ሒሳብ ወደ አልጀብራ እና ጂኦሜትሪ በመከፋፈል የትምህርት ቁሳቁስ ይበልጥ አስቸጋሪ ይሆናል። አዲስ አሃዞች እና ልዩ ጉዳዮቻቸው ይታያሉ. ቁሳቁሱን በደንብ ለመረዳት የነገሮችን ፅንሰ-ሀሳቦችን፣ ባህሪያትን እና ተዛማጅ ንድፈ ሃሳቦችን ማጥናት ያስፈልጋል።
አጠቃላይ ፅንሰ-ሀሳቦች
አራት ማዕዘን ማለት የጂኦሜትሪክ ምስል ማለት ነው። 4 ነጥቦችን ያካትታል. ከዚህም በላይ 3 ቱ በተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር ላይ አይገኙም. የተገለጹትን ነጥቦች በተከታታይ የሚያገናኙ ክፍሎች አሉ።
በትምህርት ቤቱ ጂኦሜትሪ ኮርስ የተማሩት ሁሉም ባለአራት ጎኖች በሚከተለው ስእል ይታያል። ማጠቃለያ፡ ከቀረበው ምስል ውስጥ ያለ ማንኛውም ነገር የቀደመው ምስል ባህሪያት አሉት።
አንድ ባለአራት ጎን ከሚከተሉት ዓይነቶች ሊሆን ይችላል፡
- Parallelogram። የተቃራኒ ጎኖቹ ትይዩነት በተዛማጅ ንድፈ ሃሳቦች የተረጋገጠ ነው።
- ትራፔዝ። ትይዩ መሰረቶች ያሉት አራት ማዕዘን. የተቀሩት ሁለት ወገኖች አይደሉም።
- አራት ማዕዘን። ሁሉም 4 ማዕዘኖች ያሉት ምስል=90º.
- Rhombus። ሁሉም ጎኖች እኩል የሆነ ምስል።
- ካሬ። የመጨረሻዎቹ ሁለት አሃዞች ባህሪያትን ያጣምራል. ሁሉም ጎኖች እኩል ናቸው እና ሁሉም ማዕዘኖች ትክክል ናቸው።
የዚህ ርዕስ ዋና ፍቺ በክበብ ውስጥ የተቀረጸ ባለአራት ጎን ነው። በሚከተለው ውስጥ ያካትታል. ይህ ክብ የተገለጸበት ምስል ነው። በሁሉም ጫፎች ውስጥ ማለፍ አለበት. በክበብ ውስጥ የተቀረጸው የአንድ አራት ማዕዘን ውስጣዊ ማዕዘኖች እስከ 360º ድረስ ይጨምራሉ።
እያንዳንዱ ባለአራት ጎን ሊቀረጽ አይችልም። ይህ የሆነበት ምክንያት የ 4 ቱ ጎኖች ቀጥ ያሉ ብስክሌቶች በአንድ ነጥብ ላይ ሊገናኙ አይችሉም. ይህ ባለ 4-ጎን የሚገለበጥ የክበብ መሃል ማግኘት የማይቻል ያደርገዋል።
ልዩ ጉዳዮች
ከእያንዳንዱ ህግ የማይካተቱ አሉ። ስለዚህ፣ በዚህ ርዕስ ውስጥ ልዩ ጉዳዮችም አሉ፡
- ትይዩአሎግራም እንደዚሁ በክበብ ውስጥ ሊቀረጽ አይችልም። የእሱ ልዩ ጉዳይ ብቻ። አራት ማዕዘን ነው።
- ሁሉም የrhombus ጫፎች በግርዛት መስመር ላይ ከሆኑ፣ እሱ ካሬ ነው።
- ሁሉም የትራፔዞይድ ጫፎች በክበቡ ወሰን ላይ ናቸው። በዚህ አጋጣሚ፣ ስለ isosceles ምስል ይናገራሉ።
በክበብ ውስጥ የተቀረጸ ባለአራት ጎን ባህሪያት
በአንድ ርዕስ ላይ ቀላል እና ውስብስብ ችግሮችን ከመፍታትዎ በፊት እውቀትዎን ማረጋገጥ አለብዎት። የትምህርት ቁሳቁሶችን ሳያጠና አንድ ምሳሌ መፍታት አይቻልም።
Theorem 1
በክበብ ውስጥ የተቀረፀው የአራት ማዕዘን ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር 180º ነው።
ማስረጃ
የተሰጠ፡ ባለአራት ጎን ABCD በክበብ ውስጥ ተቀርጿል። ማዕከሉ ነጥብ O ነው። <A + <C=180º እና < መሆኑን ማረጋገጥ አለብን። B + <D=180º።
የቀረቡትን አሃዞች ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል።
