ብዙ ሰዎች በዘፈቀደ የሆኑ ክስተቶችን ብዙ ወይም ያነሰ ማስላት ይቻል እንደሆነ ያስባሉ ብሎ ማሰብ የማይመስል ነገር ነው። በቀላል አነጋገር ፣ በዳይስ ውስጥ ያለው የሟች ጎን ቀጥሎ እንደሚወድቅ ማወቅ እውነት ነው ። ይህንን ጥያቄ ነበር ሁለት ታላላቅ ሳይንቲስቶች የጠየቁት ለእንዲህ ዓይነቱ ሳይንስ እንደ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረት የጣሉት እና የአንድ ክስተት እድል በስፋት የሚጠናበት ነው።
አመጣጥ
እንዲህ ዓይነቱን ፅንሰ-ሀሳብ እንደ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ለመግለጽ ከሞከርክ የሚከተለውን ታገኛለህ፡ ይህ የዘፈቀደ ሁነቶችን ቋሚነት ከሚያጠኑ የሂሳብ ዘርፎች አንዱ ነው። በእርግጥ ይህ ፅንሰ-ሀሳብ ሙሉ ፅንሰ-ሀሳብን አይገልጥም ስለዚህ በበለጠ ዝርዝር ሁኔታ ማጤን ያስፈልጋል።
ከንድፈ ሃሳቡ ፈጣሪዎች ጋር መጀመር እፈልጋለሁ። ከላይ እንደተጠቀሰው, ሁለቱ ነበሩ, እነዚህ ፒየር ፌርማት እና ብሌዝ ፓስካል ናቸው. ቀመሮችን እና የሂሳብ ስሌቶችን በመጠቀም የአንድን ክስተት ውጤት ለማስላት የሞከሩት ከመጀመሪያዎቹ መካከል ናቸው። በአጠቃላይ ፣ የዚህ ሳይንስ መሠረታዊ ነገሮች ቀደም ብለው ታዩመካከለኛ እድሜ. በዚያን ጊዜ የተለያዩ አሳቢዎች እና ሳይንቲስቶች ቁማርን ለመተንተን ሞክረዋል, ለምሳሌ ሮሌት, ክራፕስ እና ሌሎችም, በዚህም የተወሰነ ቁጥር እየወደቀ ያለውን ጥለት እና መቶኛ አቋቋሙ. መሰረቱ የተጣለው በአስራ ሰባተኛው ክፍለ ዘመን ከላይ በተጠቀሱት ሳይንቲስቶች ነው።
በመጀመሪያ ስራቸው በዚህ ዘርፍ ላስመዘገቡት ታላቅ ስኬት ነው ሊባል አይችልም ምክንያቱም ያደረጉት ነገር ሁሉ በቀላሉ ተጨባጭ እውነታዎች ስለነበሩ እና ሙከራዎቹ ቀመሮችን ሳይጠቀሙ በምስል የተቀመጡ ነበሩ። ከጊዜ በኋላ, የዳይስ መወርወርን በመመልከት ምክንያት ታየ ጥሩ ውጤቶችን ለማግኘት ችሏል. የመጀመሪያዎቹን ለመረዳት የሚረዱ ቀመሮችን ለማግኘት የረዳው ይህ መሳሪያ ነው።
ተባባሪዎች
እንደ ክርስቲያን ሁይገንስ ያለ ሰውን መጥቀስ አይቻልም "የይችላል ቲዎሪ" የሚባል ርእስ በማጥናት ሂደት (የአንድ ክስተት እድል በትክክል በዚህ ሳይንስ ተሸፍኗል)። ይህ ሰው በጣም የሚስብ ነው። እሱ፣ ከላይ እንደተገለጹት ሳይንቲስቶች፣ የዘፈቀደ ክስተቶችን መደበኛነት በሒሳብ ቀመር ለማውጣት ሞክሯል። ይህንን ከፓስካል እና ፌርማት ጋር አንድ ላይ እንዳላደረገ ፣ ማለትም ፣ ሁሉም ስራዎቹ ከእነዚህ አእምሮዎች ጋር በምንም መንገድ እንዳልተገናኙ ልብ ሊባል ይገባል። ሁይገንስ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ ሀሳቦችን አግኝቷል።
አስደናቂው እውነታ ሥራው የወጣው የአቅኚዎች ሥራ ውጤት ከመምጣቱ ከረጅም ጊዜ በፊት ወይም ይልቁንም ከሃያ ዓመታት በፊት መሆኑ ነው። ከተሰየሙት ፅንሰ-ሀሳቦች መካከል፣ በጣም ታዋቂዎቹ፡
