ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ወይም ወደ ቀጥታ መስመር ያለውን ርቀት ማወቅ በህዋ ውስጥ ያለውን የቁጥር መጠን እና የገጽታ ስፋት ለማስላት ያስችላል። በጂኦሜትሪ ውስጥ ያለው የዚህ ርቀት ስሌት ለተጠቀሱት የጂኦሜትሪክ እቃዎች ተጓዳኝ እኩልታዎችን በመጠቀም ይከናወናል. በጽሁፉ ውስጥ እሱን ለማወቅ ምን አይነት ቀመሮችን መጠቀም እንደሚቻል እናሳያለን።
የመስመር እና የአውሮፕላን እኩልታዎች
ከነጥብ ወደ አውሮፕላን እና ወደ መስመር ያለውን ርቀት የሚወስኑ ቀመሮችን ከመስጠታችን በፊት፣እስቲ እኩልታዎች እነዚህን ነገሮች የሚገልጹትን እናሳይ።
ነጥቡን ለመወሰን በተሰጠው የአስተባበር መጥረቢያ ስርዓት ውስጥ የመጋጠሚያዎች ስብስብ ጥቅም ላይ ይውላል። እዚህ ላይ የካርቴዥያን አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓትን ብቻ እንመለከታለን, ይህም መጥረቢያዎቹ አንድ አይነት አሃድ ቬክተር ያላቸው እና እርስ በርስ የሚጣጣሙ ናቸው. በአውሮፕላን ላይ፣ የዘፈቀደ ነጥብ በሁለት መጋጠሚያዎች፣ በህዋ - በሶስት። ይገለጻል።
የተለያዩ የእኩልታ ዓይነቶች ቀጥ ያለ መስመርን ለመግለጽ ጥቅም ላይ ይውላሉ። በአንቀጹ ርዕስ መሰረት, እናቀርባለንከመካከላቸው ሁለቱ ብቻ፣ መስመሮችን ለመለየት ባለ ሁለት ገጽታ ቦታ ላይ ጥቅም ላይ ይውላሉ።
የቬክተር እኩልታ። የሚከተለው ምልክት አለው፡
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)።
እዚህ ያለው የመጀመሪያው ቃል በመስመሩ ላይ የተቀመጠ የታወቀ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ይወክላል። ሁለተኛው ቃል በዘፈቀደ ቁጥር ተባዝቶ የቬክተር መጋጠሚያዎች አቅጣጫ ነው λ.
አጠቃላይ እኩልታ። ማስታወሻው እንደሚከተለው ነው፡
Ax + By + C=0;
A፣ B፣ C አንዳንድ መጋጠሚያዎች ባሉበት።
በአውሮፕላኑ ላይ ያሉትን መስመሮች ለመወሰን የአጠቃላይ እኩልታ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል፣ነገር ግን በአውሮፕላን ላይ ከአንድ ነጥብ እስከ መስመር ያለውን ርቀት ለማወቅ ከቬክተር አገላለጽ ጋር ለመስራት የበለጠ አመቺ ይሆናል።
በሦስት አቅጣጫዊ ቦታ ያለው አውሮፕላን በተለያዩ የሒሳብ መንገዶችም ሊጻፍ ይችላል። ቢሆንም፣ ብዙ ጊዜ በችግሮች ውስጥ አጠቃላይ እኩልታ አለ፣ እሱም እንደሚከተለው ተጽፏል፡
Ax + By + Cz + D=0.
የዚህ ማስታወሻ ጥቅሙ ከሌሎቹ አንጻር የቬክተር መጋጠሚያዎችን ከአውሮፕላኑ ጋር በማያያዝ በግልፅ መያዙ ነው። ይህ ቬክተር ለእሱ መመሪያ ተብሎ ይጠራል, ከመደበኛው አቅጣጫ ጋር ይጣጣማል, እና መጋጠሚያዎቹ (A; B; C) እኩል ናቸው.
ከላይ ያለው አገላለጽ በሁለት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ቀጥተኛ መስመርን ለመጻፍ አጠቃላይ ቀመርን ከመጻፍ ጋር እንደሚገጣጠም ልብ ይበሉ, ስለዚህ ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ እነዚህን የጂኦሜትሪክ እቃዎች እንዳያደናቅፉ መጠንቀቅ አለብዎት.