- <A በክበብ የተቀረፀው ነጥብ O ላይ ያማከለ ነው። የሚለካው በ½ BCD (ግማሽ ቅስት) ነው።
- <C በተመሳሳይ ክበብ ውስጥ ተጽፏል። የሚለካው በ½ BAD (ግማሽ-አርክ) ነው።
- BAD እና BCD አንድ ሙሉ ክብ ይመሰርታሉ፣ማለትም መጠናቸው 360º ነው።
- <A + <C ከሚወከሉት የግማሽ-አርኮች ድምር ግማሽ ጋር እኩል ነው።
- ስለዚህ <A + <C=360º / 2=180º።
በተመሳሳይ መንገድ የ<B እና <D ማረጋገጫው። ሆኖም ለችግሩ ሁለተኛ መፍትሄ አለ።
- የአራት ማዕዘን የውስጥ ማዕዘኖች ድምር 360º እንደሆነ ይታወቃል።
- ምክንያቱም <A + <C=180º። በዚህም መሰረት <B + <D=360º - 180º=180º።
Theorem 2
(ብዙውን ጊዜ ተገላቢጦሽ ይባላል) በአራት ማዕዘን ከሆነ <A + <C=180º እና <B + <D=180º (ተቃራኒ ከሆኑ) ክብ በዚህ ምስል ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል።
ማስረጃ
ከ180º ጋር እኩል የሆነ የአራት ማዕዘን ABCD ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር ተሰጥቷል። <A + <C=180º፣ <B +<D=180º። አንድ ክበብ በ ABCD ዙሪያ ሊገለበጥ እንደሚችል ማረጋገጥ አለብን።
ከጂኦሜትሪ ኮርስ አንድ ክበብ በአራት ማዕዘን በ3 ነጥብ መሳል እንደሚቻል ይታወቃል። ለምሳሌ ነጥቦችን A, B, C መጠቀም ይችላሉ. ነጥብ D የት ይገኛል? 3 ግምቶች አሉ፡
- በክበቡ ውስጥ ትጨርሳለች። በዚህ አጋጣሚ D መስመሩን አይነካም።
- ከክበቡ ውጪ። ከተዘረዘረው መስመር ርቃ ትሄዳለች።
- በክበብ ላይ ይወጣል።
D በክበቡ ውስጥ እንዳለ መታሰብ አለበት። የተጠቆመው ጫፍ ቦታ በዲ ተይዟል. ባለአራት ጎን ABCD′። ይሆናል።
ውጤቱ፡<B + <D′=2d።
AD'ን ወደ መገናኛው ከቀጠልን ነባሩ ክበብ ነጥብ E ላይ ያማከለ እና E እና C ካገናኘን፣ የተቀረጸ ባለአራት ጎን ABCE እናገኛለን። ከመጀመሪያው ጽንሰ-ሐሳብ እኩልነት ይከተላል-
በጂኦሜትሪ ህግጋት መሰረት አገላለጹ የሚሰራ አይደለም ምክንያቱም <D' የሶስት ማዕዘን CD'E ውጫዊ ጥግ ነው። በዚህ መሠረት ከ<E በላይ መሆን አለበት። ከዚህ በመነሳት D በክበቡ ላይ ወይም ከእሱ ውጭ መሆን አለበት ብለን መደምደም እንችላለን።
በተመሳሳይ፣ ሦስተኛው ግምት ስህተት ሊረጋገጥ የሚችለው D′ ከተገለፀው አኃዝ ወሰን ሲያልፍ ነው።
ከሁለት መላምቶች ትክክለኛውን ብቻ ይከተላል። Vertex D በክበብ መስመር ላይ ይገኛል. በሌላ አነጋገር፣ D ከ E ጋር ይዛመዳል። በመቀጠልም ሁሉም የአራት ማዕዘን ነጥቦች በተገለፀው መስመር ላይ ይገኛሉ።
ከእነዚህሁለት ንድፈ ሐሳቦች፣ አስተባባሪዎቹ ይከተላሉ፡
ማንኛውም ሬክታንግል በክበብ ውስጥ መፃፍ ይችላል። ሌላ መዘዝ አለ. ክበብ በማንኛውም አራት ማዕዘን ዙሪያ መገረዝ ይችላል።
Trapzoid እኩል ዳሌ ያለው በክበብ ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል። በሌላ አገላለጽ፣ እንደዚህ ይመስላል፡ ክብ እኩል ጠርዞች ባለው ትራፔዞይድ ዙሪያ ሊገለፅ ይችላል።