- የመቻል ጽንሰ-ሀሳብ እንደ እድል መጠን፤
- የተጠበቀ ነገርጉዳዮች፤
- የማባዛት ጽንሰ-ሀሳቦች እና ፕሮባቢሊቲዎች መጨመር።
እንዲሁም ለችግሩ ጥናት ከፍተኛ አስተዋፅዖ ያበረከተውን ያኮብ በርኖሊንን አለማስታወስ አይቻልም። የራሱን ፈተናዎች በማካሄድ, ከማንም ነፃ ሆኖ, የብዙ ቁጥር ህግን ማረጋገጫ ማቅረብ ችሏል. በተራው, በአሥራ ዘጠነኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ የሠሩት ሳይንቲስቶች ፖይሰን እና ላፕላስ የመጀመሪያዎቹን ንድፈ ሃሳቦች ማረጋገጥ ችለዋል. የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ በአስተያየቶች ሂደት ውስጥ ስህተቶችን ለመተንተን ጥቅም ላይ መዋል የጀመረው ከዚህ ጊዜ ጀምሮ ነበር። የሩሲያ ሳይንቲስቶች, ወይም ይልቁንም ማርኮቭ, ቼቢሼቭ እና ዳያፑኖቭ, ይህንን ሳይንስም ማለፍ አልቻሉም. በታላላቅ ሊቃውንት በተሰራው ስራ ላይ በመመስረት, ይህንን ርዕሰ ጉዳይ እንደ የሂሳብ ክፍል አስተካክለውታል. እነዚህ አሃዞች ቀደም ሲል በአስራ ዘጠነኛው ክፍለ ዘመን መገባደጃ ላይ ሠርተዋል፣ እና ለአስተዋጽዖቸው ምስጋና ይግባውና እንደ
ያሉ ክስተቶች
- የብዙ ቁጥር ህግ፤
- ማርኮቭ ሰንሰለት ቲዎሪ፤
- የማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪም።
ስለዚህ በሳይንስ መወለድ ታሪክ እና ተጽዕኖ ካደረጉት ዋና ሰዎች ጋር ሁሉም ነገር የበለጠ ወይም ያነሰ ግልጽ ነው። ሁሉንም እውነታዎች ለማጣመር ጊዜው አሁን ነው።
መሰረታዊ ጽንሰ-ሀሳቦች
ህጎችን እና ቲዎሬሞችን ከመንካትዎ በፊት፣የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ ሀሳቦችን ማጥናት ተገቢ ነው። ዝግጅቱ የመሪነት ሚናውን ይይዛል። ይህ ርዕስ በጣም ሰፊ ነው ነገር ግን ያለ እሱ ሁሉንም ነገር መረዳት አይቻልም።
በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ያለ ክስተት ማንኛውም የሙከራ ውጤቶች ስብስብ ነው። የዚህ ክስተት ጽንሰ-ሀሳቦች በጣም ብዙ አይደሉም. ስለዚህ, ሳይንቲስት ሎተማን,በዚህ አካባቢ እየሰራን በዚህ ጉዳይ ላይ እየተነጋገርን ያለነው “ያልሆነ ነገር ባይሆንም ስለተፈጠረ ነገር ነው።”
የነሲብ ክስተቶች (የይቻላል ንድፈ ሃሳብ ልዩ ትኩረት ይሰጣቸዋል) የመከሰት ችሎታ ያለውን ማንኛውንም ክስተት የሚያመለክት ጽንሰ-ሀሳብ ነው። ወይም፣ በተቃራኒው፣ ብዙ ሁኔታዎች ሲሟሉ ይህ ሁኔታ ላይሆን ይችላል። እንዲሁም የተከሰቱትን ክስተቶች አጠቃላይ መጠን የሚይዘው በዘፈቀደ ክስተቶች መሆኑን ማወቅ ተገቢ ነው። ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ የሚያመለክተው ሁሉም ሁኔታዎች ያለማቋረጥ ሊደገሙ እንደሚችሉ ነው. ምግባራቸው ነበር "ተሞክሮ" ወይም "ፈተና" የሚባለው።