በነጥብ እና በመስመር መካከል ያለው ርቀት
በቀጥታ መስመር እና መካከል ያለውን ርቀት እንዴት ማስላት እንደምንችል እናሳይነጥብ ባለ ሁለት አቅጣጫ።
የተወሰነ ነጥብ ይኑር Q(x1; y1) እና በ የተሰጠ መስመር
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)።
በመስመር እና በአንድ ነጥብ መካከል ያለው ርቀት የአንድ ክፍል ርዝመት በዚህ መስመር ላይ ቀጥ ብሎ ተረድቶ ከቁ. ወደ እሱ ወርዷል።
ይህን ርቀት ከማስላትዎ በፊት የQ መጋጠሚያዎችን ወደዚህ እኩልነት መቀየር አለብዎት። እነሱ ካሟሉ ፣ ከዚያ Q የተሰጠው መስመር ነው ፣ እና ተጓዳኝ ርቀት ከዜሮ ጋር እኩል ነው። የነጥቡ መጋጠሚያዎች ወደ እኩልነት የማይመሩ ከሆነ, በጂኦሜትሪክ ነገሮች መካከል ያለው ርቀት ዜሮ አይደለም. ቀመሩን በመጠቀም ማስላት ይቻላል፡
d=|[PQNuኟ]|/|ኡኒ|.
እዚህ P ቀጥተኛ መስመር የዘፈቀደ ነጥብ ነው፣ እሱም የቬክተር PQN መጀመሪያ ነው። ቬክተር u የቀጥታ መስመር መመሪያ ክፍል ነው፣ ማለትም፣ መጋጠሚያዎቹ (a; b) ናቸው።
ይህን ቀመር ለመጠቀም የመስቀለኛ ምርቱን በቁጥር ማስላት መቻልን ይጠይቃል።
ችግር በአንድ ነጥብ እና መስመር
እስኪ በQ(-3; 1) እና ሒሳቡን በሚያረካ ቀጥተኛ መስመር መካከል ያለውን ርቀት መፈለግ አለብህ እንበል፡
y=5x -2.
የQ መጋጠሚያዎችን ወደ አገላለጹ በመተካት፣ Q በመስመር ላይ እንደማይተኛ ማረጋገጥ እንችላለን። ይህንን እኩልታ በቬክተር መልክ ከወክሉ ከላይ ባለው አንቀጽ ላይ የተሰጠውን የዲ ቀመር መተግበር ይችላሉ። እንደዚህ እናድርገው፡
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5)።
አሁን በዚህ መስመር ላይ ማንኛውንም ነጥብ ለምሳሌ (0; -2) እንውሰድ እና ቬክተር እንገንባ ከሱ ጀምሮ እና በQ:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3)።
አሁን ርቀቱን ለማወቅ ቀመሩን ይተግብሩ፡- እናገኛለን
d=|[(-3፤ 3)(1፤ 5)]|/|(1፤ 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት
እንደ ቀጥታ መስመር ሁኔታ በአውሮፕላን እና በጠፈር መካከል ያለው ርቀት የክፍሉ ርዝማኔ ሲሆን ይህም ከተወሰነ ነጥብ ወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ብሎ ወደ አውሮፕላኑ ይወርዳል እና ያቋርጠዋል።
በህዋ ላይ አንድ ነጥብ በሶስት መጋጠሚያዎች ይሰጣል። እኩል ከሆኑ (x1; y1; z1)፣ ከዚያ በመካከላቸው ያለው ርቀት አውሮፕላን እና ያ ነጥብ በቀመርው ሊሰላ ይችላል፡
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2።።
ልብ ይበሉ ቀመሩን መጠቀም ከአውሮፕላኑ እስከ መስመሩ ያለውን ርቀት ብቻ ማግኘት ያስችላል። ቀጥ ያለ ክፍል አንድን አውሮፕላን የሚያቋርጥበትን ነጥብ መጋጠሚያዎች ለማግኘት ይህ ክፍል ለሚገኝበት መስመር ቀመር መፃፍ እና ከዚያ ለዚህ መስመር እና ለተሰጠው አውሮፕላን አንድ የጋራ ነጥብ ማግኘት ያስፈልጋል።
በአውሮፕላን እና ነጥብ ላይ ችግር
ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለውን ርቀት ይፈልጉ (3; -1; 2) ነጥቡ መጋጠሚያዎች እንዳሉት ከታወቀ እና አውሮፕላኑ የሚሰጠው በ:
-y + 3z=0.
ተዛማጁን ፎርሙላ ለመጠቀም መጀመሪያ የቁጥር አሃዞችን እንጽፋለን።የተሰጠው አውሮፕላን. ተለዋዋጭ x እና ነፃው ቃል ስለሌለ፣ የቁጥር አሃዞች A እና D ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። አለን:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
ይህ አይሮፕላን በመነሻው በኩል እንደሚያልፍ እና የ x-ዘንጉም የእሱ መሆኑን ለማሳየት ቀላል ነው።
የነጥቡን መጋጠሚያዎች እና የአውሮፕላኑን መጋጠሚያዎች ለርቀቱ ቀመር በመተካት፡
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
ልብ ይበሉ የአንድ ነጥብ x-coordinate ከቀየሩ፣ ርቀቱ d አይቀየርም። ይህ እውነታ የነጥቦች ስብስብ (x; -1; 2) ከተሰጠው አውሮፕላን ጋር ትይዩ የሆነ ቀጥተኛ መስመር ይመሰርታል ማለት ነው።
