አቅጣጫ ቬክተር ቀጥታ፡ ትርጓሜ እና ምሳሌዎች

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-02 17:40

በጠፍጣፋ ቦታ ላይ የሚጠና ጠቃሚ ጂኦሜትሪክ ነገር ቀጥተኛ መስመር ነው። ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ, ከቀጥታ መስመር በተጨማሪ, አውሮፕላንም አለ. ሁለቱም ነገሮች የአቅጣጫ ቬክተሮችን በመጠቀም በምቾት ይገለፃሉ. ምንድን ነው, እነዚህ ቬክተሮች የቀጥታ መስመር እና የአውሮፕላን እኩልታዎችን ለመወሰን እንዴት ጥቅም ላይ ይውላሉ? እነዚህ እና ሌሎች ጥያቄዎች በጽሁፉ ውስጥ ተካትተዋል።

ቀጥታ መስመር እና እንዴት እንደሚገለፅ

እያንዳንዱ ተማሪ ስለየትኛው ጂኦሜትሪክ ነገር እንደሚናገር ጥሩ ሀሳብ አለው። ከሂሳብ እይታ አንጻር, ቀጥተኛ መስመር የነጥቦች ስብስብ ነው, እሱም በዘፈቀደ ጥንድ ጥንድ ግንኙነት ውስጥ, ወደ ትይዩ ቬክተሮች ስብስብ ይመራል. ይህ የመስመሩ ፍቺ በሁለት እና በሦስት ልኬቶች እኩል ለመጻፍ ይጠቅማል።

የታሰበውን ባለ አንድ-ልኬት ነገር ለመግለጽ ከዚህ በታች ባለው ዝርዝር ውስጥ የተዘረዘሩ የተለያዩ የእኩልታ ዓይነቶች ጥቅም ላይ ይውላሉ፡

አጠቃላይ እይታ፤
ፓራሜትሪክ፤
ቬክተር፤
ቀኖናዊ ወይም ሲሜትሪክ፤
በክፍሎች።

እያንዳንዱ እነዚህ ዝርያዎች ከሌሎቹ ይልቅ አንዳንድ ጥቅሞች አሏቸው። ለምሳሌ ፣ በክፍሎች ውስጥ ያለው እኩልታ ከተጋጠሙትም ዘንጎች አንፃር የቀጥታ መስመር ባህሪን ሲያጠና ለመጠቀም ምቹ ነው ፣ አጠቃላይ እኩልታ በተሰጠው ቀጥተኛ መስመር ላይ ቀጥ ያለ አቅጣጫ ሲፈልጉ እንዲሁም የሱን አንግል ሲያሰሉ ምቹ ነው ። መገናኛ ከ x-ዘንግ ጋር (ለጠፍጣፋ መያዣ)።

የዚህ መጣጥፍ ርዕስ ቀጥተኛ መስመርን ከመምራት ጋር የተያያዘ በመሆኑ፣ይህ ቬክተር መሰረታዊ የሆነበትን እና በግልፅ የያዘበትን እኩልታ ብቻ ማለትም የቬክተር አገላለፅን ብቻ እንመለከታለን።

ቀጥታ መስመርን በቬክተር መለየት

ከታወቁ መጋጠሚያዎች (a; b; c) ጋር የተወሰነ ቬክተር ቪን አለን እንበል። ሶስት መጋጠሚያዎች ስላሉት ቬክተሩ በጠፈር ላይ ተሰጥቷል. በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት እንዴት ይገለጻል? ይህ በጣም ቀላል ነው የሚከናወነው በእያንዳንዱ ሶስት መጥረቢያዎች ላይ አንድ ክፍል ተዘርግቷል, ርዝመቱ ከቬክተሩ ተጓዳኝ መጋጠሚያ ጋር እኩል ነው. ወደ xy, yz እና xz አውሮፕላኖች የተመለሱት የሶስቱ ቋሚዎች መገናኛ ነጥብ የቬክተሩ መጨረሻ ይሆናል. መጀመሪያው ነጥቡ (0; 0; 0) ነው.