በርካታ ምሳሌዎች
ችግር 1. ባለአራት ጎን ABCD በክበብ ውስጥ ተቀርጿል። <ABC=105º፣ <CAD=35º። <ABD ማግኘት ያስፈልጋል። መልሱ በዲግሪ መፃፍ አለበት።
ውሳኔ። መጀመሪያ ላይ መልሱን ማግኘት አስቸጋሪ ሊመስል ይችላል።
1። በዚህ ርዕስ ውስጥ ያሉትን ንብረቶች ማስታወስ ያስፈልግዎታል. ማለትም፡ የተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር=180º።
<ADC=180º - <ABC=180º - 105º=75º
በጂኦሜትሪ ውስጥ፣ በመርህ ላይ መጣበቅ ይሻላል፡ የምትችለውን ሁሉ አግኝ። በኋላ ጠቃሚ።
2። ቀጣዩ ደረጃ፡ የሶስት ማዕዘን ድምር ቲዎሬምን ተጠቀም።
<ACD=180º - <CAD – <ADC=180º - 35º - 75º=70º
<ABD እና <ACD ተጽፈዋል። በሁኔታዎች, በአንድ ቅስት ላይ ይመካሉ. በዚህ መሰረት፣ እኩል እሴቶች አሏቸው፡
<ABD=<ACD=70º
መልስ፡ <ABD=70º።
ችግር 2. BCDE በክበብ ውስጥ የተቀረጸ ባለአራት ጎን ነው። <B=69º፣ <C=84º። የክበቡ መሃል ነጥብ ኢ ነው። አግኝ - <E.
ውሳኔ።
- <E በ Theorem 1። ማግኘት ያስፈልጋል።
<E=180º – <C=180º – 84º=96º
መልስ፡ < E=96º።
ችግር 3. በክበብ ውስጥ የተቀረጸ ባለአራት ጎን ተሰጥቷል። መረጃው በሥዕሉ ላይ ይታያል. ያልታወቁ እሴቶች x, y, z. ማግኘት አስፈላጊ ነው.
መፍትሔ፡
z=180º – 93º=87º (በቲዎረም 1)
x=½(58º + 106º)=82º
y=180º – 82º=98º (በቲዎረም 1)
መልስ፡ z=87º፣ x=82º፣ y=98º።
ችግር 4. በክበብ ውስጥ የተቀረጸ ባለአራት ጎን አለ። እሴቶቹ በሥዕሉ ላይ ይታያሉ. x, y. ያግኙ
መፍትሔ፡
x=180º – 80º=100º
y=180º – 71º=109º
መልስ፡ x=100º፣ y=109º።
ችግሮች ለገለልተኛ መፍትሄ
ምሳሌ 1. ክብ ተሰጥቷል። መሃሉ ነጥብ O AC እና BD ዲያሜትሮች ናቸው። <ACB=38º። <AOD ማግኘት ያስፈልጋል። መልሱ በዲግሪዎች መሰጠት አለበት።
ምሳሌ 2. አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ABCD የተሰጠው እና ክብ የተከበበ ነው። <ABC=110º፣ <ABD=70º። <CAD ያግኙ። መልስዎን በዲግሪዎች ይፃፉ።
ምሳሌ 3. ክብ እና የተቀረጸ ባለአራት ጎን ABCD ተሰጥቷል። የእሱ ሁለት ማዕዘኖች 82º እና58º ከቀሪዎቹ ማዕዘኖች ትልቁን ማግኘት እና መልሱን በዲግሪዎች ይፃፉ።
ምሳሌ 4. ባለአራት ጎን ABCD ተሰጥቷል። ማዕዘኖች A, B, C በ 1: 2: 3 ጥምርታ ውስጥ ተሰጥተዋል. የተጠቀሰው አራት ማዕዘን ቅርጽ በክበብ ውስጥ ሊቀረጽ የሚችል ከሆነ አንግል D ማግኘት አስፈላጊ ነው. መልሱ በዲግሪዎች መሰጠት አለበት።
ምሳሌ 5. ባለአራት ጎን ABCD ተሰጥቷል። ጎኖቹ የተከበበውን ክብ ቅስቶች ይመሰርታሉ። የዲግሪ እሴቶች AB፣ BC፣ CD እና AD፣ በቅደም ተከተል፣ 78˚፣ 107˚፣ 39˚፣ 136˚ ናቸው። ከተሰጠው አራት ማዕዘን ውስጥ < ማግኘት አለቦት እና መልሱን በዲግሪ ይፃፉ።