አንድ የተወሰነ ክስተት 100% በተሰጠው ፈተና ውስጥ የሚከሰት ነው። በዚህ መሰረት፣ የማይቻል ክስተት የማይከሰት ነው።
የጥንድ ድርጊቶች ጥምረት (በተለመደው ጉዳይ A እና ጉዳይ B) በአንድ ጊዜ የሚከሰት ክስተት ነው። እንደ AB ተመድበዋል።
የክስተቶች ጥንዶች ሀ እና ቢ ሲ ናቸው በሌላ አነጋገር ከመካከላቸው ቢያንስ አንዱ ከተከሰተ (A ወይም B) ከሆነ C ያገኛል። የተገለፀው ክስተት ቀመር እንደሚከተለው ተጽፏል።: C=A + B.
የተለያዩ ክስተቶች በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ሁለት ጉዳዮች እርስ በርስ የሚጣረሱ መሆናቸውን ያመለክታሉ። እነሱ በአንድ ጊዜ ሊከሰቱ አይችሉም. በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ያሉ የጋራ ክንውኖች አንቲፖድ ናቸው። ይህ የሚያመለክተው A ከተከሰተ በ B.
ላይ ጣልቃ አይገባም.
የተቃራኒ ክስተቶች (የይቻላል ንድፈ ሃሳብ በጣም በዝርዝር ያብራራቸዋል) ለመረዳት ቀላል ናቸው። እነሱን በንፅፅር ማስተናገድ የተሻለ ነው. እነሱ ከሞላ ጎደል ተመሳሳይ ናቸው።እና በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች። ግን ልዩነታቸው ከበርካታ ክስተቶች ውስጥ አንዱ የሆነው ለማንኛውም መከሰት ስላለበት ነው።
ተመሳሳይ ሁነቶች እነዚያ ድርጊቶች ናቸው፣ እድሉ እኩል ነው። የበለጠ ግልጽ ለማድረግ፣ የአንድ ሳንቲም ውርወራ መገመት እንችላለን፡ የአንዱ ጎኖቹ መውደቅ በተመሳሳይ መልኩ ከሌላኛው ሊወድቅ ይችላል።
አስደሳች ክስተት በምሳሌ ለማየት ቀላል ነው። ክፍል ለ እና ክፍል ሀ አለ እንበል።የመጀመሪያው የዳይስ ጥቅልል ያለ ጎዶሎ ቁጥር ሲሆን ሁለተኛው በዳይ ላይ ያለው የቁጥር አምስት መልክ ነው። ከዚያ ሀ ለ B.
እንደሚደግፍ ሆኖ ይታያል
በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ያሉ ገለልተኛ ክስተቶች በሁለት ወይም ከዚያ በላይ በሆኑ ጉዳዮች ላይ ብቻ የሚተነተኑ እና የማንኛውንም እርምጃ ከሌላው ነጻ መሆናቸውን ያመለክታሉ። ለምሳሌ ሀ ሳንቲም ሲወረወር የጅራት መጥፋት ሲሆን B ደግሞ ከመርከቧ ላይ የጃክ መሳል ነው። በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ራሳቸውን የቻሉ ክስተቶች ናቸው። በዚህ ቅጽበት የበለጠ ግልጽ ሆነ።
ጥገኛ ክስተቶች በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ እንዲሁ ተቀባይነት ያላቸው ለስብስባቸው ብቻ ነው። እነሱ የአንዱን ጥገኝነት ያመለክታሉ፣ ማለትም፣ ክስተቱ B ሊከሰት የሚችለው A አስቀድሞ ከተከሰተ ወይም በተቃራኒው ካልተከሰተ ብቻ ነው፣ ይህ ለB.
ዋና ሁኔታ ሲሆን ነው።
አንድ አካልን ያካተተ የዘፈቀደ ሙከራ ውጤት የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ነው። ይህ አንድ ጊዜ ብቻ የተከሰተ ክስተት መሆኑን ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሃሳብ ያብራራል።
መሰረታዊ ቀመሮች
ስለዚህ የ"ክስተት" ጽንሰ-ሀሳቦች፣ "የይቻላል ቲዎሪ"፣የዚህ ሳይንስ መሠረታዊ ቃላት ፍቺም ተሰጥቷል. ከአስፈላጊ ቀመሮች ጋር በቀጥታ ለመተዋወቅ ጊዜው አሁን ነው። እነዚህ አገላለጾች እንደ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ባሉ አስቸጋሪ ርዕሰ ጉዳዮች ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ዋና ፅንሰ ሀሳቦች በሂሳብ ያረጋግጣሉ። የክስተቱ ዕድል እዚህም ትልቅ ሚና ይጫወታል።
በመሠረታዊ የቅንብር ቀመሮች ቢጀመር ይሻላል። እና ወደ እነርሱ ከመቀጠልዎ በፊት ምን እንደሆነ ማጤን ተገቢ ነው።
ኮምቢናቶሪክስ በዋነኛነት የሒሳብ ክፍል ሲሆን እጅግ በጣም ብዙ ቁጥር ያላቸውን ኢንቲጀሮች ጥናትን እንዲሁም የቁጥሮችን እና የንጥረቶቻቸውን ፣የተለያዩ ዳታዎችን ፣ወዘተ የተለያዩ ለውጦችን በማጥናት ወደ መልክ ይመራሉ ። በርካታ ጥምረት. ከፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ በተጨማሪ ይህ ቅርንጫፍ ለስታስቲክስ፣ ለኮምፒዩተር ሳይንስ እና ለምስጠራ መረጃ ጠቃሚ ነው።
ስለዚህ አሁን ቀመሮቹን እራሳቸው ለማቅረብ እና እነሱን ወደ መግለፅ እንቀጥላለን።
የመጀመሪያው የመተላለፊያዎች ብዛት መግለጫ ይሆናል፣ይህ ይመስላል፡
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
እኩል ተፈጻሚ የሚሆነው ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል ብቻ የሚለያዩ ከሆነ ብቻ ነው።
አሁን የምደባ ቀመሩ ይታሰባል፣ ይህን ይመስላል፡
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - ሜትር)!
ይህ አገላለጽ ለኤለመንት ቅደም ተከተል ብቻ ሳይሆን ለአጻጻፉም ይሠራል።
ሦስተኛው እኩልታ ከኮምቢነቶሪክስ እና እሱ ደግሞ የመጨረሻው ነው የጥምረቶች ብዛት ቀመር ይባላል፡
C_n^m=n !: ((n -መ))!:ኤም !
ጥምረቶች በቅደም ተከተል ያልታዘዙ ምርጫዎች ናቸው፣ እና ይህ ህግ በእነሱ ላይ ተፈጻሚ ይሆናል።
የጥምር ቀመሮችን ለማወቅ ቀላል ሆኖ ተገኝቷል፣አሁን ወደ ክላሲካል የፕሮባቢሊቲዎች ፍቺ መሄድ እንችላለን። ይህ አገላለጽ ይህን ይመስላል፡
P(A)=m: n.
በዚህ ቀመር m ለክስተቱ A ተስማሚ የሆኑ የሁኔታዎች ብዛት ሲሆን n ደግሞ የሁሉም እኩል የሚቻል እና የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ቁጥር ነው።
ብዙ ቁጥር ያላቸው አገላለጾች አሉ፡ ጽሑፉ ሁሉንም አይሸፍንም ነገር ግን በጣም አስፈላጊው ይዳስሳል፡ ለምሳሌ የክስተቶች ድምር ዕድል፡
P(A +B)=P(A) + P(B) - ይህ ቲዎሬም ተኳዃኝ ያልሆኑ ክስተቶችን ብቻ ለመጨመር ነው፤
P(A +B)=P(A) + P(B) - P(AB) - እና ይሄኛው ተኳኋኝ የሆኑትን ብቻ ለመጨመር ነው።
ክስተቶችን የማምረት ዕድል፡
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) - ይህ ቲዎሬም ለገለልተኛ ዝግጅቶች ነው፤
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A)፤ P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - እና ይሄኛው ለ ሱሰኞች።
የክስተቱ ቀመር ዝርዝሩን ያበቃል። የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ይህን ይመስላል፡ ስለ ቤይስ ቲዎሬም ይነግረናል፡
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
በዚህ ቀመር ኤች1፣ H2፣ …፣ H የተሟላ መላምቶች ቡድን።
እዚህ እናቁም፣ከዚህም የተወሰኑ ችግሮችን ከተግባር ለመፍታት ቀመሮችን የመተግበር ምሳሌዎች ይታሰባሉ።
ምሳሌዎች
የትኛውንም ክፍል በጥንቃቄ ካጠኑሒሳብ, ያለ ልምምዶች እና ናሙና መፍትሄዎች አይሰራም. የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሀሳብም እንዲሁ፡ ክስተቶች፣ ምሳሌዎች እዚህ ላይ ሳይንሳዊ ስሌቶችን የሚያረጋግጥ ዋና አካል ናቸው።
ቀመር ለፈቃድ ብዛት
ከፊት እሴት አንድ ጀምሮ በካርዶች ውስጥ ሰላሳ ካርዶች አሉ እንበል። የሚቀጥለው ጥያቄ። የአንድ እና ሁለት ፊት ዋጋ ያላቸው ካርዶች እርስ በርሳቸው እንዳይቀራረቡ የመርከቧን መደርደር ስንት መንገዶች አሉ?
ተግባሩ ተቀምጧል፣ አሁን ወደ መፍትሄው እንሂድ። በመጀመሪያ የሠላሳ አካላትን የዝውውር ብዛት መወሰን ያስፈልግዎታል ፣ ለዚህም ከላይ ያለውን ቀመር እንወስዳለን ፣ እሱ P_30=30 ይሆናል!.
በዚህ ህግ መሰረት የመርከቧን ወለል በተለያየ መንገድ ለማጠፍ ምን ያህል አማራጮች እንዳሉ እናያለን ነገርግን የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ካርዶች የሚቀጥሉትን ከነሱ መቀነስ አለብን። ይህንን ለማድረግ, የመጀመሪያው ከሁለተኛው በላይ በሚሆንበት ጊዜ በምርጫው እንጀምር. የመጀመሪያው ካርድ ሃያ ዘጠኝ ቦታዎችን ሊወስድ ይችላል - ከመጀመሪያው እስከ ሃያ ዘጠነኛው ፣ እና ሁለተኛው ካርድ ከሁለተኛው እስከ ሠላሳኛው ድረስ ለአንድ ጥንድ ካርዶች ሃያ ዘጠኝ ቦታዎችን ይወጣል። በምላሹ, ቀሪው ሃያ ስምንት ቦታዎችን እና በማንኛውም ቅደም ተከተል ሊወስድ ይችላል. ይኸውም ለሃያ ስምንት ካርዶች ሃያ ስምንት አማራጮች አሉ P_28=28!