ነገር ግን የተሰጠው የቬክተር ቦታ ብቻ አይደለም። በተመሳሳይ፣ አንድ ሰው መነሻውን በዘፈቀደ የጠፈር ቦታ ላይ በማስቀመጥ v ን መሳል ይችላል። እነዚህ ክርክሮች ቬክተርን በመጠቀም የተወሰነ መስመር ማዘጋጀት የማይቻል ነው ይላሉ. ማለቂያ የሌለው ቁጥር ያለው ትይዩ መስመሮችን ቤተሰብ ይገልጻል።

አሁንየተወሰነ ነጥብ P(x₀፤ y₀፤ z_{0) የቦታ ነጥብ አስተካክል። እና ሁኔታውን እናስቀምጣለን-ቀጥታ መስመር በፒ. በዚህ ሁኔታ፣ ቬክተር v ቪ ይህን ነጥብም መያዝ አለበት። የመጨረሻው እውነታ አንድ ነጠላ መስመር P እና v ን በመጠቀም ሊገለጽ ይችላል. በሚከተለው ቀመር ይፃፋል፡}

Q=P +λ × v ⁇

እዚህ Q የመስመሩ ንብረት የሆነ ማንኛውም ነጥብ ነው። ይህ ነጥብ ተገቢውን መለኪያ λ በመምረጥ ሊገኝ ይችላል. የተጻፈው እኩልታ የቬክተር እኩልታ ተብሎ ይጠራል፣ እና v ቪ የቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር ይባላል። በ P በኩል እንዲያልፍ በማስተካከል እና ርዝመቱን በፓራሜትር λ በመቀየር እያንዳንዱን የQ ነጥብ እንደ ቀጥታ መስመር እናገኛለን።

በማስተባበር ቅፅ፣ ሒሳቡ እንደሚከተለው ይጻፋል፡

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0;) + λ × (a; b; ሐ)}

እናም በግልፅ (ፓራሜትሪክ) ቅፅ፡ መጻፍ ይችላሉ።

x=x_{0+ λ × a;}

y=y_{0+ λ × b;}

z=z_{0+ λ × c}

ሦስተኛውን መጋጠሚያ ከላይ በተጠቀሱት አባባሎች ውስጥ ካላካተትን ፣በአውሮፕላኑ ላይ የቀጥታ መስመር ቬክተር እኩልታዎችን እናገኛለን።

የአቅጣጫውን ቬክተር ማወቅ ለየትኞቹ ተግባራት ጠቃሚ ነው?

እንደ ደንቡ እነዚህ የመስመሮችን ትይዩ እና ቀጥተኛነት ለመወሰን ተግባራት ናቸው። እንዲሁም አቅጣጫውን የሚወስነው ቀጥተኛ ቬክተር በቀጥተኛ መስመሮች እና በነጥብ እና ቀጥታ መስመር መካከል ያለውን ርቀት ሲሰላ ከአውሮፕላን ጋር በተዛመደ የቀጥታ መስመር ባህሪን ለመግለጽ ጥቅም ላይ ይውላል።

ሁለትየአቅጣጫቸው ቬክተሮች ከሆኑ መስመሮች ትይዩ ይሆናሉ. በዚህ መሠረት የመስመሮች ቀጥተኛነት የቬክተሮቻቸውን ቀጥተኛነት በመጠቀም ይረጋገጣል. በነዚህ አይነት ችግሮች ውስጥ መልሱን ለማግኘት የታሰቡትን ቬክተሮች ስኬር ምርት ማስላት በቂ ነው።

