አንግል ላይ ማዘንበል አለባቸው. ያለበለዚያ ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች አይኖረውም።
ከላይ ለቀጥታ መስመር የእኩልታውን የቬክተር ፎርም ሰጥተናል። ይህንን ስርዓት በሚፈታበት ጊዜ ለመጠቀም ምቹ ነው. ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ የእነዚህን አውሮፕላኖች መደበኛ የቬክተር ምርት ማግኘት ያስፈልግዎታል. የዚህ ቀዶ ጥገና ውጤት የቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር ይሆናል. ከዚያም የመስመሩ ንብረት የሆነ ማንኛውም ነጥብ ማስላት አለበት። ይህንን ለማድረግ ማናቸውንም ተለዋዋጮች ከተወሰነ እሴት ጋር እኩል ማቀናበር ያስፈልግዎታል, ሁለቱ ቀሪ ተለዋዋጮች የተቀነሰውን ስርዓት በመፍታት ሊገኙ ይችላሉ.
የቬክተር እኩልታን ወደ አጠቃላይ እንዴት መተርጎም ይቻላል? ልዩነቶች
ይህ የታወቁትን የሁለት ነጥብ መጋጠሚያዎች በመጠቀም አጠቃላይ የቀጥተኛ መስመርን እኩልታ ለመፃፍ ከፈለጉ ሊፈጠር የሚችል ትክክለኛ ችግር ነው።ይህ ችግር እንዴት እንደሚፈታ በምሳሌ እናሳይ። የሁለት ነጥብ መጋጠሚያዎች ይታወቁ፡
- P=(x1፣ y1);
- Q=(x2፣ y2)።
ቀመር በቬክተር መልክ ለመጻፍ በጣም ቀላል ነው። የአቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎች፡ ናቸው።
PQ=(x2-x1፣ y2-y 1)።
አስተውሉ የQ መጋጠሚያዎችን ከነጥብ ፒ መጋጠሚያዎች ብንቀንስ ምንም ልዩነት እንደሌለው ፣ ቬክተሩ አቅጣጫውን ወደ ተቃራኒው ብቻ ይለውጣል። አሁን ማንኛውንም ነጥብ ወስደህ የቬክተር እኩልታውን ጻፍ፡
(x, y)=(x1፣ y1) + λ(x2 -x1፣ y2-y1።።
የቀጥታ መስመር አጠቃላይ እኩልታን ለመጻፍ፣ ግቤት λ በሁለቱም ሁኔታዎች መገለጽ አለበት። እና ከዚያ ውጤቱን ያወዳድሩ. አለን:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1)።።
በሁለት የታወቁ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ አገላለጽ ለማግኘት ቅንፍ ለመክፈት እና ሁሉንም የእኩልታ ውሎችን ወደ አንድ ጎን ለማስተላለፍ ብቻ ይቀራል።
በሶስት አቅጣጫዊ ችግር ውስጥ የመፍትሄው ስልተ-ቀመር ተጠብቆ ይቆያል፣ ውጤቱም ብቻ የአውሮፕላን ሁለት እኩልታዎች ስርዓት ይሆናል።
ተግባር
አጠቃላይ እኩልታ ማድረግ ያስፈልጋልበ (-3, 0) ላይ ያለውን x-ዘንግ የሚያቋርጥ እና ከy-ዘንጉ ጋር ትይዩ የሆነ ቀጥተኛ መስመር።
ችግሩን በቬክተር መልክ በመፃፍ ችግሩን መፍታት እንጀምር። መስመሩ ከy-ዘንግ ጋር ትይዩ ስለሆነ፣ ለእሱ የሚመራው ቬክተር የሚከተለው ይሆናል፡
ኡን=(0, 1)።
ከዚያ የሚፈለገው መስመር እንደሚከተለው ይጻፋል፡
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1)።
አሁን ይህንን አገላለጽ ወደ አጠቃላይ ቅፅ እንተረጉመው፣ ለዚህም መለኪያውን እንገልፃለን λ:
- x=-3;
- y=λ.
በመሆኑም ማንኛውም የተለዋዋጭ y ዋጋ የመስመሩ ነው፣ነገር ግን የተለዋዋጭ x ነጠላ እሴት ብቻ ይዛመዳል። ስለዚህ፣ አጠቃላይ ቀመር የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል፡
x + 3=0.
የቀጥታ መስመር ላይ ችግር
ሁለት እርስበርስ የሚገናኙ አውሮፕላኖች በሚከተሉት እኩልታዎች እንደሚሰጡ ይታወቃል፡
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
እነዚህ አውሮፕላኖች የሚገናኙበት የቀጥታ መስመር የቬክተር እኩልታ ማግኘት ያስፈልጋል። እንጀምር።
እንደተባለው፣ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ያለው የቀጥታ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ቀድሞውንም በሶስት የማይታወቁ የሁለት ስርዓት መልክ ተሰጥቷል። በመጀመሪያ ደረጃ አውሮፕላኖቹ የሚገናኙበትን አቅጣጫ ቬክተር እንወስናለን. የመደበኛውን የቬክተር መጋጠሚያዎች ከአውሮፕላኖች ጋር በማባዛት የሚከተለውን እናገኛለን፡-
uጒ=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5)።
አንድን ቬክተር በአሉታዊ ቁጥር ማባዛት አቅጣጫውን ስለሚቀይር፡ መጻፍ እንችላለን።
uቩ=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5)።
ለለቀጥታ መስመር የቬክተር አገላለጽ ለማግኘት፣ ከአቅጣጫ ቬክተር በተጨማሪ የዚህን ቀጥተኛ መስመር የተወሰነ ነጥብ ማወቅ አለበት። የእሱ መጋጠሚያዎች በችግሩ ሁኔታ ውስጥ የእኩልታዎችን ስርዓት ማሟላት ስላለባቸው ይፈልጉ ፣ ከዚያ እናገኛቸዋለን። ለምሳሌ፣ x=0ን እናስቀምጠው፣ ከዚያ እናገኛለን፡-
y=z;
y=3/2=1, 5.
በመሆኑም የሚፈለገው ቀጥተኛ መስመር ንብረት የሆነው ነጥብ መጋጠሚያዎች አሉት፡
P=(0, 1, 5, 1, 5)።
ከዚያም ለዚህ ችግር መልሱን እናገኛለን፣የሚፈለገው መስመር የቬክተር እኩልታ የሚከተለውን ይመስላል፡
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5)።
የመፍትሄው ትክክለኛነት በቀላሉ ሊረጋገጥ ይችላል። ይህንን ለማድረግ የመለኪያውን የዘፈቀደ እሴት መምረጥ ያስፈልግዎታል λ እና የተገኙትን የቀጥታ መስመሩ መጋጠሚያዎች ወደ ሁለቱም እኩልታዎች ለአውሮፕላኖች በመተካት በሁለቱም ሁኔታዎች ማንነትን ያገኛሉ።