በዚህም ምክንያት የመጀመሪያው ካርድ ከሁለተኛው ሲያልፍ መፍትሄውን ካጤንነው 29 ⋅ 28 ተጨማሪ እድሎች አሉ!=29!
በተመሳሳይ ዘዴ፣የመጀመሪያው ካርድ ከሁለተኛው በታች በሚሆንበት ጊዜ ለጉዳዩ ብዙ ተጨማሪ አማራጮችን ማስላት አለቦት።እንዲሁም 29 ⋅ 28 ይሆናል!=29!
ከዚህ በኋላ 2⋅ 29 ተጨማሪ አማራጮች አሉ!፣ የመርከቧን ለመገንባት 30 አስፈላጊ መንገዶች ሲኖሩ! - 2⋅ 29! ለመቁጠር ብቻ ይቀራል።
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
አሁን ሁሉንም ቁጥሮች ከአንድ ወደ ሀያ ዘጠኝ አንድ ላይ ማባዛት ያስፈልግዎታል ከዚያም መጨረሻ ላይ ሁሉንም ነገር በ 28 ማባዛት መልሱ 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
ነው.
የምሳሌው መፍትሄ። ፎርሙላ የምደባ ቁጥር
በዚህ ችግር ውስጥ አስራ አምስት ጥራዞችን በአንድ መደርደሪያ ላይ ለማስቀመጥ ምን ያህል መንገዶች እንዳሉ ማወቅ አለቦት ነገርግን በአጠቃላይ ሰላሳ ጥራዞች ይኖራሉ።
ይህ ችግር ከቀዳሚው ትንሽ ቀላል መፍትሄ አለው። ቀድሞውንም የታወቀው ቀመር በመጠቀም አጠቃላይ የቦታዎችን ብዛት ከሰላሳ ጥራዞች አስራ አምስት ማስላት ያስፈልጋል።
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 703
መልሱ እንደቅደም ተከተላቸው 202 843 204 931 727 360 000 ይሆናል።
ይሆናል።
አሁን ስራውን ትንሽ ከብዶ እንውሰደው። በአንድ መደርደሪያ ላይ አሥራ አምስት ጥራዞች ብቻ እስካልሆኑ ድረስ ሠላሳ መጻሕፍትን በሁለት የመጻሕፍት መደርደሪያ ላይ ለማዘጋጀት ስንት መንገዶች እንዳሉ ማወቅ አለቦት።
መፍትሄውን ከመጀመሬ በፊት አንዳንድ ችግሮች የሚፈቱት በተለያዩ መንገዶች እንደሆነ ግልጽ ማድረግ እፈልጋለሁ፣ስለዚህ በዚህኛው ሁለት መንገዶች አሉ፣ነገር ግን በሁለቱም ላይ አንድ አይነት ቀመር ጥቅም ላይ ይውላል።
በዚህ ችግር መልሱን ከቀዳሚው መውሰድ ትችላላችሁ፣ ምክንያቱም እዚያ መደርደሪያን በአስራ አምስት መፅሃፍ ስንት ጊዜ መሙላት እንደሚችሉ አስልተናል-በተለየ. A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28
ሁለተኛውን መደርደሪያ በፔርሙቴሽን ፎርሙላ እናሰላዋለን ምክንያቱም በውስጡ አስራ አምስት መጽሃፍቶች ተቀምጠዋል እና አስራ አምስት ብቻ ይቀራሉ። ቀመር P_15=15 ይጠቀሙ!.
በአጠቃላይ ሀ_30^15 ⋅ P_15 መንገዶች ይሆናል፣ነገር ግን፣ከሠላሳ እስከ አስራ ስድስት ያሉት ሁሉም ቁጥሮች ምርት ከአንድ እስከ አስራ አምስት ባሉት ቁጥሮች ማባዛት ይኖርበታል። ውጤት፣ የሁሉም ቁጥሮች ውጤት ከአንድ እስከ ሠላሳ፣ ስለዚህ መልሱ 30 ነው!
ነገር ግን ይህ ችግር በተለየ መንገድ ሊፈታ ይችላል - ቀላል። ይህንን ለማድረግ ለሠላሳ መጻሕፍት አንድ መደርደሪያ እንዳለ መገመት ይችላሉ. ሁሉም በዚህ አውሮፕላን ላይ ተቀምጠዋል, ነገር ግን ሁኔታው ሁለት መደርደሪያዎች እንዲኖሩ ስለሚያስፈልግ, አንድ ረዥም ግማሹን ቆርጠን እንሰራለን, እያንዳንዳቸው ሁለት አስራ አምስት ይሆናሉ. ከዚህ በመነሳት የምደባ አማራጮች P_30=30 ሊሆኑ ይችላሉ!.
የምሳሌው መፍትሄ። ቀመር ለጥምር ቁጥር
አሁን የሦስተኛውን ችግር ከተዋሃዱ መካከል ያለውን ልዩነት እንመለከታለን። አሥራ አምስት መጽሐፍትን ለማዘጋጀት ስንት መንገዶች እንዳሉ ማወቅ አለቦት፣ ከሠላሳ ፍፁም ተመሳሳይነት ያለው መምረጥ እስካልሆነ ድረስ።
ለመፍትሔው በእርግጥ የጥምረቶች ብዛት ቀመር ተግባራዊ ይሆናል። ከሁኔታው መረዳት እንደሚቻለው ተመሳሳይ የአስራ አምስት መጻሕፍት ቅደም ተከተል አስፈላጊ እንዳልሆነ ግልጽ ይሆናል. ስለዚህ፣ በመጀመሪያ የአስራ አምስት የሰላሳ መፅሃፎች አጠቃላይ ድምርን ቁጥር ማወቅ አለቦት።
C_30^15=30 !: ((30-15))!: አስራ አምስት !=155 117 520
ይሄ ነው። ይህንን ፎርሙላ በመጠቀም፣ በተቻለ መጠን በአጭር ጊዜ ውስጥ ማድረግ ይቻላል።እንደዚህ አይነት ችግር መፍታት መልሱ በቅደም ተከተል 155 117 520 ነው.
የምሳሌው መፍትሄ። የሚታወቀው የፕሮባቢሊቲ ትርጉም
ከላይ ባለው ቀመር፣ ለቀላል ችግር መልሱን ማግኘት ይችላሉ። ግን በእይታ ለማየት እና የእርምጃዎችን አካሄድ ለመከተል ይረዳል።
በችግሩ ውስጥ በሽንት ውስጥ አስር ተመሳሳይ ኳሶች መኖራቸው ተሰጥቷል። ከእነዚህ ውስጥ አራቱ ቢጫ እና ስድስቱ ሰማያዊ ናቸው. አንድ ኳስ ከሽንት ውስጥ ይወሰዳል. ሰማያዊ የማግኘት እድልን ማወቅ አለብህ።
ችግሩን ለመፍታት ሰማያዊውን ኳስ ማግኘትን እንደ ክስተት ሀ መመደብ ያስፈልጋል። ይህ ልምድ አስር ውጤቶች ሊኖሩት ይችላል፣ ይህ ደግሞ አንደኛ ደረጃ እና እኩል ሊሆን የሚችል ነው። በተመሳሳይ ጊዜ ከአስር ስድስቱ ለክስተቱ ተስማሚ ናቸው ሀ. በቀመርው መሰረት እንፈታዋለን፡
P(A)=6: 10=0, 6
ይህን ቀመር በመተግበር ሰማያዊውን ኳስ የማግኘት እድሉ 0.6 መሆኑን አውቀናል::
የምሳሌው መፍትሄ። የክስተቶች ድምር ዕድል