በመስመሮች እና በነጥቦች መካከል ያለውን ርቀት ለማስላት ተግባራትን በተመለከተ፣የአቅጣጫው ቬክተር በሚዛመደው ቀመር ውስጥ በግልፅ ተካቷል። እንጽፈው፡

d=|[P₁P_{2መን × vǹ] | / |vN|}

እዚህ P₁P₂ǹ - በነጥብ P₁ እና P ላይ የተገነባ ₂ የተመራ ክፍል። ነጥቡ P₂ የዘፈቀደ ነው፣ ከቬክተር vvy ጋር ባለው መስመር ላይ ይተኛል፣ ነጥቡ P_{1 ርቀቱ የሚገባበት ነው። መወሰን. ራሱን የቻለ ወይም የሌላ መስመር ወይም አውሮፕላን ሊሆን ይችላል።}

በመስመሮች መካከል ያለውን ርቀት ለማስላት ትይዩ ወይም እርስ በርስ ሲተሳሰሩ ብቻ መሆኑን ልብ ይበሉ። ከተጠላለፉ፣ d ዜሮ ነው።

ከላይ ያለው የ d ቀመር በአውሮፕላኑ እና ከእሱ ጋር ትይዩ ባለው ቀጥተኛ መስመር መካከል ያለውን ርቀት ለማስላት የሚሰራ ነው፣ በዚህ ጊዜ ብቻ P_{1የአውሮፕላኑ መሆን አለበት።}

የታሰበውን ቬክተር እንዴት መጠቀም እንዳለብን በተሻለ ለማሳየት በርካታ ችግሮችን እንፍታ።

የቬክተር እኩልታ ችግር

ቀጥተኛ መስመር በሚከተለው ቀመር እንደሚገለጽ ይታወቃል፡

y=3 × x - 4

በሚከተለው ውስጥ ተገቢውን አገላለጽ መፃፍ አለቦትየቬክተር ቅጽ።

ይህ የተለመደ የቀጥተኛ መስመር እኩልታ ነው፣ በእያንዳንዱ ትምህርት ቤት ልጅ የሚታወቅ፣ በአጠቃላይ መልኩ የተጻፈ። እንዴት በቬክተር ፎርም እንደምንጽፈው እናሳይ።

አገላለጹ እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል፡

(x; y)=(x; 3 × x - 4)

ከከፈቱት ዋናውን እኩልነት እንደምታገኙ ማየት ይቻላል። አሁን የቀኝ ጎኑን በሁለት ቬክተር እንከፍለዋለን ስለዚህም ከመካከላቸው አንዱ ብቻ x ይይዛል፡አለን።

(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)

xን ከቅንፍ ለማውጣት፣ በግሪክ ምልክት ሰይመው እና የቀኝ ጎኑን ቬክተር ለመለዋወጥ ይቀራል፡

(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)

የዋናውን አገላለጽ የቬክተር መልክ አግኝተናል። የቀጥታ መስመር አቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎች (1፤ 3) ናቸው። ናቸው።

የመስመሮችን አንጻራዊ ቦታ የመወሰን ተግባር

ሁለት መስመሮች በጠፈር ውስጥ ተሰጥተዋል፡

(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

ትይዩ ናቸው፣ እየተሻገሩ ነው ወይስ ይገናኛሉ?

ዜሮ ያልሆኑ ቬክተር (-1፤ 3፤ 1) እና (1፤ 2፤ 0) ለእነዚህ መስመሮች መመሪያ ይሆናሉ። እነዚህን እኩልታዎች በፓራሜትሪክ መልክ እንገልፃቸው እና የመጀመሪያውን መጋጠሚያዎች ወደ ሁለተኛው እንተካው። እናገኛለን:

x=1 - λ;

y=3 × λ;

z=-2 + λ;

x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;

y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3/2 × λ - 1;

z=2=-2 + λ=> λ=4

የተገኘውን መለኪያ λ ከላይ ባሉት ሁለት እኩልታዎች በመተካት፡

γ=-2 - λ=-6፤

γ=3/2 × λ - 1=5

Parameter γ በአንድ ጊዜ ሁለት የተለያዩ እሴቶችን መውሰድ አይችልም። ይህ ማለት መስመሮቹ አንድ የጋራ ነጥብ የላቸውም, ማለትም እርስ በርስ ይገናኛሉ. ትይዩ አይደሉም፣ ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች እርስ በርሳቸው ስለማይመሳሰሉ (በትይዩነታቸው፣ በአንድ ቬክተር በማባዛት ወደ ሁለተኛው መጋጠሚያዎች የሚመራ ቁጥር መኖር አለበት)።

