ማክላሪን ተከታታይ እና የአንዳንድ ተግባራት መስፋፋት።

2024 ደራሲ ደራሲ: Angel Austin | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-17 05:15

የከፍተኛ የሒሳብ ትምህርት ተማሪዎች ለተከታታዩ የመገናኘት የጊዜ ክፍተት ውስጥ ያሉ አንዳንድ የሃይል ተከታታዮች ድምር ተከታታይ እና ያልተገደበ የቁጥር ጊዜያት ልዩነት ተግባር መሆኑን ማወቅ አለባቸው። ጥያቄው የሚነሳው፡- የተሰጠው የዘፈቀደ ተግባር f(x) የአንዳንድ የኃይል ተከታታይ ድምር መሆኑን ማረጋገጥ ይቻላል? ማለትም፣ f(x) ተግባር በኃይል ተከታታይ በምን አይነት ሁኔታዎች ሊወከል ይችላል? የዚህ ጥያቄ አስፈላጊነት የ f (x) ተግባሩን በኃይል ተከታታይ የመጀመሪያዎቹ ጥቂት ቃላት ድምር ማለትም በፖሊኖሚል መተካት ስለሚቻል ነው. እንዲህ ዓይነቱ ተግባር በቀላል አገላለጽ መተካት - ብዙ ቁጥር ያለው - እንዲሁም አንዳንድ የሂሳብ ትንታኔ ችግሮችን ሲፈታ ምቹ ነው ፣ እነሱም- ጥረቶችን በሚፈቱበት ጊዜ ፣ ልዩነቶችን ሲሰሉ ፣ ወዘተ.

ለተወሰነ ተግባር f(х) እስከ (n+1) ኛ ቅደም ተከተል የመጨረሻውን ጨምሮ ተዋጽኦዎች በሰፈር (α_{) ሊሰሉ እንደሚችሉ ተረጋግጧል።- R; x}0 _{+ R) የአንዳንድ ነጥብ x=α ቀመር ትክክለኛ ነው፡}

ይህ ቀመር የተሰየመው በታዋቂው ሳይንቲስት ብሩክ ቴይለር ነው። ከቀዳሚው የተገኘው ተከታታይ ማክላሪን ተከታታይ ይባላል፡

በማክላሪን ተከታታይ መስፋፋት የሚያስችለው ህግ፡

1. የመጀመሪያ፣ ሁለተኛ፣ ሶስተኛ… የትዕዛዝ ተዋጽኦዎችን ይወስኑ።
2. በ x=0 ላይ ያሉት ተዋጽኦዎች ከምን ጋር እኩል እንደሆኑ አስላ።

ለዚህ ተግባር

3. የማክላሪን ተከታታዮችን ይቅረጹ እና የመገናኘቱን ጊዜ ይወስኑ።
4. የማክላሪን ቀመር

ያለውን ክፍተት (-R;R) ይወስኑ

R (x) -> 0 ለ n -> infinity። አንዱ ካለ፣ በውስጡ ያለው ተግባር f(x) ከማክላሪን ተከታታይ ድምር ጋር መመሳሰል አለበት።

አሁን የማክላሪን ተከታታዮችን ለግል ተግባራት አስቡበት።

1። ስለዚህ፣ የመጀመሪያው f(x)=e^x ይሆናል። እርግጥ ነው፣ እንደ ባህሪያቱ፣ እንዲህ ዓይነቱ ተግባር የተለያዩ የትእዛዞች መነሻዎች አሉት፣ እና f^(k)(x)=e^x፣ እና k ሁሉንም የሚያስተካክልበት ነው። የተፈጥሮ ቁጥሮች. x=0 እንተካ። f^(k)(0)=e⁰=1፣ k=1፣ 2… እናገኛለን። ^{ይህን ይመስላል፡}

2። የማክላሪን ተከታታይ ለተግባር f(x)=sin x። የሁሉም ያልታወቁ ተግባራት ከf^'(x)=cos x=sin(x+n/2)፣ f ^{'' በተጨማሪ ተውሳኮች እንደሚኖሩት ወዲያውኑ ግልጽ ያድርጉ። (x)=-ሲን x=ኃጢአት(x+2n/2)…፣ f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2)፣ k ከማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ጋር እኩል የሆነበት። ይኸውም ቀላል ስሌቶችን ካደረግን በኋላ ለ f(x)=sin x ተከታታይነት ያለው የሚከተለውን ይመስላል፡-} ወደሚል መደምደሚያ ደርሰናል።

3። አሁን f(x)=cos x የሚለውን ተግባር ለመመልከት እንሞክር። እሷ ለማይታወቅ ነገር ነችየዘፈቀደ ቅደም ተከተል ውጤቶች አሉት፣ እና |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… አሁንም አንዳንድ ስሌቶችን ካደረግን በኋላ ለf(x)=cos x ተከታታይ የሚከተለውን ይመስላል፡

ስለዚህ በማክላሪን ተከታታይ ውስጥ ሊሰፉ የሚችሉ በጣም ጠቃሚ ተግባራትን ዘርዝረናል፣ነገር ግን ለአንዳንድ ተግባራት በቴይለር ተከታታይ ተጨምረዋል። አሁን እንዘረዝራቸዋለን. በተጨማሪም ቴይለር እና ማክላሪን ተከታታይ በከፍተኛ ሒሳብ ውስጥ ተከታታይ የመፍታት ልምምድ ጠቃሚ አካል መሆናቸውን ልብ ሊባል የሚገባው ጉዳይ ነው። ስለዚህ፣ ቴይለር ተከታታይ።

1። የመጀመሪያው ለ f-ii f(x)=ln(1+x) ተከታታይ ይሆናል። እንደቀደሙት ምሳሌዎች f (x)=ln (1 + x) እንደተሰጠን የማክላሪን ተከታታይ አጠቃላይ ቅፅን በመጠቀም ተከታታይ መጨመር እንችላለን። ነገር ግን, ለዚህ ተግባር, የማክላሪን ተከታታይ በጣም በቀላሉ ማግኘት ይቻላል. የተወሰነ የጂኦሜትሪክ ተከታታይን ካዋሃድን በኋላ፣ የዚህ ናሙና f(x)=ln(1+x) ተከታታይ እናገኛለን፡

2። እና ሁለተኛው, በእኛ ጽሑፉ የመጨረሻ ይሆናል, ለ f (x) u003d arcg x ተከታታይ ይሆናል. የክፍለ ጊዜው [-1;1] ለሆነ፣ ማስፋፊያው የሚሰራ ነው፡

ይሄ ነው። ይህ መጣጥፍ በከፍተኛ ሂሳብ በተለይም በኢኮኖሚያዊ እና ቴክኒካል ዩኒቨርሲቲዎች በብዛት ጥቅም ላይ የዋሉትን ቴይለር እና ማክላሪን ተከታታዮችን መርምሯል።