አሁን ተለዋጭ ይቀርባል፣ እሱም ለክስተቶች ድምር ዕድል ቀመሩን በመጠቀም ተፈቷል። ስለዚህ, ሁለት ሳጥኖች እንዳሉ በተሰጠው ሁኔታ, የመጀመሪያው አንድ ግራጫ እና አምስት ነጭ ኳሶችን ይይዛል, ሁለተኛው ደግሞ ስምንት ግራጫ እና አራት ነጭ ኳሶችን ይይዛል. በውጤቱም, ከመካከላቸው አንዱ ከመጀመሪያው እና ከሁለተኛው ሳጥኖች ውስጥ ተወስዷል. የሚያገኟቸው ኳሶች ግራጫ እና ነጭ የመሆን እድሉ ምን እንደሆነ ማወቅ ያስፈልግዎታል።
ይህን ችግር ለመፍታት ለክስተቶቹ ምልክት ማድረግ አለቦት።
- ስለዚህ፣ A - ከመጀመሪያው ሣጥን ግራጫ ኳስ ይውሰዱ፡ P(A)=1/6።
- A’ - እንዲሁም ከመጀመሪያው ሣጥን ላይ ነጭ ኳስ ይውሰዱ፡ P(A')=5/6።
- B - ግራጫው ኳስ ቀድሞውኑ ከሁለተኛው ሳጥን ውስጥ ተወስዷል፡ P(B)=2/3.
- B’ - ከሁለተኛው ሳጥን ግራጫ ኳስ ይውሰዱ፡ P(B')=1/3።
እንደ ችግሩ ሁኔታ፣ ከክስተቶቹ አንዱ መሆን አለበት፡ AB' ወይም A'B። ቀመሩን በመጠቀም P(AB')=1/18፣ P(A'B)=10/18።
አሁን የይሁንታ ማባዛት ቀመር ስራ ላይ ውሏል። በመቀጠል፣ መልሱን ለማግኘት፣ የመደመር ሒሳቡን መተግበር ያስፈልግዎታል፡-
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18።
በዚህ መንገድ ነው፣ ቀመሩን በመጠቀም፣ ተመሳሳይ ችግሮችን መፍታት ይችላሉ።
ውጤት
ጽሑፉ የዝግጅቱ ዕድል ወሳኝ ሚና በሚጫወትበት "የይሆናልነት ቲዎሪ" ርዕስ ላይ መረጃ ሰጥቷል። እርግጥ ነው, ሁሉም ነገር ግምት ውስጥ አልገባም, ነገር ግን, በቀረበው ጽሑፍ ላይ በመመስረት, አንድ ሰው በንድፈ ሀሳብ ከዚህ የሂሳብ ክፍል ጋር መተዋወቅ ይችላል. በጥያቄ ውስጥ ያለው ሳይንስ በሙያዊ ሥራ ላይ ብቻ ሳይሆን በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥም ጠቃሚ ሊሆን ይችላል. በእሱ እርዳታ የማንኛውም ክስተት እድል ማስላት ይችላሉ።
ጽሁፉ እንደ ሳይንስ የይሁንታ ንድፈ ሃሳብ ምስረታ ታሪክ ውስጥ ጉልህ የሆኑ ቀኖችን እና ስራዎቻቸው በእሱ ላይ መዋዕለ ንዋያቸውን ያፈሰሱ ሰዎችን ስም ጠቅሷል። የሰዎች የማወቅ ጉጉት ሰዎች የዘፈቀደ ክስተቶችን እንኳን ማስላት እንዲማሩ ያደረገው በዚህ መንገድ ነው። አንዴ እነሱ ብቻ ፍላጎት ነበራቸው, ግን ዛሬ ሁሉም ሰው ስለእሱ አስቀድሞ ያውቃል. እና ማንም ወደፊት ምን እንደሚጠብቀን አይናገርም, ከግምት ውስጥ ካለው ንድፈ ሐሳብ ጋር የተያያዙ ሌሎች ድንቅ ግኝቶች ምን ይሆናሉ. ግን አንድ ነገር እርግጠኛ ነው - ምርምር አሁንም አልቆመም!