የአውሮፕላኑ የሂሳብ መግለጫ

አይሮፕላንን በጠፈር ለማዘጋጀት፣ አጠቃላይ እኩልታ እንሰጣለን፡

A × x + B × y + C × z + D=0

እዚህ የላቲን አቢይ ሆሄያት የተወሰኑ ቁጥሮችን ይወክላሉ። የመጀመሪያዎቹ ሦስቱ የአውሮፕላኑን መደበኛ ቬክተር መጋጠሚያዎች ይገልጻሉ. በ nNG የሚያመለክት ከሆነ፡

nNG=(A; B; C)

ይህ ቬክተር ከአውሮፕላኑ ጋር ቀጥ ያለ ነው ስለዚህ መመሪያ ይባላል። ዕውቀቱ፣ እንዲሁም የአውሮፕላኑ ንብረት የሆነ ማንኛውም ነጥብ የሚታወቁት መጋጠሚያዎች፣ ልዩ የሆነውን ሁለተኛውን ይወስናሉ።

ነጥቡ P(x₁፤ y₁፣ z_{1 ከሆነ አውሮፕላኑ፣ ከዚያም መጥለፍ D እንደሚከተለው ይሰላል፡}

D=-1 × (A × x₁+ B × y₁ + C × z₁₎

የአውሮፕላኑን አጠቃላይ እኩልታ በመጠቀም ሁለት ችግሮችን እንፍታ።

የተግባርየአውሮፕላኑን መደበኛ ቬክተር ማግኘት

አውሮፕላኑ እንደሚከተለው ይገለጻል፡

(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1

እንዴት አቅጣጫ ቬክተር ማግኘት ይቻላል?

ከላይ ካለው ፅንሰ-ሀሳብ እንደምንረዳው የመደበኛ ቬክተር n ናይ መጋጠሚያዎች ከተለዋዋጮች ፊት ለፊት ያሉት ውህዶች ናቸው። በዚህ ረገድ, n ን ለማግኘት, እኩልታው በአጠቃላይ መልክ መፃፍ አለበት. አለን:

1 / 3 × x + 1/2 × y - 1/4 × z - 13/6=0

ከዚያም የአውሮፕላኑ መደበኛ ቬክተር፡ ነው።

nNG=(1/3፤ 1/2፤ -1/4)

የአውሮፕላኑን እኩልነት የመሳል ችግር

የሶስት ነጥቦች መጋጠሚያዎች ተሰጥተዋል፡

M_{1(1; 0; 0);}

M_{2(2; -1; 5);}

M_{3(0; -2; -2)}

እነዚህን ሁሉ ነጥቦች የያዘው የአውሮፕላኑ እኩልነት ምን ይመስላል።

የተመሳሳይ መስመር ባልሆኑ ሶስት ነጥቦች አንድ አውሮፕላን ብቻ መሳል ይቻላል። የእሱን እኩልነት ለማግኘት በመጀመሪያ የአውሮፕላኑን አቅጣጫ ቬክተር እናሰላለን። ይህንን ለማድረግ በሚከተለው መንገድ እንቀጥላለን-የአውሮፕላኑ ንብረት የሆኑ የዘፈቀደ ሁለት ቬክተሮችን እናገኛለን እና የቬክተር ምርታቸውን እናሰላለን። ከዚህ አውሮፕላን ጋር ቀጥ ያለ ቬክተር ይሰጣል፣ ማለትም፣ n. አለን: